Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Baoriven]

Lời giải bài 12:
Điều kiện: $x\geq 1, y\geq 0$.
Thấy ngay mấu chốt ở biểu thức $4y(x-4)+x$, nên ta thay vào PT đầu của hệ.
Ta được: $x^2+2\sqrt{x-1}=(2y+1)^2+2\sqrt{2y}$.
Xét hàm $f(t)=(t^2+1)^2+2t$ với $t\geq 0$.
Ta có: $f'(t)> 0$ và $f(\sqrt{x-1})=f(\sqrt{2y})$.
Suy ra: $x=2y+1$.
Thế lại vào PT hai, ta được: $y=\frac{3}{4}\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Lời giải bài 12:
Điều kiện: $x\geq 1, y\geq 0$.
Thấy ngay mấu chốt ở biểu thức $4y(x-4)+x$, nên ta thay vào PT đầu của hệ.
Ta được: $x^2+2\sqrt{x-1}=(2y+1)^2+2\sqrt{2y}$.
Xét hàm $f(t)=(t^2+1)^2+2t$ với $t\geq 0$.
Ta có: $f'(t)> 0$ và $f(\sqrt{x-1})=f(\sqrt{2y})$.
Suy ra: $x=2y+1$.
Thế lại vào PT hai, ta được: $y=\frac{3}{4}\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Nice solution
Tiếp tục nhé :v.
[TEX]\boxed{13}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}=7 \\
&2x+\dfrac{1}{x+y}=3
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{13}[/TEX] Giải phương trình:
$2(x^2+2)=5\sqrt(x^3+1)$
[TEX]\boxed{14}[/TEX] Đổi gió một tý nào . Giải bất phương trình:
$(\sqrt{5}+1)^{-x^2+x}+2^{-x^2+x+1}<3(\sqrt{5}-1)^{-x^2+x}$
Nhìn vậy không dễ nhai đâu nhé. Tiếp nào!!
@Baoriven @Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 ,....

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Nice solution
Tiếp tục nhé :v.

[TEX]\boxed{15}[/TEX] Đổi gió một tý nào . Giải bất phương trình:
$(\sqrt{5}+1)^{-x^2+x}+2^{-x^2+x+1}<3(\sqrt{5}-1)^{-x^2+x}$
Nhìn vậy không dễ nhai đâu nhé. Tiếp nào!!
@Baoriven @Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 ,....

Bài 15:
$(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1})^{-x^2+x}+2.(\dfrac{2}{\sqrt{5}-1})^{-x^2+x}<3$
$\Leftrightarrow (\dfrac{2}{\sqrt{5}-1})^{2(-x^2+x)}+2(\dfrac{2}{\sqrt{5}-1})^{-x^2+x}<3$
Đặt $t=(\dfrac{2}{\sqrt{5}-1})^{-x^2+x}$(với $t>0$)
$t^2+2t-3<0$
$0<t<1$
$-x^2+x<0\Rightarrow 0<x<1$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

[TEX]\boxed{14}[/TEX] Giải phương trình:
$2(x^2+2)=5\sqrt(x^3+1)$

Bài 14:
$PT\Leftrightarrow 2(x^2+2)=5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$
Đặt $a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{x^2-x+1}$
$PT\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)=5ab\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$
Với $a=2b$
$\Leftrightarrow 4(x+1)=x^2-x+1\Leftrightarrow x^2-5x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
Với $b=2a$
$\Leftrightarrow x+1=4(x^2-x+1)\Leftrightarrow 4x^2-5x+3=0(VN)$
....................

