Toán 11 [Math 98 Club] Lượng Giác

[huynhbachkhoa23]

Cho tớ hỏi T là tập hợp gì vậy và arc khi nào thì dùng................................................

$T$ là tập hợp mấy góc mà có thể nhớ được lượng giác như $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$, có $\sin \alpha = 1; \cos \alpha = 0;...$

Cái $\text{arc}$ thích thì dùng, nhưng thường dùng khi các góc lượng giác dài dòng như $\sin x= \dfrac{1}{25}$ $\rightarrow x=\arcsin \dfrac{1}{25} \approx \dfrac{\pi}{1,370412682....}$ (lấy 1 trường hợp thôi), cái này thì nhớ bằng niềm tin =))

 

[mua_sao_bang_98]

II - Phương trình lượng giác:

1. Phương trình cơ bản

a. pt: $sinx=a$

- Nếu |a| > 1 \Rightarrow pt vô nghiệm

- Nếu |a| < 1

+ Với $a \in ({\frac{\pm 1}{2}; \frac{\pm \sqrt{3}}{2}; \frac{\pm \sqrt{2}}{2}; \pm 1;0}) =T$
Ta thay $sinx=sin\alpha$ với $\alpha \in ({0; \frac{\pm \pi}{6}; \frac{\pm \pi}{3}; \frac{\pm \pi}{4}; \frac{\pm \pi}{6}})$

pt \Leftrightarrow $sin x = sin \alpha$ với $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi - \alpha + k2\pi$
+ Với $a\notin T$ \Leftrightarrow $x=arcsina+k2\pi$ hoặc $x=\pi -arc sina+k2\pi$
b. pt $cosx=a$

- Nếu |a| > 1 \Rightarrow pt vô nghiệm

- Nếu |a| < 1

+ Với $a \in T$ ta thay $a=cos\alpha$
(Với $\alpha \in ({\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{2};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};...})$)
pt \Leftrightarrow $cos x= cos \alpha$ \Leftrightarrow $x=\pm \alpha +k2\pi$
+ Với $\alpha \notin T$ \Rightarrow $x=\pm arc.cosa+k2\pi $

c. pt: $tan x = a$

- $Tan x = tan \alpha$ \Rightarrow $x=\alpha +k\pi$

- Tan x=a \Rightarrow $x= arc.tana+k\pi$

T là phần tớ dùng chữ màu đỏ nhé!

arc dùng khi các góc đó không phải góc đặc biệt tức là $a \notin T$

 

[mua_sao_bang_98]

B- Bài tập

Giải:

16. $sin2x-1=0$

BL: pt \Leftrightarrow $sin2x=1$

Xác định hướng làm: Ta thấy pt này có dạng $sinx=1$ nằm trong trường hợp ĐB

\Rightarrow $2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ \Rightarrow $x=\frac{\pi}{4}+k\pi , k \in Z$

17. $2cos3x+\sqrt{3}=0$

\Leftrightarrow $cos3x=\frac{-sqrt{3}}{2}$

Xác định hướng làm: Ta thấy $\frac{-sqrt{3}}{2} \in T$

\Rightarrow $cos3x=cos\frac{5\pi}{6}$

\Rightarrow $3x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi$ \Leftrightarrow $x=\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi$

hoặc $3x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi$ \Leftrightarrow $x=-\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi$

18. $sinx=\frac{1}{5}$

Có $\frac{1}{5} \notin T$

\Rightarrow $x=arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z$

hoặc: $x=\pi - arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z$
Chú ý: dấu của $k2\pi$ hay $k\pi$ hay là $kn\pi$ là dương hay là âm đều giống nhau cả nhé!

BT:

19. $sinx=\frac{1}{2}$

20. $cosx=\frac{1}{2}$

21. $2cos3x=-\sqrt{2}$

Tạm thời thế cho các bạn làm quen đã nhé!

 

[buivanbao123]

B- Bài tập

Giải:

16. $sin2x-1=0$

BL: pt \Leftrightarrow $sin2x=1$

Xác định hướng làm: Ta thấy pt này có dạng $sinx=1$ nằm trong trường hợp ĐB

\Rightarrow $2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ \Rightarrow $x=\frac{\pi}{4}+k\pi , k \in Z$

17. $2cos3x+\sqrt{3}=0$

\Leftrightarrow $cos3x=\frac{-sqrt{3}}{2}$

Xác định hướng làm: Ta thấy $\frac{-sqrt{3}}{2} \in T$

\Rightarrow $cos3x=cos\frac{5\pi}{6}$

\Rightarrow $3x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi$ \Leftrightarrow $x=\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi$

hoặc $3x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi$ \Leftrightarrow $x=-\frac{5\pi}{16}+k\frac{2}{3}\pi$

18. $sinx=\frac{1}{5}$

Có $\frac{1}{5} \notin T$

\Rightarrow $x=arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z$

hoặc: $x=\pi - arcsin\frac{1}{5}+k2\pi, k \in Z$
Chú ý: dấu của $k2\pi$ hay $k\pi$ hay là $kn\pi$ là dương hay là âm đều giống nhau cả nhé!

BT:

19. $sinx=\frac{1}{2}$

20. $cosx=\frac{1}{2}$

21. $2cos3x=-\sqrt{2}$

Tạm thời thế cho các bạn làm quen đã nhé!

