[LTDH] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

[nhoc_maruko9x]

Một bài khá hay :

Cho đường tròn [TEX](C): (x-1)^2+(y-2)^2 = 4[/TEX]. Cho điểm [TEX]M(5;3)[/TEX]. Gọi [TEX]T_1, T_2[/TEX] lần lượt là các tiếp điểm kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng [TEX]T_1 T_2[/TEX].

Mình xin giải theo cách khác

Nhỡ đặt tâm là O rồi, dùng O vậy. Toạ độ là O(1; 2).

Dễ thấy [tex]T_1T_2 \perp OM[/tex] nên [tex]\vec{OM} = (4;1)[/tex] là vecto pháp tuyến của [tex]T_1T_2.[/tex]

[tex]\Delta T_1HM \sim \Delta OT_1M \Rightarrow \fr{T_1M}{HM} = \fr{OM}{T_1M} \Rightarrow T_1M^2 = OM.HM = OM^2 - OT_1^2 \Rightarrow HM = \fr{OM^2-R^2}{OM} = \fr{13}{\sqr{17}}[/tex]

Ta có [tex]\vec{HM} = (5-x;3-y) \Rightarrow HM^2 = (5-x)^2+(3-y)^2 = \fr{169}{17}[/tex]

Một vecto chỉ phương của [tex]T_1T_2[/tex] là [tex]\vec{u} = (1;-4)[/tex]

[tex]\vec{HM} \perp \vec{u} \Rightarrow (5-x)=4(3-y) \Rightarrow 17(3-y)^2 = \fr{169}{17} \Rightarrow (3- y)^2 = \fr{169}{289} \Rightarrow \left\[y = \fr{38}{17}\\y = \fr{64}{17}[/tex]

[tex]\Rightarrow \left\[\vec{HM}=(\fr{33}{17};\tex{ }\fr{13}{17})\\\vec{HM}=(\fr{137}{17};\tex{ }-\fr{13}{17})[/tex]

Vecto đầu tiên nhận vì cùng hướng với [tex]\vec{OM} \Rightarrow T_1T_2:\tex{ }4x+y-10=0[/tex]

Sao ra khác nhóc Ngố nhỷ

 

[traimuopdang_268]

Một bài khá hay :

Cho đường tròn [TEX](C): (x-1)^2+(y-2)^2 = 4[/TEX]. Cho điểm [TEX]M(5;3)[/TEX]. Gọi [TEX]T_1, T_2[/TEX] lần lượt là các tiếp điểm kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng [TEX]T_1 T_2[/TEX].

Duynhan: Bài này e lấy chỗ nào đấy

Bài này thi thử trường chị. Mà chẳng nhớ lần mấy, tìm lại hoài cug k thấy . Cái cảnh
nhớ ra mà k tìm được tức thật :-?

Mình xin giải theo cách khác



[tex]\Delta T_1HM \sim \Delta OT_1M \Rightarrow \fr{T_1M}{HM} = \fr{OM}{T_1M} \Rightarrow T_1M^2 = OM.HM = OM^2 - OT_1^2 \Rightarrow HM = \fr{OM^2-R^2}{OM} = \fr{13}{\sqr{17}}[/tex]

Cái này k cần phải chứng minh đâu. Hệ thức trong tam giác vuông mà.
Tiết kiệm thời gian + công gõ

Ta có [tex]\vec{HM} = (5-x;3-y) \Rightarrow HM^2 = (5-x)^2+(3-y)^2 = \fr{169}{17}[/tex]

Vừa tìm ra điểm nhầm thì đã sửa mất rồi ) Nhanh gớm

Cách của nhỏ nhanh gọn nhẹ mà giờ k nhớ cách chuyển hệ toạ độ

 

[nhocngo976]

tương tự ta có tiếp tuyến thứ 2 : [TEX]4X2+Y2-4=0[/TEX]

\Rightarrow[TEX]T1T2: \ 4X+Y-4=0 \\\\ 4(x-1) +(y-2)-4=0 \ <---> 4x+y-10=0[/TEX]

Mình xin giải theo cách khác
Vecto đầu tiên nhận vì cùng hướng với [tex]\vec{OM} \Rightarrow T_1T_2:\tex{ }4x+y-10=0[/tex]

Sao ra khác nhóc Ngố nhỷ

giống anh ạ )

 

[duynhan1]

@chị mướp: đề em tự ra đấy ạ

*Khi gặp bài này:
- Cách làm thông thường, viết phương trình 2 tiếp tuyến, tìm tọa độ 2 tiếp điểm rồi viết phương trình \Rightarrow Rất dài.
-Cách thứ 2 như anh( chị) nhoc_maruko9x đã làm.
-Cách của nhocngo thì bây giờ mình mới thấy.

* Để làm bài này trước hết ta xét bài toán sau :
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [TEX](C): (x-a)^2+(y-b)^2= R^2[/TEX], có tiếp điểm là điểm [TEX]M(x_o;y_o)[/TEX].

Đường tròn (C) có tâm [TEX]I(a;b)[/TEX]
Gọi [TEX]\Delta[/TEX] là tiếp tuyến của (C) tại M, nên ta có : [TEX]\Delta[/TEX] nhận [TEX]\vec{IM} =( x_o-a; y_o-b)[/TEX] làm vecto pháp tuyến, nên ta có :
[TEX]\Delta : (x_o-a)(x-a) + (y_o-a)(y-b) + c= 0 [/TEX]

Do [TEX]M \in C[/TEX] nên ta có :
[TEX](x_o-a)^2+(y_o-b)^2 = R^2 \Rightarrow c= - R^2[/TEX]
Vậy đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] có phương trình :
[TEX]\red \fbox{ \Delta: (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) = R^2}[/TEX]

* Đây là 1 kết quả khá hay em muốn giới thiệu qua bài này


* Áp dụng vào bài toán (ở đây không trình bày phần chứng minh nữa, vì đã trình bày ở trên_:
Gọi [TEX]d_1, d_2 [/TEX] lần lượt là 2 tiếp tuyến tại [TEX]T_1, T_2[/TEX] thì ta có :
[TEX]\left{ d_1: (x_1-1)(x-1)+ (y_1-2)(y-2) = 4 \\ d_2: (x_2-1)(x-1)+ (y_2-2)(y-2) = 4 [/TEX]

Do [TEX]M \in d_1, d_2[/TEX] nên ta có :
[TEX]\left{ 4x_1 + y_1 =10 \\ 4x_2+y_2=10 \right. (I)[/TEX]

Từ hệ trên ta có : [TEX]T_1 T_2 : 4x+y = 10[/TEX]

 

[silvery21]

trong Oxy: [TEX]A(4;4) ; B(8;-2[/TEX]) và d : [TEX]3x+2y-7=0[/TEX] . tìm C thuộc d sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất


......

 

[nguyendangkhoa11593]

trong Oxy: [TEX]A(4;4) ; B(8;-2[/TEX]) và d : [TEX]3x+2y-7=0[/TEX] . tìm C thuộc d sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất


......

Vecto chỉ phương của d là: v=(2;-3)

Vecto AB là : (4;-6)\Rightarrow AB song song với d\Rightarrowkhoảng cách từ mọi điểm trên d đến AB không đổi\Rightarrow diện tích tam giác ABC cố định

r=s/p nên r max \Leftrightarrow p min\Rightarrowtìm C trên d sao cho AB+BC+CA (1) min

AB không đổi nên (1) min \Leftrightarrow BC+CA min

Lấy A' đôí xứng với A qua d, A'B cắt d tại C1, dễ chứng minh được C1 là điểm cần tìm\RightarrowOver>-

 

[nhoc_maruko9x]

trong Oxy: [TEX]A(4;4) ; B(8;-2[/TEX]) và d : [TEX]3x+2y-7=0[/TEX] . tìm C thuộc d sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất

Dễ thấy A và B nằm cùng phía so với (d) và khoảng cách từ A và B đến (d) là bằng nhau, hay AB // (d). Vậy diện tích [tex]\Delta ABC[/tex] không đổi.

Ta có [tex]S = p.r \Rightarrow r = \fr{S}{p} = \fr{2S}{AB+BC+CA}[/tex]

Vậy r max khi chu vi ABC min. Chu vi ABC min thì đơn giản rồi, kiểu lấy đối xứng A là A' qua (d) rồi tìm ra C là giao của A'B với (d).

