$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập HKI}}$

[ttt2_thtt]

Bài này xem max-min nhé........

Cho x > 0. Tìm GTLN của:

[TEX]A = x + \sqrt[]{x^2 + \frac{1}{x^2}}[/TEX]

 

[0973573959thuy]

Ta có: $\dfrac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{2025}{81} = 25 = a^2+b^2+c^2$

$\rightarrow \dfrac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2$

Theo tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, ta có:
$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ => $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(x+y+z)^2}$
Thế số vô được kết quả là $\dfrac{5}{9}$

Bạn ơi sao chỗ này không có kết quả là $\dfrac{-5}{9}$ ?

 

[0973573959thuy]

Cho ax+by+cz=0.Rút gọn

$A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ac(z-x)^2+ab(x-y)^2}$

$B = bc(y- z)^2 + ac(z - x)^2 + ab(x - y)^2 = bcy^2 + bcz^2 + acz^2 + acx^2 + abx^2 + aby^2 - 2(bcyz + acxz + abxy)$


$\leftrightarrow B = ax^2(b + c) + by^2(a + c) + cz^2(b + a) - 2(bcyz + acxz + abxy)$

Theo gt có : $a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 = - 2((bcyz + acxz + abxy) (1)$

Thế (1) vào B ta được : $B = (ax^2 + by^2 + cz^2)(a + b + c)$

$A = \dfrac{ax^2 + by^2 + cz^2}{(ax^2 + by^2 + cz^2)(a + b + c)} = \dfrac{1}{a + b + c}$

 

[chonhoi110]

Bạn ơi sao chỗ này không có kết quả là $\dfrac{-5}{9}$ ?

À, cái này cũng dễ chứng minh thôi
Ta có: $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ (cmt)
$\rightarrow$ nếu a dương thì b và c cũng dương
Tương tự nếu a âm thì b và c cũng âm
Vậy nếu a,b,c âm thì ax+by+cz âm (trường hợp x,y,z dương) (1)
Lại có: $ax+by+cz=45$ (2)
Ta thây (1) mâu thuẫn với (2) → a,b,c dương
Mình chứng minh theo cách của mình ) hơi khó hiểu nhỉ

Sau đây là một số bài góp vui của các bạn

Cho x > 0. Tìm GTLN của:

[TEX]A = x + \sqrt[]{x^2 + \frac{1}{x^2}}[/TEX]

Cho ax+by+cz=0.Rút gọn

$A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ac(z-x)^2+ab(x-y)^2}$

Bài 5. Tìm 2 số tự nhiên $x, y$ sao cho: $x+y=\frac{3x}{y}$.

Bài 1 : Cho $M = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

CMR : Nếu M = 1 thì 2 trong 3 p/ thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng - 1.
Bài 2 : Cho a,b,c, x,y,z $\not= 0$, thỏa :

a + b + c = 0; x + y + z = 0; $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 0$

CMR : $a^2x + b^2y + c^2z = 0$

Cho bài mình ké với =))

Bài 6: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: $a + b = 3; ax + by = 5; ax^2 + by^2 = 12; ax^3 + by^3 = 31$. Tính $ax^4 + by^4$

Cho mình hỏi tí

Bài 4 : Chuẩn bài mình thi 45' Toán vừa rồi

$\dfrac{x}{y - z} =$ $\dfrac{y}{x - z} + \dfrac{z}{y - z}$ $= .... $

Nhân cả 2 vế của đẳng thức trên với $\dfrac{1}{y - z}$ dc

$\dfrac{x}{(y - z)^2} = ....$

Tương tự với 2 phân thức còn lại.
Sau đó cộng các kết quả dc kết quả cuối cùng là 0.

