Toán 11 [Math 98 Club] Lượng Giác

[congratulation11]

Tớ thì giải câu I.2 thế này!

Câu I.2:

Ta có thể dựa vào đồ thi để xác định nghiệm.

PT: $|x^2-4x+3|-m^2-m=0$
$\leftrightarrow |x^2-4x+3|=m^2+m$
[TEX]\leftrightarrow \left[\begin{matrix}x^2-4x+3=m^2+m \ \ (1) \\ x^2-4x+3=-m^2-m \ \ (2) \end{matrix}\right[/TEX]

Ta thấy: $m^2+m=|x^2-4x+3|\ge 0$ với mọi m $\rightarrow -m^2-m \le 0$ với mọi m.

Như vậy: $Parabol (P): y=x^2-4x+3$ luôn cắt đường thẳng $y=m^2+m$ tại 2 điểm phân biệt với mọi
Hay: PT (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m.

---> Để PT đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì Pt (2) phải có nghiệm duy nhất, từ đó giải đk của m theo kiểu tam thức bậc II là ra: $m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Vậy:.... ta đã làm xong câu này

 

[mua_sao_bang_98]

Ạch! còn câu cuối congtu chữa đi nhé! tớ thì tớ chả bao giờ đụng đến bài đó rồi! .

 

[mua_sao_bang_98]

http://diendan.hocmai.vn/group.php?groupid=885

Rồi nhé! em đã tìm ra nơi trú ngụ của chúng ta! ai muốn đăng kí làm thành viên của nhóm thì cứ vô bấm tham gia là ok nhé!

 

[congratulation11]

Chém đại

Câu V (1.0 điểm).

Cho $a, \ \ b, \ \ c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^3+b^3+c^3=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=5(a^2+b^2+c^2)+4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} )$​

Ta thấy: $5(a^2+b^2+c^2) \ge 5.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=15\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \\ 4 (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 4.3 \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\rightarrow P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\rightarrow P\ge 27$

Như vậy: $P_{min}=27\leftrightarrow a=b=c=1$

 

[mua_sao_bang_98]

Ta thấy: $5(a^2+b^2+c^2) \ge 5.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=15\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \\ 4 (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 4.3 \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\rightarrow P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\rightarrow P\ge 27$

Như vậy: $P_{min}=27\leftrightarrow a=b=c=1$

Tớ có thấy sai chỗ nào đâu nhỉ? .
p/s: dạng này tớ siêu ***

 

[demon311]

Mình không hiểu các bạn làm min max thế nào chứ mình là cứ phải đưa về một con số chứ không thể để giữ chừng như thế rồi kết luận điều kiện dấu bằng xong rồi ráp vào. Theo mình thì nó sai. Các bạn rất dễ sai do xác định dấu bằng sai. Cách này trường mình cấm

 

[thang271998]

Ta thấy: $5(a^2+b^2+c^2) \ge 5.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=15\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \\ 4 (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 4.3 \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\rightarrow P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\rightarrow P\ge 27$

Như vậy: $P_{min}=27\leftrightarrow a=b=c=1$

Tôm ơi, chạy à.......mấy bài này để sau hẹn với tớ...thì thực hiện nhanh thôi..Tơsootst ruột lắm rồi

 

[vuive_yeudoi]

Ta thấy: $5(a^2+b^2+c^2) \ge 5.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=15\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \quad{(1)} \\ 4 (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 4.3 \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \quad{(2)}$

$\rightarrow P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \quad{(3)}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\rightarrow P\ge 27$

Như vậy: $P_{min}=27\leftrightarrow a=b=c=1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=1 $ là của các bất đẳng thức $ \displaystyle (1) \ ; \ (2) $ .

Không liên quan gì đến $ \displaystyle (3) $ mà thay vào rồi suy ra
$$ P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \ge 27 $$
hết .

Thực tế trong điều kiện bài toán là $ \displaystyle a,b,c > 0 \ ; \ a^3+b^3+c^3=3 $ thì bất đẳng thức
$$ 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \ge 27 $$
không đúng .