 

[W_Echo74]

Nice solution
Tiếp tục nhé :v.
[TEX]\boxed{13}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}=7 \\
&2x+\dfrac{1}{x+y}=3
\end{matrix}\right.$

Em làm câu 1 các bác làm từ dưới em theo thữ tự em làm
Ta có:
$4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}=7$
$\Leftrightarrow 3(x+y)^2 + (x-y)^2 + \dfrac{3}{(x+y)^2}=7$
$\Leftrightarrow 3[(x+y+\dfrac{1}{x+y})^2-2]+(x-y)^2=7$
Pt (2)
$2x+\dfrac{1}{x+y}=3$
$\Leftrightarrow (x+y)+\dfrac{1}{x+y}+(x-y)=3$
Đặt $b=x-y$
$a=x+y+\dfrac{1}{x+y}$
Suy ra hệ
$\left\{\begin{matrix}
&a+b=3\\&b^2+3a^2=13\end{matrix}\right.$
Giải hệ theo a tính đc b:
$b=1 \Rightarrow a=2$
$b=\dfrac{14}{4} \Rightarrow a=\dfrac{-1}{2}$
Giải từng Trường hợp:
$a=2 \Rightarrow x+y+\dfrac{1}{x+y}=2$
Đặt $x+y=t$ (t \ne 0)
$\Rightarrow t^2-2t+1=0$
$\Rightarrow t=1$
Xét tương tự trường hợp còn lại pt ko có nghiệm.
$t=1 \Rightarrow x+y=1$
Lại có
$x-y=1$
Lập hệ giải ra,kết quả theo máy tính CASIO fx-500MS thì
$x=1;y=0$
Thử lại $(x;y)=(1;0)$ thoả mãn
Vậy...
P/s:bài 15 đau ra vậy bác @Thủ Mộ Lão Nhân ?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Tưởng làm khó dược mấy bác ._. :v. Ai ngờ mấy bác full sạch :v. Tiếp tục nào :v
[TEX]\boxed{16}[/TEX](VMO 2010)
Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}
&x^4-y^4=240 \\
&x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y)
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{17}[/TEX] (Sưu tầm)
Giải phương trình:
$\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+6}$
[TEX]\boxed{18}[/TEX] Một bài hệ phương trình mũ
$\left\{\begin{matrix}
&|2^x-3^{y^2-1}|+2^x=2-3^{y^2-1}
\\
&2^x.3^{y^2-1}=1
\end{matrix}\right.$
@Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 @Baoriven ,...

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Tưởng làm khó dược mấy bác ._. :v. Ai ngờ mấy bác full sạch :v. Tiếp tục nào :v
[TEX]\boxed{18}[/TEX] Một bài hệ phương trình mũ
$\left\{\begin{matrix}
&|2^x-3^{y^2-1}|+2^x=2-3^{y^2-1}
\\
&2^x.3^{y^2-1}=1
\end{matrix}\right.$
@Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 @Baoriven ,...

Bài 18:
Ta có:
$2^x+3^{y^2-1}\geq 2\sqrt{2^x.3^{y^2-1}}=2$
$|2^x-3^{y^2-1}|+2^x+3^{y^2-1}\geq 2$
Suy ra:
$2^x=3^{y^2-1}=1$
$\Rightarrow (x;y)=(0;1),(0;-1)$

 

[Baoriven]

Lời giải bài 16:
Nhân $2$ vế của PT $2$ với $-8$ rồi cộng với PT $1$.
Ta được: $(x-2)^4=(y-4)^2$.
Suy ra: $x=y-2$ hoặc $x=6-y$.
Thế lại vào PT $1$, ta được $2$ bộ nghiệm $(x;y)=(-4;-2);(4;2)$.

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Bài 17:
$PT\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2+2x+3}-\sqrt{2x^2-1})+(\sqrt{x^2-x+6}-\sqrt{x^2-3x+2})=0$
$\Rightarrow (2x+4)(..........)=0$
$\Rightarrow x=-2$

 

[Otaku8874]

[TEX]\boxed{17}[/TEX] (Sưu tầm)
Giải phương trình:
$\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+6}$

@Thủ Mộ Lão Nhân @W_Echo74 @Baoriven ,...