Bài 19: $Sinx=\dfrac{1}{2}$ \Leftrightarrow $sinx=sin\dfrac{\pi}{6}$
\Leftrightarrow $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$
với k thuộc Z

 

[buivanbao123]

20) $cosx=\dfrac{1}{2}$
\Leftrightarrow $cosx=cos\dfrac{\pi}{3}$
\Leftrightarrow $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ( k $\epsilon$ Z)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 21:

$pt \leftrightarrow \cos 3x = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

$\leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{3}k\pi \;\;\;(k\in Z)$

Tiếp đi anh, đang cần bài tập (

 

[huynhbachkhoa23]

Up luôn cái còn lại:
d) Phương trình $\cot x = m$:


Điều kiện: $\sin x \ne 0$

$\cot x =m \leftrightarrow x = \text{arccot} m +k\pi$

 

[mua_sao_bang_98]

Bài 21:

$pt \leftrightarrow \cos 3x = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

$\leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{3}k\pi \;\;\;(k\in Z)$

Tiếp đi anh, đang cần bài tập (

Chỗ này là bạn phải chia cho 3 nữa chứ nhỉ? .

 

[mua_sao_bang_98]

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. $sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)$

22. $3cosx+5=0$

23. $tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

[buivanbao123]

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. $sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)$

22. $3cosx+5=0$

23. $tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

23) tanx=$\frac{1}{\sqrt{2}}$ \Leftrightarrow x=arctan$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$k\pi$(k thuộc Z)

 

[buivanbao123]

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. $sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)$

22. $3cosx+5=0$

23. $tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

22)3cosx+5=0 \Leftrightarrow cosx=$\dfrac{-5}{3}$ Pt vô nghiệm vì cosx>-1

 

[buivanbao123]

Chỗ này là bạn phải chia cho 3 nữa chứ nhỉ? .

Bài này làm đúng rồi đấy cậu
cos3x=$\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
\Leftrightarrow cos3x=$cos\dfrac{3\pi}{4}$
\Leftrightarrow 3x=$\pm$ $\dfrac{3\pi}{4}$+$k2\pi$ ( k thuộc z) rồi chia 2 vế cho 3 là ra x

 

[buivanbao123]

Làm thêm vài bài nữa cho quen nhé!

21. $sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)$

22. $3cosx+5=0$

23. $tanx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài 21) $sin^24x-cos^26x=sin(\frac{21\pi}{2}+10x)$

\Leftrightarrow $\dfrac{1-cos8x}{2}-\dfrac{cos12x+1}{2}=sin(10\pi+\dfrac{\pi}{2}+10x)$

\Leftrightarrow $\dfrac{-cos8x-cos12x}{2}=cos10x$

\Leftrightarrow -(cos8x+cos12x)=2cos10x

\Leftrightarrow -2cos10x.cos4x=2cos10x

\Leftrightarrow cos4x=-1

\Leftrightarrow $4x=\pi+k2\pi$ (k thuộc Z)

\Leftrightarrow $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$ ( k thuộc Z)

 

[demon311]

Làm vài bài BDT lượng giác kiểu này:
24.CM: $tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{ 3}$
Với $\widehat{ A}+\widehat{ B}+\widehat{ C}=\pi$

 

[buivanbao123]

Làm vài bài BDT lượng giác kiểu này:
CM: $tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{ 3}$
Với $\widehat{ A}+\widehat{ B}+\widehat{ C}=\pi$

Trước tiên cần chứng minh tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Ta có $tanA+tanB+tanC \ge 3.\sqrt[3]{tanA.tanB.tanC}$

mà tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

\Rightarrow tanA+tanB+tanC \geq $3.\sqrt[3]{ tanA+tanB+tanC}$

\Leftrightarrow $(tanA+tanB+tanC)^{3} \ge 27.(tanA+tanB+tanC)$

\Leftrightarrow $tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi tanA=tanB=tanC tức A=B=C tam giác ABC đều

Bác gõ \ge là dấu $\ge$ nhé, không cần geq đâu

 

[buivanbao123]

chứng minh tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Từ $A+B+C=\pi$
\Leftrightarrow $(A+B)=(\pi-C)$
\Leftrightarrow $tan(A+B)=tan(\pi-C)$
\Leftrightarrow $\dfrac{tanA+tanB}{1-tana.tanB}=-tanC$
\Leftrightarrow tana+tanB=-tanC+tanA.tanB.tanC
\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (đpcm)

 

[huynhbachkhoa23]

Tấn công bằng dạng phương trình khác =))

25.Giải phương trình: $-3\sin x + 3 =\cos^2 x$

 

[demon311]

Tấn công bằng dạng phương trình khác =))

Giải phương trình: $-3\sin x + 3 =\cos^2 x$

$-3\sin x + 3 =\cos^2 x \\
-3\sin x+2=\cos^2 x-1 \\
\sin^2 x -3\sin x+2=0 \\
\left[ \begin{array}{ll}
\sin x=1 \\
\sin x= 2 (loại)
\end{array} \right.
\rightarrow x=\dfrac{ \pi}{2}+k\pi$

 

[huynhbachkhoa23]

Dạng trên là dạng $at^2+bt+c=0$

Tiếp:

26.Giải phương trình: $\cos 3x -4 \cos 2x +3\cos x - 4=0 \;\;\;\;\; x \in [0;14]$

 

[demon311]

Dạng trên là dạng $at^2+bt+c=0$

Tiếp:

Giải phương trình: $\cos 3x -4 \cos 2x +3\cos x - 4=0 \;\;\;\;\; x \in [0;14]$

Nhác khai triển quá...
$4\cos^3 x-3\cos x - 8\cos^2 x +4 +3\cos x -4 =0 \\
4\cos^3 x - 8\cos^2x=0 \\
\cos x=0 \\
x=\dfrac{ \pi}{2}+k\pi \;\;\;\;\;\;\; 0 \le k \le 3$