Chẳng hạn như có thể chỉ ra một phản ví dụ là $ \displaystyle a=\frac{5}{4} \ ; \ b=\frac{3}{10} \ ; \ c=\sqrt[3]{3-a^3-b^3} \approx 1.006581588 $ thì khi đó
$$ 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \approx 24.43882515 < 27 $$
Cái bước cuối cùng , chỉ ra đẳng thức xảy ra ở đâu đó , là tổng hợp tất cả các đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức đã dùng trong bài giải .

Ví dụ như trong điều kiện bài toán là $ \displaystyle a,b,c > 0 \ ; \ a^3+b^3+c^3=3 $ thì bất đẳng thức sau là một bất đẳng thức đúng
$$ 5a^2+\frac{4}{a} \ge 2a^3+7 \quad{(4)} $$
Theo đề bài thì $ \displaystyle 0 < a < \sqrt[3]{3} $ nên $ 4+a-2a^2 >0 $.

Vậy nên tất nhiên là
$$ 5a^2+\frac{4}{a} -2a^3-7=\frac{\left( a-1 \right)^2 \left( 4+a-2a^2 \right)}{a} \ge 0$$
Bất đẳng thức $ \displaystyle (4) $ đúng với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle a=1 $.

Tương tự vậy cũng có
$$ 5b^2+\frac{4}{b} \ge 2b^3+7 \quad{(5)} $$
với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle b=1 $.

Và
$$ 5c^2+\frac{4}{c} \ge 2c^3+7 \quad{(6)} $$
với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle c=1 $.

Từ $ \displaystyle (4) \ ; \ (5) \ ; \ (6) $ có
$$ P=5a^2+\frac{4}{a}+5b^2+\frac{4}{b}+5c^2+\frac{4}{c} \ge 2 \left( a^3+b^3+c^3 \right)+21=2 \cdot 3 +21=27 $$
Với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1 $.

Vậy
$$ \min \ P=27 $$

 

[buivanbao123]

Ta thấy: $5(a^2+b^2+c^2) \ge 5.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=15\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \\ 4 (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 4.3 \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\rightarrow P \ge 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\rightarrow P\ge 27$

Như vậy: $P_{min}=27\leftrightarrow a=b=c=1$

Làm vậy vẫn chưa được đâu, chưa chứng minh đk a=b=c mà

 

[congratulation11]

Cơ mà nghĩ lại thì tớ thấy đk này cũng khá được !

Dấu "=" $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2 \\ \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} \\ a^3+b^3+c^3=3\end{matrix}\right.$

Không biết mọi người nghĩ sao....

Tớ nghĩ dấu "=" ở (3) xảy ra khi dấu "=" ở (1) và (2) xảy ra cùng lúc chớ.......

------------------
@ vuiveyeudoi: vậy nếu em trình bày theo kiểu xét dấu "=" của từng bdt nhỏ sau đó gom lại thì nó vẫn là $a=b=c=1$ mà! :-/

 

[endinovodich12]

Ảo nhờ !
Tiêu đề thì ghi '' lượng giác'' ; mà vô đây xem thấy chém toàn bất đẳng thức !

 

[demon311]

Lại bạn congratulation post cái đề mà anh.
Bài mới:
Cho $\dfrac{ 1}{a}+\dfrac{ 1}{b}+\dfrac{ 1}{c}=1$, $a,b,c>0$. Chứng minh

$\sqrt{ a+bc}+\sqrt{ b+ac}+\sqrt{ c+ab} \ge \sqrt{ abc}+\sqrt{ a}+\sqrt{ b}+\sqrt{ c}$

 

[congratulation11]

Cơ mà nghĩ lại thì tớ thấy đk này cũng khá được !

Dấu "=" $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2 \\ \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} \\ a^3+b^3+c^3=3\end{matrix}\right.$

Không biết mọi người nghĩ sao....

