Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 21:
Điều kiện: $x\geq -1$.
Mấu chốt chỗ số $4$ bên $VTP$.
Ta có: $\sqrt{x^2+6x+5}+1=\frac{4}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+5}+\sqrt{x+1}$.
Suy ra được: $\sqrt{x+5}=1$ hoặc $\sqrt{x+1}=1$.
Loại $x=-4$, ta còn lại $x=0$ là nghiệm của PT.
 

Otaku8874

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng tám 2016
547
328
114
Hà Nội
Bài 19.
Sau khi suy nghĩ bài 1 mình nghĩ ra 2 cách giải.
ĐKXĐ:
$x \geq \dfrac{2}{3}$
hoặc $x \leq \dfrac{-2}{3}$
($x \equiv 0$)
Cách này là nhờ có CASIO fx-570VN plus mình tìm ra lời giải.Tôn trọng máy tính mình up cách này:cool:
Xét theo đk:
Với
$x \geq \dfrac{2}{3}$
Nhận thấy rõ pt sẽ vô nghiệm khi biến đổi về:
$25+\dfrac{9\sqrt{9x^2-4}}{x}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Xét tiếp $x \leq \dfrac{-2}{3}$
$\Rightarrow 25-9\sqrt{9-\dfrac{4}{x^2}}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Đặt $\dfrac{1}{x^2}=t(0<x \leq \dfrac{9}{4})$
Pt biến về dạng
$(t-2)(\dfrac{18}{\sqrt{9-4t}+1}-\dfrac{t+4}{t+1})=0$
Xét đk của t,rõ ràng pt >0
Nên $t=2$
Suy ra
$x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$
P/s:Trưa đi tìm đề ko onl,lúc onl các bác giải sạch rồi ko để phần em
Hình như bạn nhầm đúng ko, vì lúc chia 2 vế cho x thì phải là [tex]\frac{18}{x^{3}+x}[/tex] chứ
Đúng rồi đó bạn! Mình ghi đề sai ._. :v $18x$ mới đúng
 
Last edited by a moderator:

Thủ Mộ Lão Nhân

Học sinh chăm học
Thành viên
9 Tháng sáu 2017
304
589
131
1 cách khác
Bài 23:

Với $x\geq 1\Rightarrow x^4\geq x\Rightarrow x^4-x+1>0$
Với $0<x<1\Rightarrow 1-x>0\Rightarrow x^4-x+1>0$
Với $x\leq 0\Rightarrow x^4-x\geq 0\Rightarrow x^4-x+1>0$
PT vô nghiệm.
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Cách khác:
$x^4-x+1=0
\\\Rightarrow (x^2-\dfrac{1}{2})^2+(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}=0$
 

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 23:
Ta có: $x-1=x^4\geq 0$.
Suy ra: $x\geq 1$.
Ta có: $x-1=\frac{-1}{x^3}< 0$. Do $x\geq 1$.
Nên $x<1$.
Suy ra vô nghiệm.
 
  • Like
Reactions: baochau1112

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài 24: (Mới kiếm được trên k2pi)
Giải phương trình:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}} = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}$
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
  • Like
Reactions: W_Echo74

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài 24: (Mới kiếm được trên k2pi)
Giải phương trình:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}} = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}$
Bằng casio ta thấy phương trình có $3$ nghiệm $1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$
Do đó ta sẽ gọi biểu thức cần liên hợp $ax^2+bx+c$.
Cần tìm $a,b,c$ sao cho với $x=1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$ thì $\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}}-(ax^2+bx+c)=0$.
Giải được $a=1,b=1,c=1$
Do đó ta tách thành:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}}-(x^2+x+1) = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}-(x^2+x+1)
\\\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)(x^2-2)}{x+3}=\dfrac{-(x-1)(x^2-2)}{\sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}+(x^2+x+1)}
\\\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2)[\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{\sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}+(x^2+x+1)}]=0$
Dễ dàng chứng minh bên trong vô nghiệm.
Vậy phương trình có $3$ nghiệm: $1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$.
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
ae làm nhé thả lỏng cơ thể đê
bài 25
[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}=4[/tex]
vô tư mà giải nhé ae ......mấy ông gõ latex nhanh quá ...
ae làm nhé thả lỏng cơ thể đê
bài 25
[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}=4[/tex]
vô tư mà giải nhé ae ......mấy ông gõ latex nhanh quá ...
Đề có lỗi không :v tự nhiên $x+8$ đang đẹp sang thành $\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}$ thế :v
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài tập ngày mới nào
[TEX]\boxed{26}[/TEX] Giải phương trình:
$\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4x+1}+\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=5-y+\sqrt[4]{x^4-16}$
[TEX]\boxed{27}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-y^3+3y^2-3x-2=0 \\
&x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+2=0
\end{matrix}\right.$
Sáng sớm tập thể dục thôi :v :c16c:12
@Otaku8874 @Baoriven @kingsman(lht 2k2) @Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 ,....
 