Từ đề bài có:
[tex](\sqrt{2x^{2}+2x+3}-\sqrt{2x^{2}-1})+(\sqrt{x^{2}-x+6}-\sqrt{x^{2}-3x+2}) = 0[/tex]
[tex]\rightarrow (2x+4)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+2x+3}+\sqrt{2x^{2}-1} + \frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+6}+\sqrt{x^{2}-3x+2})=0[/tex]
-> [tex]x=-2[/tex]

 

[Otaku8874]

Lỗi nên sửa lại
Từ đề bài có:
[tex](\sqrt{2x^{2}+2x+3}-\sqrt{2x^{2}-1})+(\sqrt{x^{2}-x+6}-\sqrt{x^{2}-3x+2}) = 0[/tex]
[tex](2x+4)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+2x+3}+\sqrt{2x^{2}-1}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+6}+\sqrt{x^{2}-3x+2}})=0[/tex]
-> [tex]x=-2[/tex][/QUOTE]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

@Thủ Mộ Lão Nhân @Otaku8874 @Baoriven Ok. Mọi người đã làm rất tốt.
Ở bài $16$ để tìm ra được con số $-8$ có lẽ bạn @Baoriven đã xài phương pháp hệ số bất định.
Ta mong sẽ có sự đánh giá để đưa về dạng nhân tử: $(x+\alpha )^4=(y+\beta)^4$(*)
Sau đó chúng ta tiến hành nhân $m$ vào phương trình $2$ sau đó cộng với phương trình $(1)$ bằng cách đồng nhất thức với (*) ta sẽ tìm được $\alpha,\beta,m$
Bài $17$:
Các bạn đã nhận ra nghiệm của phương trình sau đó đã tiến hành nhân liên hợp và thấy biểu thức trong ngoặc vô nghiệm nên suy ngay ra nghiệm của phương trình. Tưởng chừng đây là cách nhanh gọn lẹ. Nhưng vẫn còn một cách đánh giá tính tế hơn:
$\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+6}
\\\Rightarrow \sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{(2x^2-1)+2(x+2)}+\sqrt{(x^2-3x+2)+2(x+2)}
\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
&2x^2-1 \geq 0,x^2-3x+2 \geq 0 \\
&2(x+2)=0
\end{matrix}\right.$
Do đó $x=-2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài $18$:
Nhìn sơ qua thì thấy ý tưởng đánh giá bằng bđt hiện lên khá rõ do đó làm như @Thủ Mộ Lão Nhân .

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Mức độ cao hơn
@Baoriven @Thủ Mộ Lão Nhân @Otaku8874 @W_Echo74 ,.....
[TEX]\boxed{19}[/TEX](THTT)
Giải phương trình:
$25x+9\sqrt{9x^2-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{x^2+1}$
[TEX]\boxed{20}[/TEX](Dự bị đội tuyển Chuyên Sư Phạm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^4-2x=y^4-y \\
&(x^2-y^2)^3=3
\end{matrix}\right.$
P/s: Mọi người có thể đề cử bài tập mới nhé ^^(Lưu ý: Lúc mà còn có nhiều bài chưa giải thì không nên đề cử nhé vì sẽ khiến topic bị loãng)
Gặm thử 2 bài này xem sao?

 

[W_Echo74]

Bài 19.
Sau khi suy nghĩ bài 1 mình nghĩ ra 2 cách giải.
ĐKXĐ:
$x \geq \dfrac{2}{3}$
hoặc $x \leq \dfrac{-2}{3}$
($x \equiv 0$)
Cách này là nhờ có CASIO fx-570VN plus mình tìm ra lời giải.Tôn trọng máy tính mình up cách này
Xét theo đk:
Với
$x \geq \dfrac{2}{3}$
Nhận thấy rõ pt sẽ vô nghiệm khi biến đổi về:
$25+\dfrac{9\sqrt{9x^2-4}}{x}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Xét tiếp $x \leq \dfrac{-2}{3}$
$\Rightarrow 25-9\sqrt{9-\dfrac{4}{x^2}}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Đặt $\dfrac{1}{x^2}=t(0<x \leq \dfrac{9}{4})$
Pt biến về dạng
$(t-2)(\dfrac{18}{\sqrt{9-4t}+1}-\dfrac{t+4}{t+1})=0$
Xét đk của t,rõ ràng pt >0
Nên $t=2$
Suy ra
$x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$
P/s:Trưa đi tìm đề ko onl,lúc onl các bác giải sạch rồi ko để phần em

