rong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại $A, B (1; 1)$, đường thẳng $AC$ có phương trình $4x + 3y – 32 = 0$. Trên tia $BC$ lấy điểm $M $sao cho $BC.BM = 75$. Tìm tọa độ đỉnh $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ bằng $\frac{{5\sqrt 5 }}{2}$
Bài này có hai hướng làm mình sẽ sử dụng phương tích trước
Đường thẳng AB qua B và vuông góc với AC có phương trình
$3(x-1)-4(y-1)=0\Leftrightarrow 3x-4y+1=0$
toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
3x-4y+1=0 & \\
4x+3y-32=0&
\end{matrix}\right.\Rightarrow A(5,4)$
Gọi (C) là trường tròn ngoại tiếp AMC và $I(x,y)$ là tâm của (C)
Ta có $P_{(B,(C))}=\vec{BM}\vec{BC}=BMBC=BI^2-R^2$(do B nằm ngoài đường tròn )
$\Leftrightarrow 75=BI^2-\frac{125}{4}\Rightarrow BI^2=\frac{425}{4}\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
BI^2=\frac{425}{4} & \\
AI^2=\frac{125}{4}&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x-5)^2+(y-4)^2=\frac{125}{4}(1) & \\
(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{425}{4}(2)&
\end{matrix}\right.$
Lấy (2)-(1)$\Leftrightarrow 4x+3y-57=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=3t & \\
y=19-4t&
\end{matrix}\right.$
Thế vào (2), ta được $t^2-6t+\frac{35}{4}=0$
$\left\{\begin{matrix}
t=\frac{7}{2}\Rightarrow I(\frac{21}{2},5) & \\
t=\frac{5}{2}\Rightarrow I(\frac{15}2{;9)}&
\end{matrix}\right.$
Gọi H là hình chiếu của I lên cạnh AC
Với $I(\frac{21}{2};5)$ ta có phương trình IH
$3(x-\frac{21}{2})-4(y-5)=0\Leftrightarrow 3x-4y-\frac{23}{2}=0$
Toạ độ H thoả hệ $\left\{\begin{matrix}
4x+3y-32=0 & \\
3x-4y-\frac{23}{2}=0&
\end{matrix}\right.\Rightarrow H(\frac{13}{2};2)\Rightarrow C(8;0)$
Với $I(\frac{15}{2};9)$, ta có phương trình IH là :
$3(x-\frac{15}{2})-4(y-9)=0\Leftrightarrow 3x-4y+\frac{27}{2}=0$
Toạ độ của H thoả hệ $\left\{\begin{matrix}
4x+3y-32=0 & \\
3x-4y+\frac{27}{2}=0&
\end{matrix}\right.\Rightarrow H(\frac{7}{2};6)\Rightarrow C(2;8)$
:k2pi68:
http://k2pi.net/bsung.png
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại $A, B (1; 1)$, đường thẳng $AC$ có phương trình $4x + 3y – 32 = 0$. Trên tia $BC$ lấy điểm $M $sao cho $BC.BM = 75$. Tìm tọa độ đỉnh $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ bằng $\frac{{5\sqrt 5 }}{2}$
Đường thẳng AB qua B và vuông góc với AB có phương trình $3x-4y+1=0$
$AB=5$
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp AMC và I là tâm của (C)
Qua M dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D
Do nên CD là đường kính của đường tròn (C) vậy I là trung điểm của CD
Xét 2 tam giác vuông đồng dạng BMD và BAC, ta có:
$\frac{BD}{BC}=\frac{BM}{BA}\Rightarrow BD=\frac{BM.BC}{BA}=\frac{75}{5}=15$
Do A nằm giữa B và D nên AD=BD-BA=10
Suy ra $AC^2=CD^2-AD^2=125-100=25$
Đặt $C(8-3t;4t),\vec{AC}(3-3t;4t-4)$
$AC^2=25\Leftrightarrow (t-1)^2=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
t=0\Rightarrow C(8;0) & \\
t=2\Rightarrow C(2;8)&
\end{bmatrix}$
:nhaynhot:
