Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Hoàng Vũ Nghị]

203 .giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 & & \\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5} & & \end{matrix}\right.$$

 

[Ann Lee]

203 .giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 & & \\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5} & & \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 (1)& & \\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5}(2) & & \end{matrix}\right.$$
ĐK: $$x+y> 0$$
$$(1)\Leftrightarrow (x+y)(x^2+y^2)+8xy=16(x+y)\Leftrightarrow (x+y-4)(x^2+y^2+4x+4y)=0$$
Vì $$x+y>0\Rightarrow x^2+y^2+4x+4y>0$$
Suy ra $$x+y-4=0\Leftrightarrow x+y=4$$
Thay vào $(2)$ được:
$$\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}(3)\\\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}-4=3x-6+\sqrt{x^{2}+5}-3\\\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}\\\Leftrightarrow (x-2)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} \right )=0$$
Th1: $x=2$ suy ra $y=2$
Th2: $$\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} =0\\\Leftrightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}=3+\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}(4)$$
Từ $(3)$ suy ra $x>0$ nên $x+2>0$
$$\Rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}<3+\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$$
Suy ra $(4)$ vô nghiệm
...

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Xin phép chủ topic cho e được tiếp tục topic này ạ ..THực sự nó rất bổ ích
204.Giải hpt
$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^2(8x^2+8y^2+4xy-13)+5=0 & & \\ 2x+\frac{1}{x+y}=1& & \end{matrix}\right.$$
Đáp án sẽ được cập nhật sáng mai nếu không ai giải

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Lời giải 204:đkxđ :x+y khác 0
chia cả 2 vễ phương trình 1 cho $$(x+y)^2$$ ta có
$$8(x^2+y^2)+4xy++\frac{5}{(x+y)^2}=13$$
Khi đó hệ trở thành
$$\left\{\begin{matrix} 5[(x+y)^2+\frac{1}{(x+y)^2}]+3(x-y)^2=13 & & \\ (x+y+\frac{1}{x+y})+(x-y)=1 & & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(x+y+\frac{1}{x+y})^2+3(x-y)^2=23 & & \\ (x+y+\frac{1}{x+y})+(x-y)=1 & & \end{matrix}\right.$$
Đặt
$$x+y+\frac{1}{x+y}$$= a và b=x-y ta có hệ
$$\left\{\begin{matrix} 5a^2+3b^2=23 & & \\ a+b=1 & & \end{matrix}\right.$$
Thay vào giải nốt...

205.Giải hpt
$$\left\{\begin{matrix} x^3+6x^2y=7 & & \\ 2y^3+3xy^2=5& & \end{matrix}\right.$$

 

[zzh0td0gzz]

Lời giải 204:đkxđ :x+y khác 0
chia cả 2 vễ phương trình 1 cho $$(x+y)^2$$ ta có
$$8(x^2+y^2)+4xy++\frac{5}{(x+y)^2}=13$$
Khi đó hệ trở thành
$$\left\{\begin{matrix} 5[(x+y)^2+\frac{1}{(x+y)^2}]+3(x-y)^2=13 & & \\ (x+y+\frac{1}{x+y})+(x-y)=1 & & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(x+y+\frac{1}{x+y})^2+3(x-y)^2=23 & & \\ (x+y+\frac{1}{x+y})+(x-y)=1 & & \end{matrix}\right.$$
Đặt
$$x+y+\frac{1}{x+y}$$= a và b=x-y ta có hệ
$$\left\{\begin{matrix} 5a^2+3b^2=23 & & \\ a+b=1 & & \end{matrix}\right.$$
Thay vào giải nốt...

205.Giải hpt
$$\left\{\begin{matrix} x^3+6x^2y=7 & & \\ 2y^3+3xy^2=5& & \end{matrix}\right.$$

nhân 4 ở dưới cộng với trên
<=>[TEX](x+2y)^3=27[/TEX]
<=>x+2y=3
.....

 

[lengoctutb]

$\boxed{206}$ Giải hệ phương trình $:$ $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2} \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y \end{matrix}\right.$

 

[zzh0td0gzz]

$\boxed{206}$ Giải hệ phương trình $:$ $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2} \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y \end{matrix}\right.$

PT1: <=>(x+y)(2y-x+1)=0
x=-y thay vào rút gọn x ở PT 2 dễ rồi
2y=x-1
thay vào PT 2 đặt nhân tử => KQ

 

[Hoàng Vũ Nghị]

207.gpt
$$\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}=x+5$$

 

[thaohien8c]

207.gpt
$$\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}=x+5$$

ĐK :...$$x\geq -5$$
Đặt $$\sqrt{2x^{2}+5x+12} = a ; \sqrt{2x^{2}+3x+2} = b; x+5 =c => a^{2}- b^{2} = 2c => a- b = 2 ; a+ b = c => 2a = c+2$$
Bình phương giải ra .... 

