$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập HKI}}$

[hoamattroi_3520725127]

câu b

áp dụng BDT cauchy-schwartz

$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}$ \geq $\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}$
\Rightarrow dpcm

Trời! Bạn làm thế này k dc điểm đâu nhá!

Trong chương trình chỉ học Bunhia và Cauchy thôi, với các bđt khác, khi dùng phải chứng minh nhé!
Mình có cách này nè, các bạn tham khảo nha!

Có : $\dfrac{x^2}{x + y} + \dfrac{x + y}{4} = \dfrac{(2x)^2 + (x + y)^2}{4(x + y)} \ge \dfrac{4x(x + y)}{4(x + y)} = x$ (1)

Tương tự cũng có : $\dfrac{y^2}{y + z} \ge y (2) ; \dfrac{z^2}{x +z} \ge z$ (3)

Cộng theo vế 3 bđt trên ta dc dpcm

P.s : Cách của tớ chi tiết là vậy đó Thủy
Xin chỉ giáo thêm ạ!
Thế mà cậu bảo trường cậu chưa học bđt, chém bay cả mái

 

[khaiproqn81]

Để tui chém câu a) cho sai thì thui nha (học lớp 8 mà cho bài lớp 9)|
$(\frac{x+3}{x-9} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

$=\frac{x+3}{(\sqrt{x})^2-3^2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

$=(\frac{x+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x} + 3)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

$=\frac{x+3+\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3} . \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}$

$=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

 

[anhbez9]

nghi vấn


Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Chứng minh rằng DE = BC
câu này nếu ta vẽ hinh thì se ko the cm dc DE=BC,phải là DE=1/2 BC

 

[chonhoi110]

Để tui chém câu a) cho sai thì thui nha (học lớp 8 mà cho bài lớp 9)|
$(\frac{x+3}{x-9} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=\frac{x+3}{(\sqrt{x})^2-3^2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=(\frac{x+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x} + 3)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=\frac{x+3+\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3} . \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}$

$=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Uầy,đúng rùi
Bạn giỏi quá nhỉ

Sắp hết tháng 12 rùi chắc các bạn cũng thi gần hết rồi, bạn nào thi xong thì có thể up đề lên topic để mọi người cùng làm nha

Còn rất nhiều bài tập, mời mọi người cùng làm

Bài 1: Tính $A=\dfrac{3x^2+12y}{0,3x^2-4,8y^2}$ biết $x-4y=7$

Bài 2: Tính $B=\dfrac{4x^2-9y^2}{x^2-1,5y}$ biết $6x+9y=5$

Bài 4: Tính $F=\dfrac{3a-5b}{2a+7b}$ biết b>a>0 và $2a^2+b^2=3ab$

Hơi nâng cao

Tính:

Bài 8: $H=\dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y^2-zx}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z^2-xy}{(z+x)(z+y)}$

Bài 9: $G=\dfrac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y^2}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

Bài 10: Tính $I=\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}$ biết $abc=8$ và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{3}{4} (a,b,c > 0)$

Bài 11: Tính $N=\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2-y^2}$ biết $x+y+z=0$ và x,y,z khác 0

Nâng cao thì mình sẽ up sau nữa

Vài bài hình nữa nhé
Bài 1: Cho $\triangle \; ABC, \widehat{A}=90^0$, đường cao AH. M,N lần lượt đối xứng với H qua AB, AC.
a) CMR: M đối xứng với N qua A
b) Tứ giác MNCB là hình gì? Tại sao?
c) CMR: BC=BM+CN

Bài 2: Điểm M nằm trong $\triangle \; ABC. D,E,F$ lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. P,Q,R lần lượt đối xứng với M qua D, E, F.
a) Gọi O là trung điểm BQ
CMR: A đối xứng với R qua O
b) CMR: 3 đường thẳng AR, BQ, CP đồng quy.