Hình như chỗ mình in đậm là $\dfrac{y}{x - z} - \dfrac{z}{y - z}$ chứ hả cô mình có cho làm bài này một đợt và mình nhớ cô sửa là -

 

[0973573959thuy]

Bài 2 : Cho a,b,c, x,y,z $\not= 0$, thỏa :

a + b + c = 0; x + y + z = 0; $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 0$

CMR : $a^2x + b^2y + c^2z = 0$

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = \dfrac{bcx + acy + abz}{abc} = 0 \rightarrow bcx + acy + abz = 0$ (1)

$(a + b + c)(ax + by + cz) = 0$

$\leftrightarrow a^2x + aby + acz + bax + b^2y + bcz + acx + bcy + c^2z = 0$

$\leftrightarrow a^2x + b^2y + c^2z + ab(x + y) + bc(y + z) + ac(x + z) = 0$

$x + y + z = 0 \rightarrow x + y = - z; y + z = - x; x + z = - y \rightarrow a^2x + b^2y + c^2z - (abz + bcx + acy) = 0$ (2)

Từ (1); (2) $\rightarrow dpcm$

 

[0973573959thuy]

À, cái này cũng dễ chứng minh thôi
Ta có: $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ (cmt)
$\rightarrow$ nếu a dương thì b và c cũng dương
Tương tự nếu a âm thì b và c cũng âm
Vậy nếu a,b,c âm thì ax+by+cz âm (trường hợp x,y,z dương) (1)
Lại có: $ax+by+cz=45$ (2)
Ta thây (1) mâu thuẫn với (2) → a,b,c dương
Mình chứng minh theo cách của mình ) hơi khó hiểu nhỉ

Thế nếu trường hợp x,y,z âm thì sao ?
Thì lúc ấy (1) thỏa (2) mà

Do đề bài ko nêu rõ ĐK x,y nên mình nghĩ bài đấy phải có 2 kq là $\dfrac{5}{9}; \dfrac{-5}{9}$

Cho mình hỏi tí

Hình như chỗ mình in đậm là $\dfrac{y}{x - z} - \dfrac{z}{y - z}$ chứ hả cô mình có cho làm bài này một đợt và mình nhớ cô sửa là -

$\dfrac{x}{y - z} + \dfrac{y}{z - x} + \dfrac{z}{x - y} = 0$

$\leftrightarrow \dfrac{x}{y - z} = \dfrac{- y}{z - x} + \dfrac{-z}{x - y} = \dfrac{y}{x - z} + \dfrac{z}{y - x}$

Là dấu + bạn ak

 

[chonhoi110]

Thế nếu trường hợp x,y,z âm thì sao ?
Thì lúc ấy (1) thỏa (2) mà

Do đề bài ko nêu rõ ĐK x,y nên mình nghĩ bài đấy phải có 2 kq là $\dfrac{5}{9}; \dfrac{-5}{9}$

Nếu x,y,z âm luôn thì $\dfrac{-a}{-x}=\dfrac{a}{x}$ vậy thì phân số dương =))

Một số bài tập, mọi người cùng giải nhé!

Bài 1: Tính : $\dfrac{10^{12} + 2}{3}$

Gợi ý : Nhận xét $\dfrac{10^k + 2}{3}$ có dạng ntn sau đó thay k = 12 vào để tính

Bài 2: Cho $A = \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 99} \\ n \end{matrix}$ ($n \in N^*)$

So sánh tổng các chữ số của A với tổng các chữ số của $A^2$

Bài 3: Rút gọn biểu thức: $P= \dfrac{(1^4+4)(5^4+4)(9^4+4)...(21^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)(11^4+4)...(23^4+4)}$

Bài 4: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: $a + b = 3; ax + by = 5; ax^2 + by^2 = 12; ax^3 + by^3 = 31$. Tính $ax^4 + by^4$

Bài 1 : Cho $M = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

CMR : Nếu M = 1 thì 2 trong 3 p/ thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng - 1.

 

[xuan_nam]

Một số bài tập, mọi người cùng giải nhé!

Bài 1: Tính : $\dfrac{10^{12} + 2}{3}$

Gợi ý : Nhận xét $\dfrac{10^k + 2}{3}$ có dạng ntn sau đó thay k = 12 vào để tính

Bài 2: Cho $A = \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 99} \\ n \end{matrix}$ ($n \in N^*)$

So sánh tổng các chữ số của A với tổng các chữ số của $A^2$

Bài 3: Rút gọn biểu thức: $P= \dfrac{(1^4+4)(5^4+4)(9^4+4)...(21^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)(11^4+4)...(23^4+4)}$

Bài 4: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: $a + b = 3; ax + by = 5; ax^2 + by^2 = 12; ax^3 + by^3 = 31$. Tính $ax^4 + by^4$