 

[silvery21]

ko nghĩ là AB// d .........

bài tiếp: [TEX]Oxy[/TEX] : [TEX](C_1)[/TEX]: [TEX](x-1)^2 +(y-1)^2 = 16[/TEX] và [TEX](C_2) [/TEX] :[TEX](x-2)^2 +(y+1)^2= 25 [/TEX]
viết pt đt d cắt [TEX](C_1)[/TEX] tại A và B cắt [TEX](C_2)[/TEX] tại C và D tm : [TEX]AB= 2\sqrt{7}[/TEX];; [TEX]CD=8[/TEX]

 

[traimuopdang_268]

@chị mướp: đề em tự ra đấy ạ

) ủa, vậy sánh ngang vs thầy giáo của chị oy Mang sách sang nhà duynhan cũng nên .

[TEX]\Delta : (x_o-a)(x-a) + (y_o-a)(y-a) + c= 0 [/TEX]

Vậy đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] có phương trình :
[TEX]\red \fbox{ \Delta: (x_o-a)(x_o-a) + (y_o-b)(y_o-b) = R^2}[/TEX]

* Đây là 1 kết quả khá hay em muốn giới thiệu qua bài này

Hâm mộ à ). N mà cái chỗ màu đỏ, Chị thấy nên viết tổng quát là cái trên chứ

[TEX]\red \fbox{ \Delta: (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) = R^2}[/TEX]

Ớ mà. Từ pt denta là tiếp tuyến, vậy nó giống luôn cái T1T2 đó à?

Chị xem kỹ lại chứ dễ hiểu sai lắm ạ

P/s: cho chị trích dẫn sang Nhật ký chị nhá :x

 

[sanhobien_23]

giúp mình bài này

1,cho tam giác ABC có trực tâm H(11,0), trung điểm BC là M(3,-1), đỉnh B thuộc d1: x+y-5=0, đỉnh C thuộc d2: x-y-5=0. Tim tọa độ 3 đỉnh của tam giác

2,trong không gian cho B(0,-3,-1), C(3,3,2)và[TEX]d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{1}[/TEX]. Tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC là [TEX]9\sqrt{2}[/TEX]

 

[ngocthao1995]

Bài 1
B thuộc d1 : x+y-5=0 =>B(t,5-t)
C thuộc d2: x-y-5=0 =>C(t' ,-5+t')
M(3,-1) là trung điểm của BC
lập hpt tìm t,t'=> toạ độ điểm B,C
tìm A

 

[duynhan1]

ko nghĩ là AB// d .........

bài tiếp: [TEX]Oxy[/TEX] : [TEX](C_1)[/TEX]: [TEX](x-1)^2 +(y-1)^2 = 16[/TEX] và [TEX](C_2) [/TEX] :[TEX](x-2)^2 +(y+1)^2= 25 [/TEX]

viết pt đt d cắt [TEX](C_1)[/TEX] tại A và B cắt [TEX](C_2)[/TEX] tại C và D tm : [TEX]AB= 2\sqrt{7}[/TEX];; [TEX]CD=8[/TEX]

Xét đường tròn (C1) có :

• Tâm [TEX]I_1( 1;1) [/TEX].
• Bán kính [TEX]R_1 = 4[/TEX]

Xét đường tròn (C2) có :

• Tâm [TEX]I_2( 2;-1) [/TEX].
• Bán kính [TEX]R_2 = 5[/TEX]

Gọi phương trình đường thẳng d là : [TEX]d: ax + by + c = 0 (a^2+b^2 \not=0) [/TEX]
[TEX]AB = 2 \sqrt{7} \Leftrightarrow d_{(I_1;d)} = \sqrt{ R_1^2 - \frac{AB^2}{4}} = 3 \\ \Leftrightarrow(a+b+c)^2 = 9(a^2+b^2) (1)[/TEX]
[TEX]CD = 8 \Leftrightarrow d_{(I_2;d)} = \sqrt{R_2^2 - \frac{CD^2}{4}} = 3 \\ \Leftrightarrow (2a-b+c)^2 = 9(a^2+b^2) (2) [/TEX]

Từ (1) và (2) ta suy ra :
[TEX](a+b+c)^2 = ( 2a-b+c) \\ \Leftrightarrow \left[ a- 2b = 0 \\ 3a + 2c = 0 \right. [/TEX]

Trường hợp 1: [TEX]a=2b[/TEX]. Thay vào (1) ta có :
[TEX]( 3b + c)^2 = 45 b^2 \\ \Leftrightarrow c =( \pm 3 \sqrt{5} - 3)b[/TEX]

Chọn [TEX]b=1 \Rightarrow \left{ a = 2 \\ c = \pm 3 \sqrt{5} - 3 [/TEX]. Ta có :
[TEX]\left[ d : 2 x + y + 3 \sqrt{5} -3 = 0 \\ d : 2 x + y - 3 \sqrt{5} -3 = 0[/TEX]

Trường hợp 2: [TEX]3a = 2c [/TEX]. Thay vào (1) ta có :
[TEX](5c+3b)^2 = 9(4c^2 + 9b^2) \\ \Leftrightarrow 72b^2 -30bc + 11 c^2 = 0 (vo\ nghiem)[/TEX].

Kết luận:
Phương trình đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là :
[TEX]\left[ d : 2 x + y + 3 \sqrt{5} -3 = 0 \\ d : 2 x + y - 3 \sqrt{5} -3 = 0[/TEX]

 

[traimuopdang_268]

giúp mình bài này

1,cho tam giác ABC có trực tâm H(11,0), trung điểm BC là M(3,-1), đỉnh B thuộc d1: x+y-5=0, đỉnh C thuộc d2: x-y-5=0. Tim tọa độ 3 đỉnh của tam giác

2,trong không gian cho B(0,-3,-1), C(3,3,2)và[TEX]d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{1}[/TEX]. Tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC là [TEX]9\sqrt{2}[/TEX]

Bài 1

B thuộc d1 : x+y-5=0 =>B(t,5-t)
C thuộc d2: x-y-5=0 =>C(t' ,-5+t')
M(3,-1) là trung điểm của BC
lập hpt tìm t,t'=> toạ độ điểm B,C
tìm A

Bạn làm thế này thì dung rồi. k còn gì phải nói. Nhưng Mp làm theo cách khác

Và ra đáp số khác b .

<doi giữa d1 và d2, quên ký hiệu >


Chú ý thì thấy: d1 _|_ d2 ={K}

Dễ dàng tìm đc [TEX]K( 5;0)[/TEX]

Gọi [TEX]B( a; 5-a) \Rightarrow C( 6-a; -7+a[/TEX]
[TEX]\vec {KB} . \vec{KC} = 0 \Rightarrow a= 4 or a=5 \\ \Rightarrow B \Rightarrow C[/TEX]

< pt bậc 2 có 2 nghiệm

Sử dụng nốt H tìm A.

Vậy là có 2 điểm B và 2 Điểm C --> 2 điểm A

Sao lại khác nhỉ Cách Mp tổng quát hơn à =))

 

[traimuopdang_268]

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [TEX](C): (x-a)^2+(y-b)^2= R^2[/TEX], có tiếp điểm là điểm [TEX]M(x_o;y_o)[/TEX].

Đường tròn (C) có tâm [TEX]I(a;b)[/TEX]
Gọi [TEX]\Delta[/TEX] là tiếp tuyến của (C) tại M, nên ta có : [TEX]\Delta[/TEX] nhận [TEX]\vec{IM} =( x_o-a; y_o-a)[/TEX] làm vecto pháp tuyến, nên ta có :
[TEX]\Delta : (x_o-a)(x-a) + (y_o-a)(y-a) + c= 0 [/TEX]

Do [TEX]M \in C[/TEX] nên ta có :
[TEX](x_o-a)^2+(y_o-b)^2 = R^2 \Rightarrow c= - R^2[/TEX]
Vậy đường thẳng [TEX]\Delta[/TEX] có phương trình :
[TEX]\blue\fbox{ \Delta: (x_o-a)(x_o-a) + (y_o-b)(y-b) = R^2}[/TEX]
Từ hệ trên ta có : [TEX]T_1 T_2 : 4x+y = 10[/TEX]

[TEX]\red \fbox{ \Delta: (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) = R^2}[/TEX]

Ớ mà. Từ pt denta là tiếp tuyến, vậy nó giống luôn cái T1T2 đó à?

Chị xem kỹ lại chứ dễ hiểu sai lắm ạ

Chị xem lại rồi. Theo phiên bản cập nhật mới nhất của duynhan cách đây 30p
Chỗ kia x_o chỗ dưới lại y

Tất cả sửa thành x và y thôi phải k ?

