$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập HKI}}$

[chonhoi110]

Ai làm nốt 2 bài trên đi. Không thì bạn chồn cho đáp án nhá!

Vài câu đề cương ôn tập hk 1 trường mình, các bạn cùng làm nhé!

Bài 3 : Cho x,y,z $\not= 0$; x + y + z = 0. CMR :

$M=(\dfrac{x - y}{z} + \dfrac{y - z}{x} + \dfrac{z - x}{y})(\dfrac{z}{x - y} + \dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x}) = 9$

Cảm ơn bạn đã đóng góp câu hỏi

Em thì em thích chém bài dễ trước =))

Gọi $A=\dfrac{x - y}{z} + \dfrac{y - z}{x} + \dfrac{z - x}{y}$

$\rightarrow A.\dfrac{z}{x-y}=1+\dfrac{z}{x-y}.(\dfrac{y-z}{x}+
\dfrac{z-x}{y})$

$=1+\dfrac{z}{x-y}.\dfrac{y^2-yz+xz-x^2}{xy}=1+\dfrac{z}{x-y}.
\dfrac{(x-y)(z-x-y)}{xy}=1+\dfrac{z(2z-x-y-z)}{xy}=1+\dfrac{2z^2}
{xy}=1+\dfrac{2z^3}{xyz}$

Tương tự $A.\dfrac{x}{y-z}=1+\dfrac{2x^3}{xyz} \\ A.\dfrac{y}
{z-x}=1+\dfrac{2y^3}{xyz}$

$\rightarrow M=3+\dfrac{2(x^3+y^3+z^3)}{xyz}$

Ta có $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0 \rightarrow
x^3+y^3+z^3=3xyz$

$\rightarrow M=3+\dfrac{6xyz}{xyz}=9$

Vậy $M=9$

Bài 15: Cho: $a^2+b^2+c^2=25$
__________ $x^2+y^2+z^2=81$
__________ $ax+by+cz=45$
Tính: $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$

Bài này mình đã làm 1 lần trên diễn đàn rồi thấy hay nên copy mình chỉ thay đổi số chứ cách làm y chang nếu không ai làm được thì thứ 5 mình sẽ đăng kết quả

Thêm 1 bài nữa nha

Bài 17: Cho $f(x)= \dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{6}{x^2-9}+...+\dfrac{24}{x^2-144}$
CMR: $f(x) \vdots 13$

 

[0973573959thuy]

Bài 17: Cho $f(x)= \dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{6}{x^2-9}+...+\dfrac{24}{x^2-144}$
CMR: $f(x) \vdots 13$


Bài giải :

$f(x) = \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 12} = \dfrac{13}{(x - 1)(x + 12)}$

$ \rightarrow f(x) \vdots 13$

 

[0973573959thuy]

Trường em nào học bất đẳng thức rồi thì làm thử nhé.
Bài 1 :
Cho $a,b,c > 0$ và $abc \le 1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \ge a+b+c$

Bài 2:
Cho $ab \ge 1$ . Chứng minh :
$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \ge \dfrac{2}{1+ab}$

Mới học bđt nên em chưa thạo lắm

Bài 2 :

$\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1 + b^2} \ge \dfrac{2}{1 + ab} (1)$

$\leftrightarrow \dfrac{1}{a ^2 + 1} - \dfrac{1}{ab + 1} + \dfrac{1}{b^2 + 1} - \dfrac{1}{ab + 1} \ge 0$

Rút gọn điều kiện này dc

$(1) \leftrightarrow \dfrac{(a - b)^2(ab - 1)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)(ab + 1)} \ge 0 (2)$

Do $ab \ge 1 (gt)$ nên $ab - 1 \ge 0 \rightarrow (2) \text{đúng} \rightarrow (1) \text{đúng}$

 

[phuong_july]

Bài 3: Cho hình vuông ABCD từ A kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Đường thẳng 1 cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại Q,P. Đường thẳng 2 cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại R, S.
a) CMR: Các $\triangle \; APR , ASQ$ vuông cân.
b) CMR: P là trực tâm của $\triangle \; SRQ$
c) M,N lần lượt là trung điểm $RP, SQ, RP \cap SQ$ ={I}
CMR: Tứ giác AMIN là hình chữ nhật
d) CMR: M,B,N,D thẳng hàng

a. Xét $\bigtriangleup ABR$ và $\bigtriangleup ADP$ có:

$AB=AD$.

