[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[lancurui]

=keropik;1397566]1. Giải hệ pt

Đáp án: có 4 nghiệm cơ @_@
x=0, y=2
x=0, y=-2
x=-1, y=3
x=1, y=-3
Mình thấy y=0 không là nghiệm, rồi chia pt 1 cho [TEX]y^3[/TEX], chia phương trình 2 cho [TEX]y^2[/TEX], đặt ẩn là ra

 

[ngomaithuy93]

15.

[TEX]hpt \Leftrightarrow \left{{y^2=\frac{2x}{x^2+1}}\\{2x^3+3x^2-12x+13=-6y}[/TEX]
N/x: Đk của nghiệm: [TEX]\left{{x \geq 0}\\{y<0}[/TEX]
[TEX]hpt \Rightarrow 2x^3+3x^2-12x+13=6\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2x(x^2+1-2x)+7(x^2+1-2x)+6=6\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}}[/TEX]
[TEX] \left{{u=2x(u \geq 0)}\\{v=x^2+1(v>0)}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v})(u+7)=6\frac{\sqrt{u}-\sqrt{v}}{\sqrt{v}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{u=v}\\{(\sqrt{uv}+v)(u+7)=6(1)}[/TEX]
[TEX] (1) \Leftrightarrow (\sqrt{\frac{u}{v}}+1)(\frac{u}{v}+7)=\frac{6}{v^2}[/TEX]
[TEX] N/x: \left{{u \leq v}\\{v \geq 1} \Rightarrow \left{{\frac{6}{v^2} \leq6}\\{\frac{u}{v}<1}[/TEX]
[TEX] \left{{VT(1) \geq 7}\\{VP(1) \leq 6}[/TEX] \Rightarrow (1) vô nghiệm.
Khi u=v \Rightarrow x=1 \Rightarrow y=-1

 

[kiburkid]

Chả biết đánh số kiểu gì, cứ coi vậy đi
n,
[tex]\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+x-\frac{1}{y} = 2 \\ y-y^2 x-2y^2 =-2 \end{array} \right.[/tex]

 

[viva_la_vida]

Từ pt (1) \Rightarrow y khác 0
Chia cả 2 vế của 2 cho [TEX]y^2[/TEX] ta đc ; [TEX]\frac{1}{y}-x-2=-\frac{2}{y^2} (3)[/TEX]

Trừ vế với vế pt (2) và (3) ta đc [TEX](x-\frac{1}{y})(1+x+\frac{1}{y})=0[/TEX]

Với [TEX]\frac{1}{y}=x[/TEX] thay vào (1) đc [TEX]x^2=1[/TEX]

Với [TEX]\frac{1}{y}=-1-x[/TEX] thay vào (1) đc [TEX]2x^2+2x-1=0[/TEX]
Từ đó tính đc y
Rồi, xem đc chưa, anh tính d-ôt

 

[0vietsang0]

các bạn làm thử câu này xem cũng khá hay đó:
[TEX](3x+1)sqrt{2x^2 -1} = 5x^2 + \frac{3x}{2}-3[/TEX]

 

[kiburkid]

Từ pt (1) \Rightarrow y khác 0
Chia cả 2 vế của 2 cho [TEX]y^2[/TEX] ta đc ; [TEX]\frac{1}{y}-x-2=-\frac{2}{y^2} (3)[/TEX]

Trừ vế với vế pt (2) và (3) ta đc [TEX](x-\frac{1}{y})(1-x-\frac{1}{y})=0[/TEX]
===> Sai rùi nhé. Anh xem lại dùm em...

Với [TEX]\frac{1}{y}=x[/TEX] thay vào (1) đc [TEX]x^2=1[/TEX]

Với [TEX]\frac{1}{y}=1-x[/TEX] thay vào (1) đc [TEX]2x^2+2x-3=0[/TEX]
Từ đó tính đc y

................................................................................

 

[ruacon_hth]

Đặt [TEX]2^x = t[/TEX] (t > 0) \Rightarrow [TEX]x = log_2t[/TEX] . Biến đổi phương trình thành

[TEX](t - 1)( t - 11 + log_2t ) = 0[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{t=1}\\{t+log_2t=11}[/TEX]

Phương trình thứ hai xét hàm số f(t) = [TEX]t + log_2t[/TEX] (t > 0) suy ra nghiệm duy nhất của t, từ đó suy ra x


(2) \Rightarrow [TEX]2-x-3y = log_43[/TEX] \Rightarrow [TEX]3=4^{2-x-3y}[/TEX]. Thay vào (1)

\Rightarrow [TEX]4^{x+y-1} + 4^{-x-y+1} = 2[/TEX]. Đặt [TEX]a=4^{x+y-1}[/TEX] \Rightarrow [TEX]a+\frac{1}{a}=2[/TEX] \Rightarrow [TEX]a=1[/TEX] \Rightarrow [TEX]x+y=1[/TEX]

Thay [TEX]x+y=1[/TEX] vào (2) \Rightarrow [TEX]y=\frac{1}{2}-log_{16}3[/TEX] \Rightarrow [TEX]x=\frac{1}{2}+log_{16}3[/TEX]

bài 6 còn có thể có một cách khác là biến đổi đặt không hoàn toàn theo ẩn mới như sau đặt [tex] 2^{x} =t , t\geq 0 [/tex]

=> [tex] t^{2} +(x-12)t +11-x =0 [/tex]

<=> [tex] t=1 [/tex] hoặc [tex] t=11-x [/tex]

với [tex] t=1 => x=0 [/tex]

với [tex]t=11-x =>2^{x} =11-x [/tex]

dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình

ta có : VT luôn đồng biến trên txd

VP luôn nghịch biến trên txd

=> x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình

vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0 và x=3

 

[lamquochoang]

[tex]\frac{1}{1-x^2}[/tex]>[tex]\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] -1 (giải hộ mình bài này , rỏ rỏ tí để mình dể hiểu^^)

[tex]\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}+1}[/tex] mình k biết đánh , đánh lại cái sry^^

 

[tuyn]

Mình góp 1 bài
[TEX]\left{\begin{\sqrt{4x^2+(4x-9)(x-y)}+\sqrt{xy}=3y}\\{\sqrt[4]{(x+2)(y+2x)}=3(x+3)}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX] [TEX]64. \\ x^3 + \sqrt{(1-x^2)^3} = x\sqrt{2.(1-x^2)}[/TEX]

[TEX]DK: 0 \le x \le 1 [/TEX]
[TEX]x = siny ( y \in [ - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ] )[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow sin^3 y + cos^3 y = \sqrt{2} sin y . cos y [/TEX]

[TEX]t = sin y + cos y ( |t| \le \sqrt{2} ) \Rightarrow t^3 - 3t ( \frac{t^2 -1}{2} ) = \sqrt{2} \frac{t^2-1}{2} \\ \Leftrightarrow 2t^3 - 3t( t^2 -1) = \sqrt{2} ( t^2 -1) \\ \Leftrightarrow t^3 + \sqrt{2} t^2- 3t - \sqrt{2} = 0 \\ \Leftrightarrow ( t - \sqrt{2} ) ( t+1+\sqrt{2})(t+\sqrt{2}-1)=0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ t = sqrt{2} (thoa) \\ t = -1 - \sqrt{2} (loai) \\ t =1 - \sqrt{2} (thoa) [/TEX]

[TEX]TH1: t = \sqrt{2} \Leftrightarrow sin( y + \frac{\pi}{4} ) = 1 \Leftrightarrow y = \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} [/TEX]

[TEX]TH2 : t = 1 - \sqrt{2} \Leftrightarrow x + \sqrt{1-x^2 } = 1 - \sqrt{2} [/TEX]
Đặt : [TEX]\left{ u = x \\ v= \sqrt{1-x^2} ( v \ge0 ) [/TEX]. Ta có :
[TEX]\left{ u+v = 1 - \sqrt{2} \\ u^2 + v^2 = 1 \right. \Leftrightarrow \left{ u+v= 1- \sqrt{2} \\ uv =1-\sqrt{2} [/TEX].
u,v là nghiệm của phương trình :
[TEX]X^2 -( 1 - \sqrt{2} ) X + ( 1- \sqrt{2} ) = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ X = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2\sqrt{2}-1} ) \\ X = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}-1} )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ u = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2\sqrt{2}-1} ) \\ v = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}-1} ) \right. ( do v \ge 0) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2\sqrt{2}-1} ) [/TEX]

Kết luận :
[TEX]\left[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x = \frac12 ( 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2\sqrt{2}-1} ) [/TEX]

 

[kiburkid]

Các anh chị làm dùm em con ni nha


Tìm số nghiệm thực của hệ phương trình sau
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z = 3xy \\ x^2+y^2+z^2 = 3zx \\ x^3+y^3+z^3 = 3yz \end{array} \right.[/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]\huge\blue \left{x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3-30=0\\{x^2y+x(1+y+y ^2)+y-11=0}[/TEX]

 

[nhocngo976]

[TEX]\huge\blue \left{x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3-30=0\\{x^2y+x(1+y+y ^2)+y-11=0}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{xy(x+y)^2+x^2y^2(x+y)=30 \\ xy(x+y)+(x+y)+xy=11[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{xy(x+y)[x+y+xy]=30 \\ xy(x+y)+(x+y+xy)=11[/TEX]

đặt : [TEX]xy(x+y)=a , x+y+xy=b[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left{\begin{ ab=30 \\ a+b =11[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{ a =6 \\b =5 [/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{a=5 \\ b=6 [/TEX]

[TEX]*\left{\begin{ xy(x+y)=6 \\ x+y+xy=5 [/TEX]\Leftrightarrow[TEX]xy=3 ,\ (x+y)=2 \ hoac \ xy=2 \ , x+y =3[/TEX]

[TEX]* \left{\begin{ xy(x+y)=5 \\ x+y+xy=6 ....[/TEX][TEX][/TEX][TEX][/TEX][TEX][/TEX]

 

[anvuong]

giải hệ:[TEX]\left{\begin{ x^3y=24 \\ 2\sqrt[3]{x^3}+y=6\sqrt[3]{3}[/TEX]

 

[nhocngo976]

giải hệ:[TEX]\left{\begin{ x^3y=24 \\ 2\sqrt[3]{x^3}+y=6\sqrt[3]{3}[/TEX]

đề phải là: [TEX]\left{ \begin{ x^3y=24 \\ 2\sqrt{x^3}+y=6\sqrt[3]{3}[/TEX]

giải: đk X,y \geq0

ta có: [TEX]\sqrt{x^3}+\sqrt{x^3}+y [/TEX]\geq[TEX]3\sqrt[3]{x^3y}=6\sqrt[3]{3}[/TEX]

dấu = \Leftrightarrow[TEX]x^3=y^2[/TEX]

đã sửa

 

[gaconthaiphien]

Giải bất phương trình:

[TEX]\sqrt{x+\sqrt{x^2-9}}+\sqrt{x-\sqrt{x^2-9}} \leq x-3[/TEX]

 

[nhocngo976]

Giải bất phương trình:

[TEX]\sqrt{x+\sqrt{x^2-9}}+\sqrt{x-\sqrt{x^2-9}} \leq x-3[/TEX]

[TEX]DK: x \ge 3[/TEX]
với đk đó ta có

[TEX]\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x^2-(x^2-9)} \leq x^2-6x+9 \\\\ \Leftrightarrow x^2-8x+3 \ge 0 \\\\ \Leftrightarrow\left[\begin{ x \leq 4-\sqrt{13} \\ x \ge 4+\sqrt{13} [/TEX]

 

[gaconthaiphien]

Giải phương trình:

[TEX]2[x^{log_2x} + (log_{2}\frac{x}{2})^2]=x^2[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Giải phương trình:
[TEX]2[x^{log_2x} + (log_{2}\frac{x}{2})^2]=x^2[/TEX]

[TEX]log_2x=t \Rightarrow x=2^t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^{t^2-1}+(t-1)^2=2^{2t}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2^{t^2+1}+(t^2+1)=2^{2t}+2t[/TEX]
[TEX]f(a)=2^a+a \Rightarrow f'(a)=2^a.ln2+1 >0 \forall a[/TEX]
\Rightarrow [TEX]pt \Leftrightarrow t^2+1=2t \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow x=2[/TEX]

 

[gaconthaiphien]

Giả bất phương trình:

[TEX](31+8\sqrt{15})^x+2(4-\sqrt{15})^x\leq3[/TEX]