Baoriven

Học sinh
Thành viên
22 Tháng sáu 2017
32
71
31
24
Tiền Giang
Lời giải bài 26:
Điều kiện: của căn đầu : $-2\leq x\leq 2$, của căn cuối là $x\geq 2$ hoặc $x\leq -2$.
Trong khi đó, điều kiện của căn thứ hai là: $x\geq \frac{-1}{4}$.
Nên suy ra $x=2$.
Suy ra, ta giải PT: $y-2+|y-1|=0\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}$.
 

W_Echo74

Học sinh
Thành viên
21 Tháng sáu 2017
71
153
21
Nam Định
Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^
 
  • Like
Reactions: kingsman(lht 2k2)

Otaku8874

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng tám 2016
547
328
114
Hà Nội
Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^

Bạn nhầm ở đoạn thế vào pt sau rồi, phải ra x=0, y=1 chứ
 

King02

Học sinh
Thành viên
23 Tháng sáu 2017
6
7
44
21
Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^
Bạn làm sai bài này ở bước nào đấy rồi. Cô mk chữa ra đáo án khác nhé.
P/s:Hồi trc mk cx hỏi bài này trên 1 diễn đàn toán, có 1 bạn giải sai y hệt bạn, giống từng chữ :))))
 
  • Like
Reactions: Dương Bii

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^
Bạn nhầm ở đoạn thế vào pt sau rồi, phải ra x=0, y=1 chứ
Bạn làm sai bài này ở bước nào đấy rồi. Cô mk chữa ra đáo án khác nhé.
P/s:Hồi trc mk cx hỏi bài này trên 1 diễn đàn toán, có 1 bạn giải sai y hệt bạn, giống từng chữ :))))
Việc xài đạo hàm để đánh giá phương trình đầu tiên là đúng. Nhưng khi thay $x=y-1$ vào phương trình dưới thì bạn sai rồi nhé.
Thay xuống rút gọn sẽ ra:$x^2-2\sqrt{1-x^2}+2=0$ mới đúng nhé. Chứ không phải $4\sqrt{1-x^2}$ đâu.
Từ đó $x=0,y=1$.
Còn ý tưởng mà đánh giá đạo hàm lúc đầu là đúng rồi. Chỉ sai khúc sau thôi :v
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
22
Đắk Nông
Đổi gió 1 tý nhé :v
[TEX]\boxed{29}[/TEX](THTT):Giải phương trình:
$(sin x-2)(sin^2x-sin x+1)=3\sqrt[3]{3sin x-1}+1$
[TEX]\boxed{30}[/TEX](Đề thi học sinh giỏi khu vực DH và ĐBBB): Giải phương trình:
$x^2+2\sqrt{2x+7}=2\sqrt{3-2x}+5(x \in \mathbb{R})$
[TEX]\boxed{31}[/TEX] (Sưu tầm): Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&\sqrt{y^2-8x+9}-\sqrt[3]{xy+12-6x} \leq 1 \\
&\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+12}-\sqrt{y}=\sqrt{x+2}
\end{matrix}\right.$
P/s: Mong có những làn gió mới ủng hộ topic hơn ^^ Yociexp102
 
Top Bottom