Tớ nghĩ dấu "=" ở (3) xảy ra khi dấu "=" ở (1) và (2) xảy ra cùng lúc chớ.......

------------------
@ vuiveyeudoi: vậy nếu em trình bày theo kiểu xét dấu "=" của từng bdt nhỏ sau đó gom lại thì nó vẫn là $a=b=c=1$ mà! :-/

Các bạn qua lí giải cái, ....

Bạn nào có cách áp dụng bdt cô si để giải bài đó ko????

 

[endinovodich12]

Nhắc đến BĐT phát chán !
.........................................................

 

[demon311]

Các bạn qua lí giải cái, ....

Bạn nào có cách áp dụng bdt cô si để giải bài đó ko????

Nói chung là bạn phải đưa về 1 giá trị cụ thể chứ không phải biến đổi một hai bước rồi lấy điều kiện dấu bằng xong thế vào.

 

[solydxk]

mình yếu cái vụ bđt này lắm, làm thử thôi, nếu sai bét mong mn thông cảm cho

[tex]P = 5({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right);{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3[/tex]

* [tex]{(a + b + c)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)[/tex]
Theo côsi 3 số:
[tex](a + b)(b + c)(c + a) \le \frac{{8{{(a + b + c)}^3}}}{{27}}[/tex]
[tex] \Rightarrow {(a + b + c)^3} \le {a^3} + {b^3} + {c^3} + \frac{{8{{(a + b + c)}^3}}}{9}[/tex]
[tex] \Rightarrow {(a + b + c)^3} \le 9({a^3} + {b^3} + {c^3}) = 27[/tex]
[tex] \Rightarrow a + b + c \le 3[/tex]

dự đoán dấu bằng xảy ra tại biên khi [tex]a + b + c = 3[/tex]

* [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Rightarrow 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{36}}{{a + b + c}}[/tex]

* [tex]\frac{{{a^2}}}{1} + \frac{{{b^2}}}{1} + \frac{{{c^2}}}{1} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} \Rightarrow 5({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge \frac{{5{{(a + b + c)}^2}}}{3}[/tex]

[tex] \Rightarrow P \ge \frac{{5{{(a + b + c)}^2}}}{3} + \frac{{36}}{{a + b + c}}[/tex]

Chọn điểm rơi: [tex]\frac{{5{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \frac{x}{{a + b + c}} \Rightarrow x = 45[/tex]

[tex]P \ge \frac{{5{{(a + b + c)}^2}}}{3} + \frac{{45}}{{a + b + c}} + \frac{{45}}{{a + b + c}} - \frac{{54}}{{a + b + c}}[/tex]

Theo côsi 3 số:
[tex]P \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{5{{(a + b + c)}^2}}}{3}.\frac{{45}}{{a + b + c}}.\frac{{45}}{{a + b + c}}}} - \frac{{54}}{{a + b + c}} = 45 - 18 = 27[/tex]

kết hợp tất cả các đk, [tex]\min P = 27[/tex] khi [tex]a = b = c = 1[/tex]

 

[demon311]

Bạn bắt đầu gặp lỗi ở đoạn $\dfrac{ 54}{a+b+c}$ nhé. Vì dấu trừ nên là \leq. Vưa \leq vừa \geq nên không được. Mình cũng đang làm đây

 

[mua_sao_bang_98]

Nhắc nhở: Chữa nốt bài BĐT này thôi rồi quay về LƯỢNG GIÁC đi! lạc đề quá rồi!

 

[congratulation11]

Lượng giác đến đây!

........................................------------------------------...................................................

------
Tớ thấy phần PT, HPT, BPT cũng khá hay, cậu lập các topic ấy nhé, nếu có mỗi cái lượng giác thì hơi nghèo, ý tớ là ôn song song....

 

[thang271998]

Mọi người đã thích bất đẳng thức vậy thì làm thử bài này:
$tan^6\frac{a}{2}+tan^6\frac{b}{2}+tan^6\frac{c}{2}$\geq$\frac{1}{9}$