Bài 3: Cho hình vuông ABCD từ A kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Đường thẳng 1 cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại Q,P. Đường thẳng 2 cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại R, S.
a) CMR: Các $\triangle \; APR , ASQ$ vuông cân.
b) CMR: P là trực tâm của $\triangle \; SRQ$
c) M,N lần lượt là trung điểm $RP, SQ, RP \cap SQ$ ={I}
CMR: Tứ giác AMIN là hình chữ nhật
d) CMR: M,B,N,D thẳng hàng

 

[letsmile519]

Bài 1: Tính $A=\dfrac{3x^2+12y}{0,3x^2-4,8y^2}$ biết $x-4y=7$

Bài 2: Tính $B=\dfrac{4x^2-9y^2}{x^2-1,5y}$ biết $6x+9y=5$

Bài 1:
$A=\dfrac{3x^2+12y}{0,3x^2-4,8y^2}=\dfrac{3(x+4y)}{0,3(x-4y)(x+4y)}=\dfrac{10}{7}$

Bài 2: Ta có: $6x+9y=5 \rightarrow 3(2x+3y)=5$

$B=\dfrac{(2x-3y)(2x+3y)}{\dfrac{1}{2}(2x-3y)}=2(2x+3y)=\dfrac{10}{3}$

Bài 4: Tính $F=\dfrac{3a-5b}{2a+7b}$ biết b>a>0 và $2a^2+b^2=3ab$

Ta có: $2a^2+b^2=3ab$
$\leftrightarrow (a-b)(2a-b)=0$

Vì $b>a>0 \rightarrow 2a=b$
$\rightarrow F=\dfrac{-7}{16}$

 

[letsmile519]

Tính:

Bài 8: $H=\dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y^2-zx}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z^2-xy}{(z+x)(z+y)}$

Bài 9: $G=\dfrac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y^2}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

Bài 8:
$H=\dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y^2-zx}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z^2-xy}{(z+x)(z+y)}$
$=\dfrac{(x^2-yz)(y+z)+(y^2-zx)(x+z)+(z^2-xy)(x+y)}{(x+y)(x+z)(y+z)}$
$=\dfrac{(y+z)(x+y)(z-z)}{(x+y)(x+z)(y+z)}$

Bài 9:
$G=\dfrac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y^2}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z^2}{(z-x)(z-y)}$
$=\dfrac{-x^2(y-z)-y^2(z-x)-z^2(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$
$=\dfrac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

Bài 10: Tính $I=\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}$ biết $abc=8$ và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{3}{4} (a,b,c > 0)$

$I=\dfrac{abc}{a^2}+\dfrac{abc}{b^2}+\dfrac{abc}{c^2}$

$=abc(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2})$

$=8.\dfrac{3}{4}=6$

 

[letsmile519]

Bài 11: Tính $N=\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2-y^2}$ biết $x+y+z=0$ và x,y,z khác 0

$x+y+z=0 \rightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy ; y^2+z^2-x^2=-2yz ; x^2+z^2-y^2=-2xz$

Thay vào biểu thức:
$N=\dfrac{-1}{2xy}+\dfrac{-1}{2yz}+\dfrac{1}{2xz}=\dfrac{-(x+y+z)}{2xyz}=0$


Còn 3 bài hình chịu khó làm nhé, cũng k khó đâu.!

 

[chonhoi110]

Cơ bản coi như cũng xong rùi nhỉ
Giờ thì đến nâng cao thôi :Mjogging: (thật ra thì cũng toàn cơ bản cả ) )

Bài 12: Cho $x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+by$ và $x+y+z \not= \, 0; xyz \not= \, 0$
Chứng minh $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\dfrac{1}{1+c}=2$

Bài 13: Cho $xy=a; yz=b; zx=c (a,b,c \not= \, 0)$
Tính $x^2+y^2+z^2$

Bài 14: Cho $x^3+y^3+z^3=3xyz$ Tính $P=\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Bài 15: Cho: $a^2+b^2+c^2=25$
__________ $x^2+y^2+z^2=81$
__________ $ax+by+cz=45$
Tính: $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$

Bài 16: Cho $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}= \dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$ và $abc=1$
Chứng minh 3 số a,b,c có 1 số bằng bình phương của 1 số

Bài 17: Cho x, y, z đôi một khác nhau và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
Tính $Q=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}$

