Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Baoriven]

Lời giải bài 21:
Điều kiện: $x\geq -1$.
Mấu chốt chỗ số $4$ bên $VTP$.
Ta có: $\sqrt{x^2+6x+5}+1=\frac{4}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+5}+\sqrt{x+1}$.
Suy ra được: $\sqrt{x+5}=1$ hoặc $\sqrt{x+1}=1$.
Loại $x=-4$, ta còn lại $x=0$ là nghiệm của PT.

 

[Baoriven]

Bài 23: Giải phương trình: $x^4-x+1=0$.

P/S:Bài này mục đích kiểm tra khả năng đánh giá.

 

[Otaku8874]

Bài 19.
Sau khi suy nghĩ bài 1 mình nghĩ ra 2 cách giải.
ĐKXĐ:
$x \geq \dfrac{2}{3}$
hoặc $x \leq \dfrac{-2}{3}$
($x \equiv 0$)
Cách này là nhờ có CASIO fx-570VN plus mình tìm ra lời giải.Tôn trọng máy tính mình up cách này
Xét theo đk:
Với
$x \geq \dfrac{2}{3}$
Nhận thấy rõ pt sẽ vô nghiệm khi biến đổi về:
$25+\dfrac{9\sqrt{9x^2-4}}{x}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Xét tiếp $x \leq \dfrac{-2}{3}$
$\Rightarrow 25-9\sqrt{9-\dfrac{4}{x^2}}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Đặt $\dfrac{1}{x^2}=t(0<x \leq \dfrac{9}{4})$
Pt biến về dạng
$(t-2)(\dfrac{18}{\sqrt{9-4t}+1}-\dfrac{t+4}{t+1})=0$
Xét đk của t,rõ ràng pt >0
Nên $t=2$
Suy ra
$x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$
P/s:Trưa đi tìm đề ko onl,lúc onl các bác giải sạch rồi ko để phần em

Hình như bạn nhầm đúng ko, vì lúc chia 2 vế cho x thì phải là [tex]\frac{18}{x^{3}+x}[/tex] chứ
Đúng rồi đó bạn! Mình ghi đề sai ._. :v $18x$ mới đúng

 

[Otaku8874]

Bài 23: Giải phương trình: $x^4-x+1=0$.

P/S:Bài này mục đích kiểm tra khả năng đánh giá.

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

1 cách khác
Bài 23:
Với $x\geq 1\Rightarrow x^4\geq x\Rightarrow x^4-x+1>0$
Với $0<x<1\Rightarrow 1-x>0\Rightarrow x^4-x+1>0$
Với $x\leq 0\Rightarrow x^4-x\geq 0\Rightarrow x^4-x+1>0$
PT vô nghiệm.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cách khác:
$x^4-x+1=0
\\\Rightarrow (x^2-\dfrac{1}{2})^2+(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}=0$

 

[Baoriven]

Lời giải bài 23:
Ta có: $x-1=x^4\geq 0$.
Suy ra: $x\geq 1$.
Ta có: $x-1=\frac{-1}{x^3}< 0$. Do $x\geq 1$.
Nên $x<1$.
Suy ra vô nghiệm.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 24: (Mới kiếm được trên k2pi)
Giải phương trình:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}} = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Hình như bạn nhầm đúng ko, vì lúc chia 2 vế cho x thì phải là [tex]\frac{18}{x^{3}+x}[/tex] chứ
Đúng rồi đó bạn! Mình ghi đề sai ._. :v $18x$ mới đúng

Bác Hiếu đăng đề sai à. Hehe. vậy hại não lắm. Lần sau bác kt kỹ nhé.^^

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 24: (Mới kiếm được trên k2pi)
Giải phương trình:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}} = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}$

@Thủ Mộ Lão Nhân @Baoriven @Otaku8874 @W_Echo74 :v Tôi làm ra bài này rồi. Mấy ông xong chưa để tôi post đáp án của tôi :v

 

[kingsman(lht 2k2)]

ae làm nhé thả lỏng cơ thể đê
bài 25
[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}=4[/tex]
vô tư mà giải nhé ae ......mấy ông gõ latex nhanh quá ...