 

[Tungtom]

ĐK :...$$x\geq -5$$
Đặt $$\sqrt{2x^{2}+5x+12} = a ; \sqrt{2x^{2}+3x+2} = b; x+5 =c => a^{2}- b^{2} = 2c => a- b = 2 ; a+ b = c => 2a = c+2$$
Bình phương giải ra .... không biết có đúng không nữa

Theo em nghĩ thì không cần đặt ẩn c cũng được ạ

 

[Tungtom]

207.gpt
$$\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}=x+5$$

ĐKXĐ:x$$\geq$$-5
Đặt $$\sqrt{2x^2+5x+12}$$=a, $$\sqrt{2x^2+3x+2}$$=b thì x+5=$$\frac{a^2-b^2}{2}$$.
Phương trình trở thành:
$$2a+2b=a^2-b^2$$ .(*)
Với a+b=0 thay vào không thỏa mãn.
=> a+b$$\neq$$ 0.
Khi đó từ (*)=> 2(a+b)=(a-b)(a+b)=>a-b=2.=> $$\sqrt{2x^2+5x+12}$$-$$\sqrt{2x^2+3x+2}$$=2.(1)
Mà theo bài ra $$\sqrt{2x^2+5x+12}$$+$$\sqrt{2x^2+3x+2}$$=x+5(2)
Cộng theo từng vế của (1) và (2) ta được:2$$\sqrt{2x^2+5x+12}$$=x+7.
Theo ĐKXĐ thì x+7>0. Bình phương hai vế ta được:
$$4.(2x^2+5x+12)=x^2+14x+49$$ <=>$$8x^2+20x+48$$ =$$x^2+14x+49$$.
<=>7x^2+6x-1=0
<=>(7x-1)(x+1)=0.
<=> x=-1 hoặc x=$$\frac{1}{7}$$( thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy....
Không biết em làm đúng chưa ạ?

 

[lengoctutb]

$\boxed{208}$ Giải hệ phương trình $:$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}=\frac{2}{\sqrt{x+y}} \\ x^{2}+y^{2}+4xy-4x+2y-5=0 \end{matrix}\right.$

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

$\boxed{208}$ Giải hệ phương trình $:$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}=\frac{2}{\sqrt{x+y}} \\ x^{2}+y^{2}+4xy-4x+2y-5=0 \end{matrix}\right.$

Mik giải riêng Pt(1) ra đc nghiệm x=(-1) và y=2
Lạ ghê ta *surprise*

 

[zzh0td0gzz]

Mik giải riêng Pt(1) ra đc nghiệm x=(-1) và y=2
Lạ ghê ta *surprise*

PT 2 ẩn làm sao đủ điều kiện giải được nghiệm ? bạn làm rõ được không
Từ PT 2 => [TEX]2(x+y)^2=(x+2)^2+(y-1)^2[/TEX] nhưng không biết nên áp dụng thế nào

 

[lengoctutb]

PT 2 ẩn làm sao đủ điều kiện giải được nghiệm ? bạn làm rõ được không
Từ PT 2 => [TEX]2(x+y)^2=(x+2)^2+(y-1)^2[/TEX] nhưng không biết nên áp dụng thế nào

Bạn đi đúng hướng rồi đó $!$ Thử tiếp tục suy nghĩ đi $!$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

$\boxed{208}$ Giải hệ phương trình $:$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}=\frac{2}{\sqrt{x+y}} \\ x^{2}+y^{2}+4xy-4x+2y-5=0 \end{matrix}\right.$

Bình phương (1) ta có
$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2)(y-1)}}=\frac{4}{x+y}\\\geq \frac{4}{x+y+1}+\frac{4}{x+y+1}\\\Rightarrow x+y\leq 1$$
Lại có
$$2(x+y)^2=(x+2)^2+(y-1)^2\geq \frac{(x+y-1)^2}{2}\\\Rightarrow x+y\geq 1 hoac x+y\leq \frac{-1}{3}$$
Với $$x+y\geq 1$$ thì x=-1 ,y=2
Với $$x+y\leq \frac{-1}{3}$$ (loại do x+y>0)
Vậy...

209.giải pt
$$\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}+\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}=6x^2$$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Giải 209 :
$$\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\frac{5}{x^2}(6x^2-1)}\leq \frac{\frac{5}{x^2}+(6x^2-1)}{2}\\\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}\leq \frac{(6x^2-\frac{5}{x^2})+1}{2}\\\Rightarrow VT\leq VP$$
Dấu = xảy ra khi x=-1 hoặc x=1

210.Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012 & & \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 & & \end{matrix}\right.$$

 

[zzh0td0gzz]

Giải 209 :
$$\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\frac{5}{x^2}(6x^2-1)}\leq \frac{\frac{5}{x^2}+(6x^2-1)}{2}\\\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}\leq \frac{(6x^2-\frac{5}{x^2})+1}{2}\\\Rightarrow VT\leq VP$$
Dấu = xảy ra khi x=-1 hoặc x=1

210.Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012 & & \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 & & \end{matrix}\right.$$

liên hợp
$$\frac{2012^2}{(x-\sqrt{x^2+2012})(y-\sqrt{y^2+2012})}=2012\Leftrightarrow (x-\sqrt{x^2+2012})(y-\sqrt{y^2+2012})=2012$$
=>x=y=0 =>z=...

 

[Tungtom]

211.Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2} & & \\ xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5 & & \end{matrix}\right.$$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

210.Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2} & & \\ xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5 & & \end{matrix}\right.$$

Đặt $$x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b$$
Ta có hệ mới
$$\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{9}{2} & & \\ ab=5 & & \end{matrix}\right.$$
....

212: Giải hệ
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^2}{2} & & \\ (3x+2y+1)=4-x^2 & & \end{matrix}\right.$$