Nếu bạn nào không giỏi những bài nâng cao có thể làm những bài này

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, $(x-2)(x-4)(x-5)(x-10)-54x^2$
b, $2x^4-5x^3-27x^2+25x+50$
c, $(12x+7)^2(3x+2)(2x+1)-3$
d, $x^8+x+1$
e, $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$

 

[hoamattroi_3520725127]

Để tui chém câu a) cho sai thì thui nha (học lớp 8 mà cho bài lớp 9)|
$(\frac{x+3}{x-9} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=\frac{x+3}{(\sqrt{x})^2-3^2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=(\frac{x+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x} + 3)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

$=\frac{x+3+\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3}$ . $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}$

$=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Sai chỗ in đỏ rồi bạn ơi
Chắc bạn gõ nhầm dấu

 

[hoamattroi_3520725127]

Cơ bản coi như cũng xong rùi nhỉ
Giờ thì đến nâng cao thôi :Mjogging: (thật ra thì cũng toàn cơ bản cả ) )

Bài 12: Cho $x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+by$ và $x+y+z \not= \, 0; xyz \not= \, 0$
Chứng minh $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\dfrac{1}{1+c}=2$

Bài 13: Cho $xy=a; yz=b; zx=c (a,b,c \not= \, 0)$
Tính $x^2+y^2+z^2$

Bài 14: Cho $x^3+y^3+z^3=3xyz$ Tính $P=\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Bài 15: Cho: $a^2+b^2+c^2=25$
__________ $x^2+y^2+z^2=81$
__________ $ax+by+cz=45$
Tính: $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$

Bài 16: Cho $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}= \dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$ và $abc=1$
Chứng minh 3 số a,b,c có 1 số bằng bình phương của 1 số

Bài 17: Cho x, y, z đôi một khác nhau và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
Tính $Q=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}$

Mình làm vắn tắt chút nhá! Đến giờ mình phải đi học rồi

Bài 12 :

$x + y = 2cz + z \rightarrow x + y - z = 2cz \rightarrow c = \dfrac{x + y - z}{2z} \rightarrow c + 1 = \dfrac{x + y + z}{2z} \rightarrow \dfrac{1}{c + 1} = \dfrac{2z}{x + y + z}$

Bằng cáhc hoán vị x → y → z → x ta dc :

$\dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{2x}{x + y + z}; \dfrac{1}{b + 1} = \dfrac{2y}{x + y + z}$

Cộng vào thì ra dpcm nhé!

Bài 13 :

Từ gt suy ra $x^2y^2z^2 = abc \leftrightarrow x^2.b^2 = abc \rightarrow x^2 = \dfrac{ac}{b}$

Tg tự có : $y^2 = \dfrac{ab}{c}; z^2 = \dfrac{bc}{a}$

$\longrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}{abc}$

 

[0973573959thuy]

Bài 14: Cho $x^3+y^3+z^3=3xyz$ Tính $P=\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \rightarrow (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) = 0$

$\leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x + y + z)[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2] = 0$

$\longrightarrow x + y + z = 0 \rightarrow x + y = - z; y + z = - x; x + z = - y$ hoặc $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \rightarrow x = y = z$

○ Nếu x + y + z = 0 thì :

$P = \dfrac{xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)} = \dfrac{xyz}{-xyz} = - 1$

○ Nếu $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$ thì :

$P= \dfrac{x^3}{2^3.x^3} = \dfrac{1}{8}$


Bài 17: Cho x, y, z đôi một khác nhau và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$
Tính $Q=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0 \rightarrow \dfrac{xy + yz + xz}{xyz} = 0 \rightarrow xy + yz + xz = 0$

$\rightarrow yz = - xy - xz$

$\rightarrow x^2 + 2yz = x^2 + yz - xy - xz = x(x - y) - z(x - y) = (x - z)(x - y)$

$\rightarrow \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} = \dfrac{yz}{(x - z)(x - y)}$

Bằng cách hoán vị vòng quanh $x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x$ có :

$\dfrac{xz}{y^2 + 2xz} = \dfrac{xz}{(y - x)(y - z)}; \dfrac{xy}{z^2 + 2xy} = \dfrac{xy}{(z - y)(z - x)}$

$\rightarrow Q = 1$ (mn quy đồng mẫu rồi tự rút gọn nhá)

 

[vipboycodon]

Thử 1 bài khá thú vị nha mọi người (bài này mình lục trong đám đề thi HSG ra =)) )
Bài tập: Cho $A= (\dfrac{x+3}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x} +3}) :\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} (x>0; x \ne 9)$

a. Rút gọn A
b. Tính A khi $x= \sqrt{27+10\sqrt{2}} - \sqrt{18+8\sqrt {2}}$
c. Tìm x nguyên để A nguyên
d. Chứng minh $A > \dfrac{1}{3}$

Câu b) $x = \sqrt{27+10\sqrt{2}} - \sqrt{18+8\sqrt {2}}$
= $\sqrt{5^2+2.5.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}-\sqrt{4^2+2.4.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}$
= $\sqrt{(5+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(4+\sqrt{2})^2}$
= $|5+\sqrt{2}|-|4+\sqrt{2}|$
=> $x = 1$
=> Thay vào $\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$.

 

[vipboycodon]

Câu c) $\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} = \dfrac{\sqrt{x}+3-2}{\sqrt{x}+3} = 1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}$
Để $A \in Z => \dfrac{2}{\sqrt{x}+3} \in Z => \sqrt{x}+3 \in Ư(2)$
.......

 

[supperdragon9510]

Bài 1: Cho $\triangle \; ABC, \widehat{A}=90^0$, đường cao AH. M,N lần lượt đối xứng với H qua AB, AC.
a) CMR: M đối xứng với N qua A
b) Tứ giác MNCB là hình gì? Tại sao?
c) CMR: BC=BM+CN

a)Có M đ/xứng với H qua AB (gt)
=> AM=AH và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (t/c đ/xứng trục) (1)
Có N đ/ xứng với H qua AC (gt)
=> AN=AH và $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ (t/c đ/xứng trục) (2)
Từ (1),(2) => AM=AN (=AH)
=> $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+ \widehat{A_3}+\widehat{A_4}=2\widehat{A_2}+2 \widehat{A_3}$
=>$\widehat{MAN}=2(\widehat{A_2}+ \widehat{A_3})=2\widehat{BAC}=180^0(\widehat{BAC}=90^0)$
M,A,N thẳng hàng
AM= AN(cmt)
=> A là trung điểm của MN
=> M đ/xứng với N qua A(đ/nghĩa)
b) Có M đ/xứng với H qua AB (gt)
=> $\widehat{BMA}$ đ/ xứng với $\widehat{BHA}$ qua AB
Mà $\widehat{BHA}=90^0$ (AH là đường cao)
=> $\widehat{BMA}=90^0$
Có N đ/ xứng với H qua AC (gt)
=> Mà $\widehat{ANC}$ đ/ xứng với $\widehat{AHC}$ qua AC
Mà $\widehat{AHC}=90^0$ (AH là đường cao)
=> $\widehat{ANC}=90^0$
Ta có: $BM \perp \; MN$ = {M} (cmt)
$CN \perp \; MN$ ={N} (cmt)
=> BM // CN
=> BMNC là hình thang vuông ($\widehat{BMN}=90^0$)
c) Có N đ/xứng với H qua AC (gt)
=> CN=CH (t/c đ/xứng trục)
Tương tự , ta có: BM=BH
Ta có: H nằm giữa BC
=> BH+HC=BC
Mà CN=CH (cmt)
BM=BM(cmt)
=>BC=BM+CN(đpcm)

 

[thaolovely1412]