 

[W_Echo74]

Bài 20.
Nhận thấy pt sẽ xuất hiện nhiều $x-y;x+y$
Đặt $x+y=a;x-y=b$
Lập được hệ:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{3}.(a^2+b^2)=a+3b\\ab=\sqrt[3]{3}\end{matrix}\right.$$
Giải hệ tính được
$$\left\{[\begin{matrix}a=\sqrt[3]{3}\\a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{matrix}\right.$$
Nên có nghiệm
$(x;y)=(\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2};\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2});(\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}};\dfrac{-1}{\sqrt[3]{3}})$
Theo CASIO thì thoả mãn nên kết luận:
Vậy...

 

[W_Echo74]

Đề xuất một vài bài đơn giản để giải trí:
[TEX]\box{21}[/TEX]
Giải phương trình
$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$
[TEX]\box{22}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0\end{matrix}\right.$$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Bài 22:
$PT(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{x+3y+2}=\sqrt{x+2}+3\sqrt{y}$
Đặt:
$a=\sqrt{x+2}, b=3\sqrt{y}$
$PT(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}}=a+b$
$\Leftrightarrow (3a-b)^2=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{y}$
Thay vào PT(2):
$PT(2)\Rightarrow (x^2-4x+4)+(x+2-4\sqrt{x+2}+4)=0$
$\Rightarrow (x-2)^2+(\sqrt{x+2}-2)^2=0$
$x=2,y=4$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Bài 21:
$PT\Leftrightarrow 4(\sqrt{(x+1)(x+5)}+1)=4(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5})$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+5}-1)=0$
$\Rightarrow x=0$

 

[Otaku8874]

Đề xuất một vài bài đơn giản để giải trí:
[TEX]\box{21}[/TEX]
Giải phương trình
$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$
[TEX]\box{22}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0\end{matrix}\right.$$

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Bài 19.
Sau khi suy nghĩ bài 1 mình nghĩ ra 2 cách giải.
ĐKXĐ:
$x \geq \dfrac{2}{3}$
hoặc $x \leq \dfrac{-2}{3}$
($x \equiv 0$)
Cách này là nhờ có CASIO fx-570VN plus mình tìm ra lời giải.Tôn trọng máy tính mình up cách này
Xét theo đk:
Với
$x \geq \dfrac{2}{3}$
Nhận thấy rõ pt sẽ vô nghiệm khi biến đổi về:
$25+\dfrac{9\sqrt{9x^2-4}}{x}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Xét tiếp $x \leq \dfrac{-2}{3}$
$\Rightarrow 25-9\sqrt{9-\dfrac{4}{x^2}}=\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{18}{1+x^2}$
Đặt $\dfrac{1}{x^2}=t(0<x \leq \dfrac{9}{4})$
Pt biến về dạng
$(t-2)(\dfrac{18}{\sqrt{9-4t}+1}-\dfrac{t+4}{t+1})=0$
Xét đk của t,rõ ràng pt >0
Nên $t=2$
Suy ra

Bài 20.
Nhận thấy pt sẽ xuất hiện nhiều $x-y;x+y$
Đặt $x+y=a;x-y=b$
Lập được hệ:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{3}.(a^2+b^2)=a+3b\\ab=\sqrt[3]{3}\end{matrix}\right.$$
Giải hệ tính được
$$\left\{[\begin{matrix}a=\sqrt[3]{3}\\a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{matrix}\right.$$
Nên có nghiệm
$(x;y)=(\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2};\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2});(\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}};\dfrac{-1}{\sqrt[3]{3}})$
Theo CASIO thì thoả mãn nên kết luận:
Vậy...

$x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$
P/s:Trưa đi tìm đề ko onl,lúc onl các bác giải sạch rồi ko để phần em

Bác mạnh dạn viết lời giải kỹ lưỡng 1 chút nhé. Toàn bài hay mà bác viết lời giải bỏ qua nhiều bước quá. mà toàn bước đánh giá thôi.