Bài 1 :
$B = \dfrac{10^k + 2}{3} = \dfrac{ \begin{matrix} \underbrace{ 100\cdots 02} \\k - 1\end{matrix}}{3} = \begin{matrix} \underbrace{333\cdots 334} \\k - 1\end{matrix}$

$\rightarrow \dfrac{10^{12} + 2}{3} = \begin{matrix} \underbrace{333\cdots 334} \\11\end{matrix}$

Bài 2 : $A = \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 99} \\ n \end{matrix}$

Tổng các chữ số của A là 9n (1)

Ta có : $A^2 = \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 99} \\ n \end{matrix}^2 = (10^n - 1)^2 = 10^{2n} - 2.10^n + 1 = 10^n(10^n - 2) + 1 = 10^n.\begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 98} \\ n - 1\end{matrix} + 1 = \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 98} \\ n - 1\end{matrix}\begin{matrix} \underbrace{000\cdots 01} \\ n - 1\end{matrix} $

Tổng các chữ số của $A^2$ là : $9(n - 1) + 8 + 1 = 9n (2)$

Từ (1) và (2) suy ra tổng các chữ số của $A$ và $A^2$ bằng nhau.

Bài 3 : Ta có : $a^4 + 4 = a^4 +4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) = [(a - 1)^2 + 1][(a + 1)^2 + 1]$

Thay a bằng các giá trị từ 1 đến 23 ta có :

$P = \dfrac{(2^2 + 1)(4^2 + 1)(6^2 + 1)(8^2 + 1)(10^2 + 1)...(20^2 + 1)(22^2 + 1)}{(2^2 + 1)(4^2 + 1)(6^2 + 1)(8^2 + 1)(10^2 + 1)(12^2 + 1)...(22^2 + 1)(24^2 + 1)}$

$P = \dfrac{1}{24^2 + 1} = \dfrac{1}{577}$

 

[vipboycodon]

Bài 4: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: $a + b = 3; ax + by = 5; ax^2 + by^2 = 12; ax^3 + by^3 = 31$. Tính $ax^4 + by^4$

Ta có: $ax^2 + by^2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy $ (1)

______$ax^3 + by^3 = (ax^2 + by^2)(x + y)- (ax + by)xy$ (2)

______$ax^4 + by^4 = (ax^3 + by^3)(x + y)- (ax^2 + by^2)xy$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $\left\{\begin{matrix}5(x+y)-3xy=12\\ 12(x+y)-5xy=31 \end{matrix}\right.\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}25(x+y)-15xy=60\\ 36(x+y)-15xy=96 \end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}11(x+y)=33\\ 5(x+y)-3xy=12 \end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=3\\ xy=1 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow ax^4 + by^4 = 31.3- 12.1= 81$

 

[vipboycodon]

Bài 1 : Cho $M = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

CMR : Nếu M = 1 thì 2 trong 3 p/ thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng - 1.

Đặt $A= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} ; B=\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ; C=\dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$M=1 \leftrightarrow A+B+C-1=0$ (1)
_____$ \leftrightarrow (A+1)+(B-1)+(C-1)=0$

Ta có: $A+1=\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}+1=\dfrac{(a + b)^2 - c^2}{2ab}=\dfrac{(a + b - c)(a+b+c)}{2ab}$

$B-1=\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}-1=\dfrac{(b - c)^2 - a^2}{2bc}=\dfrac{(b- c - a)(b-c+a)}{2bc}$

Tương tự: $C-1=\dfrac{(c- a- b)(c-a+b)}{2ca}$

$(1) \leftrightarrow (a+b-c)[\dfrac{c(a+b+c)+a(b-c-a)-b(c-a+b)}{2abc}]=0$

$\leftrightarrow (a+b-c)[c^2-(a-b)^2]=0$

$\leftrightarrow (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0$

Ta có xét ba trường hợp:
$TH_1: a+b-c=0 \rightarrow A+1=0 \rightarrow A=-1$
____________ $B-1=0 \rightarrow B=1$
____________ $C-1=0 \rightarrow C=1$

$TH_2: a-b+c=0 $
$A-1=\dfrac{(a-b-c)(a-b+c)}{2ab}=0 \rightarrow A=1$

$B-1=0 \rightarrow B=1$

$C+1=\dfrac{(c+a-b)(c+a+b)}{2ca}=0 \rightarrow C=-1$

$TH_3$: tương tự
Tóm lại, trường hợp nào cũng có 2 p/thức A,B,C bằng 1, phân thức còn lại bằng -1

 

[chonhoi110]

Thêm 1 số bài tập nữa nhé!