$\widehat{ABR}=\widehat{ADP}$.

$\widehat{BAR}=\widehat{DAP}$ ( cùng phụ với $\widehat{BAP}$).

\Rightarrow $\bigtriangleup ABR= \bigtriangleup ADP(c.g.g)$

\Rightarrow $AR=AP$

\Rightarrow $\bigtriangleup APR$ vuông cân tại $A$.

Chứng minh tương tự , ta được : $\bigtriangleup ASQ$ vuông cân tại $A$.

b. Câu b í tớ phải làm theo hình của tớ thì thế này này: $Q$ là trực tâm của $\bigtriangleup SRP$

Xét $\bigtriangleup SPR$ có:

$AP \perp SR$.

$RC \perp SP$ ( do $R \in BC$ ).

\Rightarrow $Q$ là trực tâm của $\bigtriangleup SRP$.

c. Dễ dàng chứng minh được:

$\widehat{MAP}=\widehat{NAP}=45^o$ ( do $\bigtriangleup APR$, $\bigtriangleup ASQ$ vuông cân).

\Rightarrow $\widehat{MAN}=90^o$.

Xét tứ giác $AMIN$ có:

$\widehat{AMI}=\widehat{ANI}$=$\widehat{MAN}=90^o$.

\Rightarrow Tứ giác $AMIN$ là hình chữ nhật.

d.
$\bigtriangleup APR$ vuông \Rightarrow $AM=\frac{MP}{2}$

$\bigtriangleup RCP$ vuông \Rightarrow $MC=\frac{MP}{2}$

\Rightarrow $MA=MC$ \Rightarrow $M$ cách đều $A, C$. (1)

Chứng minh tương tự ta được: $N$ cách đều $A, C$. (2)

Dễ dàng chứng minh được : $B, D$ cách đều $A,C$ ( do $ABCD$ là hình vuông). (3).

Từ (1), (2), (3) \Rightarrow $M,B,N,D$ thẳng hàng.

 

[vipboycodon]

Hông ai chém bài này à:
Cho $a,b,c > 0$ và $abc \le 1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \ge a+b+c$

 

[supperdragon9510]

Ủa lạ nhỉ , hết thi HKI mà topic này vẫn sôi nổi nhỉ , cho em đóng góp với

Bài 2: Điểm M nằm trong $\triangle \; ABC. D,E,F$ lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. P,Q,R lần lượt đối xứng với M qua D, E, F.
a) Gọi O là trung điểm BQ
CMR: A đối xứng với R qua O
b) CMR: 3 đường thẳng AR, BQ, CP đồng quy.

Có E là trung điểm AC (gt)
E là trung điểm MQ (Q đ/xứng với M qua E
$AC\cap \; MQ$ ={E}
=> AMCQ là hình bình hành (dhnb)
=> AQ//MC, AQ=MC (t/c hình bình hành) (1)
Tương tự => MCRB là hình bình hành
=> MC//BR; MC=BR (t/c hình bình hành) (2)
Từ (1), (2) => AQ//BR (//MC) và AQ=BR (=MC)
=> AQRB là hình bình hành (dhnb)
=> AR và BQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( t/c hbh)
Mà O là trung điểm BQ (gt)
=> O là trung điểm AR
=> R đ/xứng với A qua O (định nghĩa)
b) Có D là trung điểm AB và PM
=> AMBP là hình bình hành (dhnb)
=> AM//PB, AM=PB (t/c hình bình hành) (1)
Có AQCM là hbh (cmt)
=> AM//CQ; AM=CQ (t/c hbh)
Từ (1); (2) => BP =CQ (=AM)
BP//CQ(//AM)
=> BPQC là hbh (dhnb)
=> BQ và PC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (t/c hbh)
Mà O là trung điểm BQ(gt)
=> O là trung điểm PC
=> AR, BQ, CP đồng quy tại O

 

[phuong_july]

Bài1. PTĐTTNT: $(x^2+x+1)(x^2+x+2)-2$.

Bài2. Tính giá trị của biểu thức: $p=\frac{x-y}{x+y}$ biết $3x^2+3y^2=10xy$ và $y>x>0$.

Bài3. Tính giá trị của biểu thức: $M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$
Biết $\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{1}{3}$

Bài4. Tìm giá trị của x sao cho thương phép chia $2004x+1503$ cho $x^2+1$ đạt giá trị bé nhât có thể được.

Bài 5. Tìm 2 số tự nhiên $x, y$ sao cho: $x+y=\frac{3x}{y}$.

 

[vipboycodon]

Bài 1 :
Đặt $t = x^2+x+1$
=> $A = t(t+1)-2$
= $t^2+t-2$
= $(t+2)(t-1)$
Thay $t = x^2+x+1$ vào A ta có :
$A = (x^2+x)(x^2+x+3) = x(x+1)(x^2+x+3)$

 

[vipboycodon]

Bài 2 :
$P = \dfrac{x-y}{x+y}$
$P^2 = \dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}$ = $\dfrac{3(x^2-2xy+y^2)}{3(x^2+2xy+y^2)}$ = $\dfrac{3x^2-6xy+3y^2}{3x^2+6xy+3y^2}$ = $\dfrac{10xy-6xy}{10xy+6xy}$
=> $P^2 = \dfrac{4xy}{16xy} = \dfrac{1}{4}$
Vì $y > x$ => $P = \dfrac{-1}{2}$

 

[congchuaanhsang]

Hông ai chém bài này à:
Cho $a,b,c > 0$ và $abc \le 1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \ge a+b+c$

Có mình

Đặt $a=x^3$; $b=y^3$ ; $c=z^3$ (x,y,z>0)

VT=$\dfrac{x^3}{z^3}+\dfrac{y^3}{x^3}+\dfrac{z^3}{y^3}$
=$\dfrac{x^6y^3+y^6z^3+z^6x^3}{x^3y^3z^3}$

Xét $VT.xyz$=$\dfrac{x^4y}{z^2}+\dfrac{y^4z}{x^2} + \dfrac{z^4x}{y^2}$

Cauchy 3 số

$\dfrac{x^4y}{z^2}+\dfrac{y^4z}{x^2}+\dfrac{z^4x}{y^2}$\geq$y^3$

Tương tự ta được $VT.xyz$\geq$x^3+y^3+z^3$

\LeftrightarrowVT\geq$\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$

Hay VT\geq$\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

(BĐT này đã được nêu tròn topic Sáng tạo bất đẳng thức của mình ở box toán 9 chỉ có điều a,b,c đã hoán vị cho nhau)

Mà abc\leq1\RightarrowVT\geqa+b+c=VP

 

[vipboycodon]

Mình làm kiểu này thấy dễ hiểu hơn .
Ta có : $abc \le 1$.
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :
$\dfrac{2a}{c}+\dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}} \ge 3a$.
Tương tự ta có : $\dfrac{2b}{a}+\dfrac{a}{c} \ge 3b$ ; $\dfrac{2c}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 3c.$
Công vế với vế ta có :
$3(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}) \ge 3(a+b+c) \rightarrow$ đpcm

 

[chonhoi110]

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: $M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$
Biết $\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{1}{3}$

$\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{3} \rightarrow x^2-x+1=3x \leftrightarrow x^2-4x+1=0$

Ta có: $M=\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$

$=\dfrac{x}{x^2+x+1}.\dfrac{x}{x^2-x+1}$

$=\dfrac{x}{x^2-4x+1+5x}.\dfrac{1}{3}$

$=\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{3}$

$=\dfrac{1}{15}$

Mình sẽ tổng hợp lại các bài còn tồn đọng trong topic nhá

Bài4. Tìm giá trị của x sao cho thương phép chia $2004x+1503$ cho $x^2+1$ đạt giá trị bé nhât có thể được.

Bài 5. Tìm 2 số tự nhiên $x, y$ sao cho: $x+y=\frac{3x}{y}$.

Bài 1 : Cho $M = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

CMR : Nếu M = 1 thì 2 trong 3 p/ thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng - 1.
Bài 2 : Cho a,b,c, x,y,z $\not= 0$, thỏa :

a + b + c = 0; x + y + z = 0; $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 0$

CMR : $a^2x + b^2y + c^2z = 0$

Bài 3: CMR : Với mọi số nguyên dương n có : $\dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \dfrac{n}{3n + 1}$

Bài 4 : $\dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x} + \dfrac{z}{x - y} = 0$ (x,y,z thoả ĐKX Đ)

Tính giá trị A = $\dfrac{x}{(y - z)^2} + \dfrac{y}{(z - x)^2} + \dfrac{z}{(x - y)^2}$

Bài 5 : Tìm A,B, C biết :

$\dfrac{x^2 + x + 4}{(x + 2)^3} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 2)^2} + \dfrac{C}{(x + 2)^3}$

Khi làm bài các bạn nhớ kèm theo trích dẫn cho dễ nhìn nhé
Chúc các bạn học tốt

P/s: Nếu không bác nào chém em sẽ tự biên tự diễn =)) mấy bài trên em làm hết rồi )

 

[0973573959thuy]

Bài4. Tìm giá trị của x sao cho thương phép chia $2004x+1503$ cho $x^2+1$ đạt giá trị bé nhât có thể được.

Bài 4: Sai đề nhé! Chỉ thực hiện dc phép chia khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia thôi

Thêm một bài quy nạp này :
CMR : Với mọi số nguyên dương n có : S = $\dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \dfrac{n}{3n + 1} (1) $
Các bạn chứng minh bằng cách khác cũng dc, nhưng theo mình áp dụng quy nạp là nhanh và dễ nhất.

Uk, quy nạp là tốt nhất cho mấy bài chứng minh dựa vào điều kiện tự nhiên hoặc nguyên dương của biến.

Với n = 1, hiển nhiên đẳng thức đã cho (1) đúng.

Giả sử đẳng thức đã cho (1) đúng với n = k ($k \ge 1$), tức là :
$ S_{k} = \dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3k - 2)(3k + 1)} = \dfrac{k}{3k + 1} $

Cần chứng minh đẳng thức 1 đúng với n = k + 1, tức là :
$ S_{k + 1} $ $= \dfrac{1}{1.4}$ + $\dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10}$ + ... + $ \dfrac{1}{(3k - 2)(3k + 1)}$ + $\dfrac{1}{(3k + 1)(3k + 4)}$ = $\dfrac{k + 1}{3k + 4}$

Thật vậy: $S_{k + 1} = S_k + \dfrac{1}{(3k + 1) (3k + 4)} = ...= \dfrac{k + 1}{3k + 4}$

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \in Z^+$

Bài 4 : $\dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x} + \dfrac{z}{x - y} = 0$ (x,y,z thoả ĐKX Đ)

Tính giá trị A = $\dfrac{x}{(y - z)^2} + \dfrac{y}{(z - x)^2} + \dfrac{z}{(x - y)^2}$

Bài 5 : Tìm A,B, C biết :

$\dfrac{x^2 + x + 4}{(x + 2)^3} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 2)^2} + \dfrac{C}{(x + 2)^3}$

Bài 4 : Chuẩn bài mình thi 45' Toán vừa rồi

$\dfrac{x}{y - z} = \dfrac{y}{x - z} + \dfrac{z}{y - z} = .... $

Nhân cả 2 vế của đẳng thức trên với $\dfrac{1}{y - z}$ dc

$\dfrac{x}{(y - z)^2} = ....$

Tương tự với 2 phân thức còn lại.
Sau đó cộng các kết quả dc kết quả cuối cùng là 0.

Bài 5 : Tính vế phải sau đó đồng nhất 2 tử thức 2 vế thì ra nhé!

 

[phuong_july]

Bài 4: Sai đề nhé! Chỉ thực hiện dc phép chia khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia thôi

Đề đúng bạn à. Kết quả tìm được $x=-2$. Bài này nói chung là khá khó. Bài này không thể thực hiện phép chia đâu bạn.

 

[chonhoi110]

Đề đúng bạn à. Kết quả tìm được $x=-2$. Bài này nói chung là khá khó.

Tóm tắt đề là vậy nè )
Tìm x để phân thức $A=\dfrac{2004x+1503}{x^2+1}$ đạt GTNN =)) vậy cho nó gọn
Giải
$A=\dfrac{2004x+1503}{x^2+1}=\dfrac{501(x+2)^2-501(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{501(x+2)^2}{x^2+1}-501$ \geq $-501$

Giờ tìm x dễ rồi ) Làm e tốn cả buổi trưa suy nghĩ |

Bạn này thích thì $A=\dfrac{2004x+1503}{x^2+1} \rightarrow Ax^2+A-2004x-1503=0$
Rùi tìm Min cũng được

 

[vipboycodon]

Bài 15: Cho: $a^2+b^2+c^2=25$
__________ $x^2+y^2+z^2=81$
__________ $ax+by+cz=45$
Tính: $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$

Ta có: $\dfrac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{2025}{81} = 25 = a^2+b^2+c^2$

$\rightarrow \dfrac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2$

$\rightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}$

$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$

$\leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz$

$\leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2axcz-2bycz=0$

$\leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ay-bx=0\\ az-cx=0\\ bz-cy=0\end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ay=bx\\ az=cx\\ bz=cy\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\ \dfrac{a}{x}= \dfrac{c}{z} \\ \dfrac{b}{y}= \dfrac{c}{z} \end{matrix}\right. \leftrightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

Theo tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, ta có:
$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ => $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(x+y+z)^2}$
Thế số vô được kết quả là $\dfrac{5}{9}$

 

[vipboycodon]

Bài 5 : Tìm A,B, C biết :

$\dfrac{x^2 + x + 4}{(x + 2)^3} = \dfrac{A}{x + 2} + \dfrac{B}{(x + 2)^2} + \dfrac{C}{(x + 2)^3}$

$\dfrac{x^2 + x + 4}{(x + 2)^3} =\dfrac{A(x+2)^2+B(x+2)+C}{(x + 2)^3}$

=>$ x^2+x+4=Ax^2+4Ax+4A+Bx+2B+C$

<=>$x^2+x+4=Ax^2+(4A+B)+(4A+2B+C)$

Đồng nhất 2 vế => $A=1; B=-3; C=6$

 

[popstar1102]

Cho ax+by+cz=0.Rút gọn

$A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ac(z-x)^2+ab(x-y)^2}$

 

[vipboycodon]

Tặng topic 1 bài :
Tìm số tự nhiên n sao cho $A = n^2+n+6$ là số chính phương.

 

[buithinhvan77]

Tặng topic 1 bài :
Tìm số tự nhiên n sao cho $A = n^2+n+6$ là số chính phương.

Đặt [LaTEX]k^2 = n^2 + n + 6[/LaTEX] k nguyên dương
[LaTEX] k^2 = n^2 + n + 6 \rightarrow 4k^2 = 4n^2 + 4n + 24[/LaTEX]
[LaTEX]\rightarrow 4k^2 = (2n + 1)^2 + 23\rightarrow (2k)^2 - (2n + 1)^2 = 23[/LaTEX]
[LaTEX]\rightarrow (2k - 2n - 1)(2k + 2n + 1) = 23 [/LaTEX]
Vì 2k - 2n - 1 < 2k + 2n + 1
[LaTEX]\rightarrow 2k - 2n - 1 = 1 (1); 2k + 2n + 1 = 23 (2)[/LaTEX]
[LaTEX](1) \rightarrow 2(k - n) = 2 \rightarrow k - n = 1[/LaTEX]
[LaTEX](2) \rightarrow 2(k + n) = 22 \rightarrow k + n = 11[/LaTEX]
Vậy n = 5
Ta có A = 36 thỏa mãn