+ Tiếp ý thứ 2. Gọi denlta là pt tiếp tuyến tại M. Tức như bài trước là cái đoạn [TEX]MT_1[/TEX] của nhoc_maruko

Còn sau đó lại suy ra cái [TEX] \blue T_1T_2[/TEX] Đó chị k hiểu chỗ đó

Do [TEX]M \in d_1, d_2[/TEX] nên ta có :
[TEX]\left{ 4x_1 + y_1 =10 \\ 4x_2+y_2=10 \right. (I)[/TEX]
Từ hệ thì ta thấy tọa độ điểm T1, T2 đều thỏa mãn phương trình : 4x+y=10 do đó ta có thể suy ra : [TEX]T_1 T_2 : 4x+y = 10[/TEX]

 

[trandungy]

Bài 1: Cách này cũng hay nè!
Tìm B bằng cách giải hpt sau đó
Gọi I là trung điểm của AC. Gọi A(x;y) => tìm được C vì có I trung điểm
A thuộc dt AB va C thuộc BC => tìm được toạ độ A. biết 3 đỉnh của tam giác rồi thì giải được yêu cầu bài toán. OK

 

[sanhobien_23]

help me

1, trong mặt phẳng tọa độ cho tam giac ABC có diện tích =2 và đg thẳng AB: x-y=0. Biết rằng I (2,1) là trung điểm của BC hãy tìm tọa độ trung điểm K của AC

2,trong không gian cho (P): x-2y-z+3=0 và A(0,-2,1), B(1,0,3). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P). Tính độ dài đoạn AC biết C thuộc A'B và AC song song với (P)


THANKS

 

[narcissus234]

mong nhận sự júp đỡ từ các bạn

1/. trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM : 2x +y + 1 = 0 và đường phân giác CD : x + y - 1 = 0. viết phương trình BC.

2/. trong 0xyz cho A(0;1;2) và hai đường thẳng (d1) : [TEX]\frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = = \frac{z+1}{-1}[/TEX] và (d2) :
[TEX] \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z - 2}{1}[/TEX]. viết phương trình mặt phẳng qua A đồng thời song song vs (d1),(d2). tìm toạ độ các điểm M[TEX]\epsilon [/TEX](d1), N[TEX]\epsilon [/TEX](d2) sao cho A,M,N thằng hàng

 

[nerversaynever]

mong nhận sự júp đỡ từ các bạn

1/. trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM : 2x +y + 1 = 0 và đường phân giác CD : x + y - 1 = 0. viết phương trình BC.

2/. trong 0xyz cho A(0;1;2) và hai đường thẳng (d1) : [TEX]\frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = = \frac{z+1}{-1}[/TEX] và (d2) :
[TEX] \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z - 2}{1}[/TEX]. viết phương trình mặt phẳng qua A đồng thời song song vs (d1),(d2). tìm toạ độ các điểm M[TEX]\epsilon [/TEX](d1), N[TEX]\epsilon [/TEX](d2) sao cho A,M,N thằng hàng

Câu 1 thiếu dữ kiện
Câu2: Bước 1: gọi [TEX] u _1 ;\ u _2 [/TEX] lần lượt là vecto chỉ phương của (d1) và (d2) ta tính
[TEX]\ n = \left[ {\ u _1 ,\ u _2 } \right][/TEX] là véc tơ pháp tuyến của (p) song song với cả d1 và d2
Bước 2: viết pt mp(p) qua a nhận [TEX]n [/TEX] làm vt pháp tuyến
Tìm tọa độ các điểm M,N
Bước 1: viết pt mp(q) qua A và d1, nó cắt với d2 tại N
Bước 2 viết pt mp(r) qua A và d2, nó cắt với d1 tại M
p/s thiếu cái dấu vecto bạn thông cảm

 

[narcissus234]

cám ơn bạn nha, nhưng bài 1 mình chép đúng đề mà nó nằm trong đề thi thử của lớp mình

 

[nerversaynever]

cám ơn bạn nha, nhưng bài 1 mình chép đúng đề mà nó nằm trong đề thi thử của lớp mình

với cái đề bài của bạn có vẽ đc vô số tam giác,có lẽ bạn thiếu tọa độ của B ( hoặc C) và M khi đó thực hiện như sau
Bươc 1: Tìm M' đối xứng với M qua CD
Bước 2 Viết pt BC