Bài 5: Cho x, y, z thỏa mãn: $x^2+y^2=(x+y-z)^2$
CMR: $\dfrac{x^2+(x-z)^2}{y^2+(y-z)^2}=\dfrac{x-z}{y-z}$

Bài 6: Cho a,b,c thỏa mãn $a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{ 1}{a}$
CMR: $a=b=c$ hoặc $abc= \pm \; 1$

Bài 7: Cho a,b,x,y thỏa mãn: $x^2+y^2=1; \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$
CMR: $\dfrac{x^{2010}}{a^{1005}}+\dfrac{y^{2010}}{b^{1005}}=\dfrac{2}{(a+b)^{1005}}$

Bài 8: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+ \dfrac{d}{d+a}=2$
CMR: abcd là một số chính phương

Bài 9: Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$
CMR: trong ba số a,b,c phải có một số âm và một số dương

Bài 10: Cho $(a^2-bc)(b-abc)=(b^2-ac)(a-abc)$ và $a,b,c,a-b \not= \, 0$
CMR: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c$

Bài 11: Cho $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2$ và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2$
CMR: $a+b+c=abc$

 

[phuong_july]

Bài 11: Cho $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2$ (1) và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2$ (2)
CMR: $a+b+c=abc$

Làm câu dễ trước.
Ta có:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$ (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta tìm được:
$(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})=1$
\Rightarrow $\frac{a+b+c}{abc}=1$.
\Rightarrow $a+b+c=abc$.

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 6: Cho a,b,c thỏa mãn $a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{ 1}{a}$
CMR: $a=b=c$ hoặc $abc= \pm \; 1$

$a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} \rightarrow a - b = \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - c}{bc}$

$b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} \rightarrow b - c = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{c} = \dfrac{c - a}{ac}$

$c + \dfrac{1}{a} = a + \dfrac{1}{b} \rightarrow c - a = \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$

$\longrightarrow (a - b)(b - c)(c - a) = \dfrac{b - c}{bc}. \dfrac{c - a}{ac}. \dfrac{a - b}{ab} = \dfrac{(a - b)(b - c)(c - a)}{a^2b^2c^2}$

$\rightarrow (a - b)(b - c)(c - a).(a^2b^2c^2 - 1) = 0 \rightarrow a = b = c; abc = \pm 1$

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 10: Cho $(a^2-bc)(b-abc)=(b^2-ac)(a-abc)$ và $a,b,c,a-b \not= \, 0$
CMR: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c$

$(a^2 - bc)(b - abc) = (b^2 - ac)(a - abc)$

$\leftrightarrow a^2b - a^3bc - b^2c + ab^2c^2 = ab^2 - ab^3c - a^2c + a^2bc^2$

$\leftrightarrow a^2b - ab^2 + a^2c - b^2c = a^2bc^2 - ab^2c^2 + a^3bc - ab^3c$

$\leftrightarrow ab(a - b) + c(a + b)(a - b) = abc^2(a - b) + abc(a - b)(a + b)$

$\leftrightarrow (a - b)(ab + bc + ac) = abc(a - b)(a + b + c)$

$\leftrightarrow \dfrac{(a - b)(ab + bc + ac)}{abc(a - b)} = \dfrac{abc(a - b)(a + b + c)}{abc(a - b)}$ (do $a,b,c, a - b \not= 0$)

$\leftrightarrow a + b + c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} (dpcm)$

 

[me0kh0ang2000]

Bài 7: Cho a,b,x,y thỏa mãn: $x^2+y^2=1; \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$
CMR: $\dfrac{x^{2010}}{a^{1005}}+\dfrac{y^{2010}}{b^{1005}}=\dfrac{2}{(a+b)^{1005}}$

$\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\\
\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{a+b}$

$\Rightarrow (x^4b+y^4a)(a+b)=(x^4+2x^2y^2+y^4)ab\\
\Leftrightarrow x^4b^2-2x^2y^2ab+y^4a^2=0\\
\Leftrightarrow x^2b-y^2a=0 \Rightarrow x^2b=y^2a\\
\Rightarrow \dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{x^2+y^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}$