Bài 13: Cho $xy=a; yz=b; zx=c (a,b,c \not= \, 0)$
Tính $x^2+y^2+z^2$

Chém bài 13 cái nào
Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c
Suy ra : [LaTEX]x^2y^2z^2 = abc[/LaTEX]
[LaTEX]x^2y^2 = a^2 [/LaTEX]
[LaTEX]y^2z^2 = b^2 [/LaTEX]
[LaTEX]z^2x^2 = c^2 [/LaTEX]
Do đó : [LaTEX]x^2b^2 = abc [/LaTEX]
[LaTEX]a^2z^2 = abc [/LaTEX]
[LaTEX]y^2c^2 = abc [/LaTEX]
Hay [LaTEX]x^2=\frac{ac}{b}[/LaTEX], [LaTEX]z^2=\frac{bc}{a}[/LaTEX], [LaTEX]y^2=\frac{ab}{c} [/LaTEX]
Vậy [TEX]x^2+y^2+z^2= \frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c} = \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}[/TEX]

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 15: Cho: $a^2+b^2+c^2=25$
__________ $x^2+y^2+z^2=81$
__________ $ax+by+cz=45$
Tính: $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$

Bài 16: Cho $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}= \dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$ và $abc=1$
Chứng minh 3 số a,b,c có 1 số bằng bình phương của 1 số

Ai làm nốt 2 bài trên đi. Không thì bạn chồn cho đáp án nhá!

Vài câu đề cương ôn tập hk 1 trường mình, các bạn cùng làm nhé!

Bài 1 : Cho $M = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

CMR : Nếu M = 1 thì 2 trong 3 p/ thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng - 1.
Bài 2 : Cho a,b,c, x,y,z $\not= 0$, thỏa :

a + b + c = 0; x + y + z = 0; $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 0$

CMR : $a^2x + b^2y + c^2z = 0$

Bài 3 : Cho x,y,z $\not= 0$; x + y + z = 0. CMR :

$(\dfrac{x - y}{z} + \dfrac{y - z}{x} + \dfrac{z - x}{y})(\dfrac{z}{x - y} + \dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x}) = 9$

 

[hoamattroi_3520725127]

Thêm một bài quy nạp này :
CMR : Với mọi số nguyên dương n có : $\dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \dfrac{n}{3n + 1}$

Các bạn chứng minh bằng cách khác cũng dc, nhưng theo mình áp dụng quy nạp là nhanh và dễ nhất.

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 4 : $\dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x} + \dfrac{z}{x - y} = 0$ (x,y,z thoả ĐKX Đ)

Tính giá trị A = $\dfrac{x}{(y - z)^2} + \dfrac{y}{(z - x)^2} + \dfrac{z}{(x - y)^2}$

Bài 5 : Tìm A,B, C biết :

$\dfrac{x^2 + x + 4}{(x + 2)^3} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 2)^2} + \dfrac{C}{(x + 2)^3}$

Thôi nhá!
Chúc các bạn Giáng Sinh $z^2$

 

[phuong_july]

Cơ bản coi như cũng xong rùi nhỉ
Giờ thì đến nâng cao thôi :Mjogging: (thật ra thì cũng toàn cơ bản cả ) )
Bài 16: Cho $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}= \dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$ và $abc=1$
Chứng minh 3 số a,b,c có 1 số bằng bình phương của 1 số

Đặt $x=\frac{a}{b^2}$ , $y=\frac{b}{c^2}$, $z=\frac{c}{a^2}$.

\Rightarrow $\frac{b^2}{a}=\frac{1}{x}$, $\frac{c^2}{b}=\frac{1}{y}$, $\frac{a^2}{c}=\frac{1}{z}$

\Rightarrow $xyz=1$ và $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{}{y}+\frac{1}{z}$

\Rightarrow $x+y+z=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=xy+yz+zx$

Xét:

$(x-1)(y-1)(z-1)=(xy-x-y+1)(z-1)$

$=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=0$

\Rightarrow
$x-1=0$ \Rightarrow $x=1$ \Rightarrow $a=b^2$

$y-1=0$ \Rightarrow $y=1$ \Rightarrow $b=c^2$

$z-1=0$ \Rightarrow $z=1$ \Rightarrow $c=a^2$.

 

[vipboycodon]

Trường em nào học bất đẳng thức rồi thì làm thử nhé.
Bài 1 :
Cho $a,b,c > 0$ và $abc \le 1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \ge a+b+c$

Bài 2:
Cho $ab \ge 1$ . Chứng minh :
$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \ge \dfrac{2}{1+ab}$