Toán 11 [Math 98 Club] Lượng Giác

H

huynhbachkhoa23

Cho tớ hỏi T là tập hợp gì vậy và arc khi nào thì dùng................................................

TT là tập hợp mấy góc mà có thể nhớ được lượng giác như α=π2\alpha = \dfrac{\pi}{2}, có sinα=1;cosα=0;...\sin \alpha = 1; \cos \alpha = 0;...

Cái arc\text{arc} thích thì dùng, nhưng thường dùng khi các góc lượng giác dài dòng như sinx=125\sin x= \dfrac{1}{25} x=arcsin125π1,370412682....\rightarrow x=\arcsin \dfrac{1}{25} \approx \dfrac{\pi}{1,370412682....} (lấy 1 trường hợp thôi), cái này thì nhớ bằng niềm tin =))
 
M

mua_sao_bang_98

II - Phương trình lượng giác:

1. Phương trình cơ bản

a. pt: sinx=asinx=a

- Nếu |a| > 1 \Rightarrow pt vô nghiệm

- Nếu |a| < 1

+ Với a(±12;±32;±22;±1;0)=Ta \in ({\frac{\pm 1}{2}; \frac{\pm \sqrt{3}}{2}; \frac{\pm \sqrt{2}}{2}; \pm 1;0}) =T
Ta thay sinx=sinαsinx=sin\alpha với α(0;±π6;±π3;±π4;±π6)\alpha \in ({0; \frac{\pm \pi}{6}; \frac{\pm \pi}{3}; \frac{\pm \pi}{4}; \frac{\pm \pi}{6}})

pt \Leftrightarrow sinx=sinαsin x = sin \alpha với x=α+k2πx=\alpha +k2\pi hoặc x=πα+k2πx=\pi - \alpha + k2\pi
+ Với aTa\notin T \Leftrightarrow x=arcsina+k2πx=arcsina+k2\pi hoặc x=πarcsina+k2πx=\pi -arc sina+k2\pi
b. pt cosx=acosx=a

- Nếu |a| > 1 \Rightarrow pt vô nghiệm

- Nếu |a| < 1

+ Với aTa \in T ta thay a=cosαa=cos\alpha
(Với α(π3;2π2;π6;5π6;...)\alpha \in ({\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{2};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};...}))
pt \Leftrightarrow cosx=cosαcos x= cos \alpha \Leftrightarrow x=±α+k2πx=\pm \alpha +k2\pi
+ Với αT\alpha \notin T \Rightarrow x=±arc.cosa+k2πx=\pm arc.cosa+k2\pi

c. pt: tanx=atan x = a

- Tanx=tanαTan x = tan \alpha \Rightarrow x=α+kπx=\alpha +k\pi

- Tan x=a \Rightarrow x=arc.tana+kπx= arc.tana+k\pi

T là phần tớ dùng chữ màu đỏ nhé!

arc dùng khi các góc đó không phải góc đặc biệt tức là aTa \notin T
 
M

mua_sao_bang_98

B- Bài tập

Giải:

16. sin2x1=0sin2x-1=0

BL: pt \Leftrightarrow sin2x=1sin2x=1

Xác định hướng làm: Ta thấy pt này có dạng sinx=1sinx=1 nằm trong trường hợp ĐB

\Rightarrow 2x=π2+k2π2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Rightarrow x=π4+kπ,kZx=\frac{\pi}{4}+k\pi , k \in Z

17. 2cos3x+3=02cos3x+\sqrt{3}=0

\Leftrightarrow cos3x=sqrt32cos3x=\frac{-sqrt{3}}{2}

Xác định hướng làm: Ta thấy sqrt32T\frac{-sqrt{3}}{2} \in T

\Rightarrow cos3x=cos5π6cos3x=cos\frac{5\pi}{6}

\Rightarrow 3x=5π6+k2π3x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \Leftrightarrow x=5π16+k23πx=\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi

hoặc 3x=5π6+k2π3x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi \Leftrightarrow x=5π16+k23πx=-\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi

18. sinx=15sinx=\frac{1}{5}

15T\frac{1}{5} \notin T

\Rightarrow x=arcsin15+k2π,kZx=arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z

hoặc: x=πarcsin15+k2π,kZx=\pi - arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z
Chú ý: dấu của k2πk2\pi hay kπk\pi hay là knπkn\pi là dương hay là âm đều giống nhau cả nhé!

BT:

19. sinx=12sinx=\frac{1}{2}

20. cosx=12cosx=\frac{1}{2}

21. 2cos3x=22cos3x=-\sqrt{2}

Tạm thời thế cho các bạn làm quen đã nhé!
 
B

buivanbao123

B- Bài tập

Giải:

16. sin2x1=0sin2x-1=0

BL: pt \Leftrightarrow sin2x=1sin2x=1

Xác định hướng làm: Ta thấy pt này có dạng sinx=1sinx=1 nằm trong trường hợp ĐB

\Rightarrow 2x=π2+k2π2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Rightarrow x=π4+kπ,kZx=\frac{\pi}{4}+k\pi , k \in Z

17. 2cos3x+3=02cos3x+\sqrt{3}=0

\Leftrightarrow cos3x=sqrt32cos3x=\frac{-sqrt{3}}{2}

Xác định hướng làm: Ta thấy sqrt32T\frac{-sqrt{3}}{2} \in T

\Rightarrow cos3x=cos5π6cos3x=cos\frac{5\pi}{6}

\Rightarrow 3x=5π6+k2π3x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \Leftrightarrow x=5π16+k23πx=\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi

hoặc 3x=5π6+k2π3x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi \Leftrightarrow x=5π16+k23πx=-\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi

18. sinx=15sinx=\frac{1}{5}

15T\frac{1}{5} \notin T

\Rightarrow x=arcsin15+k2π,kZx=arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z

hoặc: x=πarcsin15+k2π,kZx=\pi - arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z
Chú ý: dấu của k2πk2\pi hay kπk\pi hay là knπkn\pi là dương hay là âm đều giống nhau cả nhé!