$\Rightarrow \dfrac{x^{2010}}{a^{1005}}=\dfrac{y^{2010}}{b^{1005}}=\dfrac{1}{(a+b)^{1005}}\\
\Rightarrow \dfrac{x^{2010}}{a^{1005}}+\dfrac{y^{2010}}{b^{1005}}=\dfrac{2}{(a+b)^{1005}}$

 

[me0kh0ang2000]

Thêm một bài quy nạp này :
CMR : Với mọi số nguyên dương n có : $\dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \dfrac{n}{3n + 1}$

Các bạn chứng minh bằng cách khác cũng dc, nhưng theo mình áp dụng quy nạp là nhanh và dễ nhất.

Mình thấy cách này cũng nhanh!

$\dfrac{1}{1.4} + \dfrac{1}{4.7} + \dfrac{1}{7.10} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)}\\
=\dfrac{1}{3}[\dfrac{3}{1.4} + \dfrac{3}{4.7} + \dfrac{3}{7.10} + ... + \dfrac{3}{(3n - 2)(3n + 1)}]\\
=\dfrac{1}{3}[1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}]\\
=\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{1}{3n+1})=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n}{3n+1}= \dfrac{1}{3n+1}\ (đpcm)$

 

[me0kh0ang2000]

Bài 5. Tìm 2 số tự nhiên $x, y$ sao cho: $x+y=\frac{3x}{y}$.

$x+y=\dfrac{3x}{y} \Rightarrow xy+y^2=3x \Leftrightarrow x(y-3)=-y^2$

Vì $x, y \in N$ nên $x(y-3)<0 \Rightarrow y-3<0 \Rightarrow 0 < y <3$

Nếu $y=1$ thì $x+1=3x \Rightarrow 2x=1$ (loại)

Nếu $y=2$ thì $ x+2=\dfrac{3x}{2} \Rightarrow x=4$

Vậy, $x=4,\ y=2$.

 

[me0kh0ang2000]

Bài này xem max-min nhé........

Cho x > 0. Tìm GTLN của:

[TEX]A = x + \sqrt[]{x^2 + \frac{1}{x^2}}[/TEX]

Xét $B=x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^4+1}{x^2}=\dfrac{x^4-2x^2+1}{x^2}+\dfrac{2x^2}{x^2}=\dfrac{(x^2-1)^2}{x^2}+2 \geq 2$

$\Rightarrow \sqrt{B} \geq \sqrt{2}$ khi $x=1$

Vậy, GTNN của A là $1+\sqrt{2}$.

 

[me0kh0ang2000]

Bài 5: Cho x, y, z thỏa mãn: $x^2+y^2=(x+y-z)^2$
CMR: $\dfrac{x^2+(x-z)^2}{y^2+(y-z)^2}=\dfrac{x-z}{y-z}$

$x^2+y^2=(x+y-z)^2\\
\Leftrightarrow x^2+y^2=(x-z)^2+2y(x-z)+y^2\\
\Leftrightarrow x^2=(x-z)^2+2y(x-z)\\

x^2+y^2=(x+y-z)^2\\
\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2+2x(y-z)+(y-z)^2\\
\Leftrightarrow y^2=(y-z)^2+2x(y-z)$
Do đó:
$\dfrac{x^2+(x-z)^2}{y^2+(y-z)^2}=\dfrac{2(x-z)^2+2y(x-z)}{2(y-z)^2+2x(y-z)}=\dfrac{2(x-z)(x-z+y)}{2(y-z)(y-z+x)}=\dfrac{x-z}{y-z}\ (dpcm)$

 

[tathivanchung]

$x+y=\dfrac{3x}{y} \Rightarrow xy+y^2=3x \Leftrightarrow x(y-3)=-y^2$

Vì $x, y \in N$ nên $x(y-3)<0 \Rightarrow y-3<0 \Rightarrow 0 < y <3$

Nếu $y=1$ thì $x+1=3x \Rightarrow 2x=1$ (loại)

Nếu $y=2$ thì $ x+2=\dfrac{3x}{2} \Rightarrow x=4$

Vậy, $x=4,\ y=2$.

Phải là Vì $x, y \in N$ nên $x(y-3)\leq0 \Rightarrow y-3\leq0 \Rightarrow 0 \leqy \leq3$
chứ nhỉ [x,y là số tự nhiên kia mà]