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 24: (Mới kiếm được trên k2pi)
Giải phương trình:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}} = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}$

Bằng casio ta thấy phương trình có $3$ nghiệm $1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$
Do đó ta sẽ gọi biểu thức cần liên hợp $ax^2+bx+c$.
Cần tìm $a,b,c$ sao cho với $x=1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$ thì $\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}}-(ax^2+bx+c)=0$.
Giải được $a=1,b=1,c=1$
Do đó ta tách thành:
$\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 5}}{{x + 3}}-(x^2+x+1) = \sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}-(x^2+x+1)
\\\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)(x^2-2)}{x+3}=\dfrac{-(x-1)(x^2-2)}{\sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}+(x^2+x+1)}
\\\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2)[\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{\sqrt {{x^4} + {x^3} + 4{x^2} + 4x - 1}+(x^2+x+1)}]=0$
Dễ dàng chứng minh bên trong vô nghiệm.
Vậy phương trình có $3$ nghiệm: $1,\sqrt{2},-\sqrt{2}$.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

ae làm nhé thả lỏng cơ thể đê
bài 25
[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}=4[/tex]
vô tư mà giải nhé ae ......mấy ông gõ latex nhanh quá ...

ae làm nhé thả lỏng cơ thể đê
bài 25
[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}=4[/tex]
vô tư mà giải nhé ae ......mấy ông gõ latex nhanh quá ...

Đề có lỗi không :v tự nhiên $x+8$ đang đẹp sang thành $\sqrt{x+1-2\sqrt{x+7}}$ thế :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài tập ngày mới nào
[TEX]\boxed{26}[/TEX] Giải phương trình:
$\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4x+1}+\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=5-y+\sqrt[4]{x^4-16}$
[TEX]\boxed{27}[/TEX] Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&x^3-y^3+3y^2-3x-2=0 \\
&x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+2=0
\end{matrix}\right.$
Sáng sớm tập thể dục thôi :v c:12
@Otaku8874 @Baoriven @kingsman(lht 2k2) @Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 ,....

 

[Baoriven]

Lời giải bài 26:
Điều kiện: của căn đầu : $-2\leq x\leq 2$, của căn cuối là $x\geq 2$ hoặc $x\leq -2$.
Trong khi đó, điều kiện của căn thứ hai là: $x\geq \frac{-1}{4}$.
Nên suy ra $x=2$.
Suy ra, ta giải PT: $y-2+|y-1|=0\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}$.

 

[W_Echo74]

Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^

 

[Otaku8874]

Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^

Bạn nhầm ở đoạn thế vào pt sau rồi, phải ra x=0, y=1 chứ

 

[King02]

Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^

Bạn làm sai bài này ở bước nào đấy rồi. Cô mk chữa ra đáo án khác nhé.
P/s:Hồi trc mk cx hỏi bài này trên 1 diễn đàn toán, có 1 bạn giải sai y hệt bạn, giống từng chữ )))

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 27.
Bài này phải dùng máy tính điện tử mới tìm được nghiệm^^
ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$
Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$
Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$
Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$
P/s:bây giờ cất hành lí về quê ko onl dd chừng 2 tháng,ae ở lại vui vẻ^^

Bạn nhầm ở đoạn thế vào pt sau rồi, phải ra x=0, y=1 chứ

Bạn làm sai bài này ở bước nào đấy rồi. Cô mk chữa ra đáo án khác nhé.
P/s:Hồi trc mk cx hỏi bài này trên 1 diễn đàn toán, có 1 bạn giải sai y hệt bạn, giống từng chữ )))

Việc xài đạo hàm để đánh giá phương trình đầu tiên là đúng. Nhưng khi thay $x=y-1$ vào phương trình dưới thì bạn sai rồi nhé.
Thay xuống rút gọn sẽ ra:$x^2-2\sqrt{1-x^2}+2=0$ mới đúng nhé. Chứ không phải $4\sqrt{1-x^2}$ đâu.
Từ đó $x=0,y=1$.
Còn ý tưởng mà đánh giá đạo hàm lúc đầu là đúng rồi. Chỉ sai khúc sau thôi :v

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đổi gió 1 tý nhé :v
[TEX]\boxed{29}[/TEX](THTT):Giải phương trình:
$(sin x-2)(sin^2x-sin x+1)=3\sqrt[3]{3sin x-1}+1$
[TEX]\boxed{30}[/TEX](Đề thi học sinh giỏi khu vực DH và ĐBBB): Giải phương trình:
$x^2+2\sqrt{2x+7}=2\sqrt{3-2x}+5(x \in \mathbb{R})$
[TEX]\boxed{31}[/TEX] (Sưu tầm): Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&\sqrt{y^2-8x+9}-\sqrt[3]{xy+12-6x} \leq 1 \\
&\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+12}-\sqrt{y}=\sqrt{x+2}
\end{matrix}\right.$
P/s: Mong có những làn gió mới ủng hộ topic hơn ^^