BT:

19. sinx=12sinx=\frac{1}{2}

20. cosx=12cosx=\frac{1}{2}

21. 2cos3x=22cos3x=-\sqrt{2}

Tạm thời thế cho các bạn làm quen đã nhé!

Bài 19: Sinx=12Sinx=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow sinx=sinπ6sinx=sin\dfrac{\pi}{6}
\Leftrightarrow x=π6+k2πx=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi hoặc x=ππ6+k2πx=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi
với k thuộc Z
 
B

buivanbao123

20) cosx=12cosx=\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow cosx=cosπ3cosx=cos\dfrac{\pi}{3}
\Leftrightarrow x=π3+k2πx=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi hoặc x=π3+k2πx=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ( k ϵ\epsilon Z)
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Bài 21:

ptcos3x=22pt \leftrightarrow \cos 3x = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}

x=±π4+23kπ      (kZ)\leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{3}k\pi \;\;\;(k\in Z)

Tiếp đi anh, đang cần bài tập :((
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Up luôn cái còn lại: :D
d) Phương trình cotx=m\cot x = m:


Điều kiện: sinx0\sin x \ne 0

cotx=mx=arccotm+kπ\cot x =m \leftrightarrow x = \text{arccot} m +k\pi
 
M

mua_sao_bang_98

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. sin24xcos26x=sin(21π2+10x)sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)

22. 3cosx+5=03cosx+5=0

23. tanx=12tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}

 
B

buivanbao123

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. sin24xcos26x=sin(21π2+10x)sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)

22. 3cosx+5=03cosx+5=0

23. tanx=12tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}


Bài 21) sin24xcos26x=sin(21π2+10x)sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)

\Leftrightarrow 1cos8x2cos12x+12=sin(10π+π2+10x)\dfrac{1-cos8x}{2}-\dfrac{cos12x+1}{2}=sin(10\pi+\dfrac{\pi}{2}+10x)

\Leftrightarrow cos8xcos12x2=cos10x\dfrac{-cos8x-cos12x}{2}=cos10x

\Leftrightarrow -(cos8x+cos12x)=2cos10x

\Leftrightarrow -2cos10x.cos4x=2cos10x

\Leftrightarrow cos4x=-1

\Leftrightarrow 4x=π+k2π4x=\pi+k2\pi (k thuộc Z)

\Leftrightarrow x=π4+kπ2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} ( k thuộc Z)
 
D

demon311

Làm vài bài BDT lượng giác kiểu này:
24.CM: tanA+tanB+tanC33tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{ 3}
Với A^+B^+C^=π\widehat{ A}+\widehat{ B}+\widehat{ C}=\pi
 
Last edited by a moderator:
B

buivanbao123

Làm vài bài BDT lượng giác kiểu này:
CM: tanA+tanB+tanC33tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{ 3}
Với A^+B^+C^=π\widehat{ A}+\widehat{ B}+\widehat{ C}=\pi

Trước tiên cần chứng minh tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Ta có tanA+tanB+tanC3.tanA.tanB.tanC3tanA+tanB+tanC \ge 3.\sqrt[3]{tanA.tanB.tanC}

mà tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

\Rightarrow tanA+tanB+tanC \geq 3.tanA+tanB+tanC33.\sqrt[3]{ tanA+tanB+tanC}

\Leftrightarrow (tanA+tanB+tanC)327.(tanA+tanB+tanC)(tanA+tanB+tanC)^{3} \ge 27.(tanA+tanB+tanC)

\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC33tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{3}

Dấu = xảy ra khi tanA=tanB=tanC tức A=B=C tam giác ABC đều


Bác gõ \ge là dấu \ge nhé, không cần geq đâu
 
Last edited by a moderator:
B

buivanbao123

chứng minh tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Từ A+B+C=πA+B+C=\pi
\Leftrightarrow (A+B)=(πC)(A+B)=(\pi-C)
\Leftrightarrow tan(A+B)=tan(πC)tan(A+B)=tan(\pi-C)
\Leftrightarrow tanA+tanB1tana.tanB=tanC\dfrac{tanA+tanB}{1-tana.tanB}=-tanC
\Leftrightarrow tana+tanB=-tanC+tanA.tanB.tanC
\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (đpcm)
 
H

huynhbachkhoa23

Tấn công bằng dạng phương trình khác =))

25.Giải phương trình: 3sinx+3=cos2x-3\sin x + 3 =\cos^2 x
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Dạng trên là dạng at2+bt+c=0at^2+bt+c=0

Tiếp:

26.Giải phương trình: cos3x4cos2x+3cosx4=0          x[0;14]\cos 3x -4 \cos 2x +3\cos x - 4=0 \;\;\;\;\; x \in [0;14]
 
Last edited by a moderator:
D

demon311

Dạng trên là dạng at2+bt+c=0at^2+bt+c=0

Tiếp:

Giải phương trình: cos3x4cos2x+3cosx4=0          x[0;14]\cos 3x -4 \cos 2x +3\cos x - 4=0 \;\;\;\;\; x \in [0;14]

Nhác khai triển quá...
$4\cos^3 x-3\cos x - 8\cos^2 x +4 +3\cos x -4 =0 \\
4\cos^3 x - 8\cos^2x=0 \\
\cos x=0 \\
x=\dfrac{ \pi}{2}+k\pi \;\;\;\;\;\;\; 0 \le k \le 3$
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom