[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[vodichhocmai]

Cho:

Tìm giá trị lớn nhất của A
​

[TEX]A:=-\(\frac{9}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\)+11[/TEX] |

 

[utit_9x]

\Leftrightarrow [TEX]2x^2 - 5(\sqrt{x+1}-1)=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]2x^2-5.\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x.(2x-\frac{5}{\sqrt{x+1}+1})=0 [/TEX]

+ [TEX]x=0[/TEX]

+ [TEX]2x = \frac{5}{\sqrt{x+1}+1}[/TEX] (*)

ĐK : [TEX]x > 0[/TEX]

VT đồng biến, VP nghịch biến
\Rightarrow (*) có nhiều nhất 1 nghiệm
Có nghiệm là gì ấy nhỉ? Ai làm nốt hộ với (

Nghiệm cái kia lẽ ~~~
[TEX]2x = \frac{5}{\sqrt{x+1}+1}[/TEX]
<=> [TEX]4{x}^{3}+20x-25=0[/TEX] (x\geq0)

 

[duynhan1]

Giải PT
[TEX]x^3 - 3 = 2\sqrt[3]{2x + 3}[/TEX]

[TEX]y= \sqrt[3]{2x+3} \Rightarrow \left{ y^3 = 2x + 3 \\ x^3 = 2y + 3 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy) =-2(x-y) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = y ( do x^2+y^2 + xy \ge 0 ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3 = 2x + 3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3 -2x - 3 = 0 (1) [/TEX]

[TEX]x = y + \frac{2}{3y} [/TEX] ( Do cách đặt nên khi giải ta lấy cả nghiệm phức của y)

[TEX]\Rightarrow x^3 = y^3 + \frac{8}{27y^3} + 2( y + \frac{2}{3}) y [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow y^3 + \frac{8}{27y^3} - 3 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y^6 - 3y^3 + \frac{8}{27} = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ y^3 = .... \\ y^3 = ...........[/TEX]

 

[bananamiss]

78. [TEX] \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

78.

[TEX]\tex{ 4x^2-12x+5+\sqrt{2x+1}=0 [/TEX]
.........

Lâu lắm mới có người đánh số thứ tự ^^

[TEX]3-2y = \sqrt{2x+1} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ 4y^2 - 12 y = 2x - 8 \\ 4x^2 -12 x = 2y - 8 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4(x^2-y^2) - 12(x-y) = -2(x-y) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = y \\ 2(x+y) - 5 = 0 [/TEX]

 

[acsimet_91]

78.

[TEX]\tex{ 4x^2-12x+5+\sqrt{2x+1}=0 [/TEX]



.........

\Leftrightarrow [TEX](2x-2)^2 - (2x-2)= 2x+1-\sqrt{2x+1}[/TEX]


Xét đồ thị hàm [TEX]f(t) = t^2-t[/TEX] là 1 parabol đỉnh [TEX]I(\frac{1}{2};\frac{-1}{4})[/TEX]

\Rightarrow [TEX]f(t)=m[/TEX] (m bất kì) có nhiều nhất 2 nghiệm và hoành độ giao điểm (nêú có ) của đồ thị hàm [TEX]f(t)[/TEX] và đừơng thẳng [TEX]y=m [/TEX] đối xứng nhau qua đường thẳng [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]

Ta có [TEX]f(2x-2)=f(\sqrt{2x+1})[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2x-2 + \sqrt{2x+1}=2.\frac{1}{2}=1[/TEX]

hoặc [TEX]2x-2 = \sqrt{2x+1}[/TEX]



Giải pt này được [TEX]x=\frac{7 -\sqrt{17}}{4},x=\frac{5+ \sqrt{13}}{4}[/TEX]

Vậy phương trình có nghiệm [TEX]x=\frac{7 - \sqrt{17}}{4};x=\frac{5+ \sqrt{13}}{4}[/TEX]

ko hiểu cách của bạn duynhan lắm! y là gì vậy? . giải thích rõ hơn được ko? thanks!

 

[bananamiss]

78.

[TEX]\tex{ 4x^2-12x+5+\sqrt{2x+1}=0 [/TEX]



.........

cách khác nữa nè, 3 cách lận

[TEX]\tex{ \Leftrightarrow 4x^2-12x+5=-\sqrt{2x+1} \\ \Leftrightarrow 4x^2-10x+\frac{25}{4}=2x+1-\sqrt{2x+1}+\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow (2x-\frac{5}{2})^2=(\sqrt{2x+1}-\frac{1}{2})^2 \\ \Leftrightarrow...[/TEX]

@duynhan: sao tự nhiên nghĩ ra cái cách đặt ??? :|

 

[firephoenix52]

78.

[TEX]\tex{ 4x^2-12x+5+\sqrt{2x+1}=0 [/TEX]



.........

Cách nữa nhé )
Đặt[tex] t=\sqrt{2x+1} >0[/tex]
pt tương đương:
[tex](t^{2}-1)(t^{2}-7)+5+t=0[/tex]
[tex]<=>t^{4}-8t^{2}+t+12=0[/tex]
[tex]<=>(t^{2}-t-3)(t^{2}+t-4)=0[/tex]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]x=\frac{7 - \sqrt{17}}{4}[/TEX]

Còn nhiều nghiệm nữa cơ mà

 

[lengfenglasaingay]

@duynhan: sao tự nhiên nghĩ ra cái cách đặt ???
__________________

đây là một pt có dang đặc biết.

cách đặt:
[TEX]\sqrt{ax+b}=c({dx+e})^2+ \alpha x+\beta [/TEX]

[TEX]d=ax+\alpha , e=bc+\beta [/TEX]
Đk:..
[TEX]dy+e=\sqrt{ax+b}(đk:dy+e\geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow : [/TEX][TEX](1)dy+e= \sqrt{ax+b}[/TEX]

[TEX](2)dy+e=c({dx+e})^2+ax+b[/TEX]

từ đây nó sẽ là một hệ pt có cách giải tổng quát

 

[lantrinh93]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2[/TEX]
[TEX]\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2[/TEX]

 

[duynhan1]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2[/TEX]
[TEX]\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2[/TEX]

[TEX]DK : x,y \ge 2[/TEX]
Trừ vế theo vế rồi nhân lượng liên hợp ta có :

[TEX]\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+91} + \sqrt{y^2+91} } = \frac{y-x}{\sqrt{x-2} + \sqrt{y-2}} + (y-x)(x+y)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=y (do\ dieu\ kien )[/TEX]

Thay vào (1) ta có :
[TEX]\sqrt{x^2+91} = \sqrt{x-2} + x^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2+91} - 10 = \sqrt{x-2} - 1 + x^2 - 9 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 3 \\ \frac{x+3}{\sqrt{x^2+91} + 10} = \frac{1}{\sqrt{x-2}+1} + x+ 3 (2)[/TEX]

(2) vô nghiệm do [TEX]VT < 1, VP \ge 5[/TEX]

Nghiệm của hệ: x=y=3

 

[bunny147]

giải hệ pt
[TEX]\sqrt{x^2+91}=\sqrt{y-2}+y^2[/TEX]
[TEX]\sqrt{y^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2[/TEX]

Giải :
[TEX]DK : x \geq 2 ; y \geq2 [/TEX]
[TEX] Tru theo ve ta duoc : \sqrt{x-2}+x^2 + \sqrt{x^2+91} = \sqrt{y-2}+y^2 +\sqrt{y^2+91} [/TEX] (*)

Đặt [TEX] f(t) = t^2 + \sqrt{t-2} + \sqrt{t^2+91}[/TEX]
đồng biến trên[TEX] [2;+\infty)[/TEX] nên (*) \Leftrightarrow [TEX]x = y[/TEX]
Thay x = y vào 1 pt ta được :

[TEX]\sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{x^2+91} - 10 =\sqrt{x-2} -1 +x^2 - 9 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x -3)(x +3 + \frac{1}{\sqrt{x -2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x^2 +91} + 10} = 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x-3=0}\\{x +3 + \frac{1}{\sqrt{x -2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x^2 +91} + 10} = 0} (VN) [/TEX]

Vậy hệ có 1 nghiệm : x= y = 3

PS : Không biết bạn trên làm rồi, ngồi gõ cái CT lâu quá , mod thấy dư thì del bài nhá , ko cố ý spam .

 

[jenjen00]

tìm m để hệ sau có nghiệm :
[TEX]\left{\begin{\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{y} = m}\\{\sqrt[]{y + 1} + \sqrt[]{x} = 1} [/TEX]

 

[jumongs]

Mình gửi 1 bài hay nha:
1. Giải bpt:[TEX]5^{x+log_3\sqrt{x+4}}+125x\geq x.5^x+5^{3+log_3\sqrt{x+4}[/TEX]

 

[duynhan1]

tìm m để hệ sau có nghiệm :
[TEX]\left{\begin{\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{y} = m}\\{\sqrt[]{y + 1} + \sqrt[]{x} = 1} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x} + \sqrt{y+1} + \sqrt{y} = m+1 \\ \sqrt{x+1}-x - (\sqrt{y+1} -\sqrt{y}) = m-1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\sqrt{x+1} + \sqrt{x} + \sqrt{y+1} + \sqrt{y} = m+1 \\ \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y+1} +\sqrt{y}} = m-1[/TEX]

Chị giải tiếp thử ạ!! [TEX] \left( a = \sqrt{x+1} + \sqrt{x} \\ b = \sqrt{y+1} + \sqrt{y}\right)[/TEX]

 

[lantrinh93]

(
bài này hôm trước ko biết , ko biết có hỏi chưa nửa
hôm nay đọc lại cũng ko biết (

giải hệ
[TEX]y^3=x^3(9-x^3)[/TEX]
[TEX]x^2.y+y^2=6x[/TEX]

 

[bunny147]

(
bài này hôm trước ko biết , ko biết có hỏi chưa nửa
hôm nay đọc lại cũng ko biết (

giải hệ
[TEX]y^3=x^3(9-x^3)[/TEX]
[TEX]x^2.y+y^2=6x[/TEX]

Giải thử nhé !
Thử nghiệm x=0 trước khi đặt nhé anh!
+ Đặt y = tx
Hệ \Leftrightarrow [tex]\left\{ \begin{array}{l} t^3.x^3 = x^3(9-x^3) \\ t.x^3+t^2.x^2 =6x \end{array} \right.[/tex]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x=0 ; y = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l} t^3 = 9-x^3 \\ t.x^2+t^2.x =6 \end{array} \right.} (1) [/TEX]
+ Giải (1)
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} t^3 = 9-x^3 \\ t.x^2+t^2.x =6 \end{array} \right.[/TEX]
ra nghiệm x; t) = (2;1 ) và (x;t) = (1;2)
=> x = y = 2 và x = 1 ; y = 2

Vậy pt có 3 nghiệm : (0;0) , (2;2) , (1;2)

^^! , gõ cái latex ngốn thời gian kinh quá, t ko biết gõ :">

 

[bananamiss]

79.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

80.[TEX] \ \ \ \ \[/TEX]

81.
[TEX] \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[giotsuong_93]

(
bài này hôm trước ko biết , ko biết có hỏi chưa nửa
hôm nay đọc lại cũng ko biết (

giải hệ
[TEX]y^3=x^3(9-x^3)[/TEX]
[TEX]x^2.y+y^2=6x[/TEX]

cách khác
Xét trường hợp [TEX]x=0 \to y=0[/TEX]
Xét [TEX]x,y \neq 0[/TEX]:
[TEX](1)\Leftrightarrow (x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)=9x^3 [/TEX] (3)
[TEX](2)\Leftrightarrow (x^2+y)=\frac{6x}{y}[/TEX] (4)
Thay (4) vào (3)
[TEX]\to 2(x^4-x^2y+y^2)=3x^2y \Leftrightarrow 2(x^4+2x^2y+y^2)=9x^2y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2+y)^2=\frac{9}{2}x^2y[/TEX] (5)
(4) [TEX]\Leftrightarrow (x^2+y)^2=\frac{36x^2}{y^2}[/TEX] (6)
Từ (5),(6) [TEX] \to y^3=8 \to y=2 \to x=1 \vee x=2[/TEX]:-SS:-SS

 

[ngomaithuy93]

79.[TEX]\huge \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{3}(\frac{1}{\sqrt{4x-3}}+\frac{1}{\sqrt{5x-6}})[/TEX]

[TEX]dk: x>\frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]pt \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4x-3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5x-6}}-\frac{1}{\sqrt{2x-3}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x}.\sqrt{4x-3}.(\sqrt{3x}+\sqrt{4x-3})}=\frac{x-3}{\sqrt{5x-6}.\sqrt{2x-3}.(\sqrt{6x-9}+\sqrt{5x-6})}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{x=3}\\{\sqrt{x}.\sqrt{4x-3}.(\sqrt{3x}+\sqrt{4x-3})=\sqrt{5x-6}.\sqrt{2x-3}.(\sqrt{3(2x-3)}+\sqrt{5x-6})(1)}[/TEX]
Xét pt (1):

• [TEX]x>3 \Rightarrow \left{{\sqrt{2x-3}>\sqrt{x}}\\{\sqrt{5x-6}>\sqrt{4x-3}}[/TEX]
• [TEX]x<3 \Rightarrow \left{{\sqrt{2x-3}<\sqrt{x}}\\{\sqrt{5x-6}<\sqrt{4x-3}}[/TEX]

\Rightarrow pt đã cho có nghiệm dn x=3