Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Đặt $t=xy+yz+xz$

Ta có : $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+xz)=3t\Longrightarrow 0 \le t \le \dfrac{1}{3}$

Mặt khác $N= 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\ge 3.\dfrac{(xy+yz+xz)^2}{3}+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)}$

$=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}=f(t)$ (với $t \in [0; \dfrac{1}{3}]$

$f'(t) =2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}$

$f"(t)=2-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}} <0$ với mọi $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \Longrightarrow f'(t)$ nghịch biến

$\Longrightarrow f'(t) \ge f'( \dfrac{1}{3})=\dfrac{11}{3}-2\sqrt{3} >0 \Longrightarrow f(t)$ đồng biến $\Longrightarrow f(t) \ge f(0) ; f(t) \le f(\dfrac{1}{3})$

Xong rồi đấy )

Cuộc chiến vẫn chưa kết thúc khi chưa tìm ra dấu bằng =))

 

[chonhoi110]

Bài 2: Cho $x,y \ge 0$ thoả $x+y=1$. Tìm GTLN, GTNN của $M=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy$

Mình có sở thích làm từ dưới lên trên =))

Đặt $t=xy \Longrightarrow 0 \le t \le \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$

Ta có $M=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy=12(x^3+y^3)+16x^2y^2+34xy$

$=12[(x+y)^3-3xy(x+y)]+16x^2y^2+34xy=16x^2y^2-2xy+12=16t^2-2t+12=f(t)$ (với $t \in [0; \dfrac{1}{4}]$)

$f'(t)=32t-2=0 \Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{16}$

Đến đây quá dễ rồi, lười |

Cuộc chiến vẫn chưa kết thúc khi chưa tìm ra dấu bằng =))

Nhẩm thì hình như $Min N= 2 \Longleftrightarrow (x,y,z)=(0,0,1)$ và hoán vị

$Max$ thì.... hình như bài này ếu có max :v điên rồi ) bỏ thằng $f(t) \le f(\dfrac{1}{3})$ =))

 

[huy14112]

$A=x^2(x-2)(x+2)+y^2(y-2)(y+2)+2(xy-2)(xy+2)$

$=x^2(x^2-4)+y^2(y^2-4)+2(x^2y^2-4)$

$=x^4-4x^2+y^4-4y^2+2x^2y^2-8$

$=(x^2+y^2)^2-4(x^2+y^2)-8$

Đặt $x^2+y^2=t$

Mặt khác : $(x^2+y^2 )^2 \le 2(x^4+y^4)=x^2+y^2$

$\rightarrow x^2+y^2 \le 1$

hay $0\le t \le 1$

Ta có :

$A=t^2-4t-8$



Đến đây quá dễ rồi, lười |

 

[huynhbachkhoa23]

Tiếp này mấy bác, đặt ẩn phụ dạng khác.

Bài 1: Cho $x,y \in\mathbb{R}$ thoả $x^2+y^2=1$

Tìm GTLN, GTNN của $P=\dfrac{2(x^2+6xy)}{1+2xy+2y^2}$

Bài 2: Tìm GTNN của $T=\dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}-(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2})+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$ với $a,b \ne 0$

Bài 3: Lấy trong Event. Cho $x,y,z>0$ thoả $x(x+y+z)=3yz$.

Chứng minh $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \le 5(y+z)^3$

 

[trantien.hocmai]

$\text{vẫn là phong cách giải củ của TRẦN TIẾN ta} \\
\text{câu 1} \\
x^2+y^2=1 \\
\text{đặt } \begin{cases} x=\sin a \\ y=\cos a \end{cases} \\
\text{ta có: } \sin ^2a+\cos ^2a \\
P=\frac{2(\sin ^2a+6\sin a.\cos a)}{1+2\sin a.\cos a+2.\cos ^2a} \\
=\frac{1-\cos 2a+6\sin 2a}{1+\sin 2a+1+\cos 2a}=\frac{6\sin 2a-\cos 2a+1}{\sin 2a+\cos 2a+2} \\
\leftrightarrow (P-6)\sin 2a+(P+1)\cos 2a=1-2P \\
\text{điều kiện để phương trình này có nghiệm là } (1-2P)^2 \le (P-6)^2+(P+1)^2 \\
\leftrightarrow 2P^2+6P-36 \le 0 \leftrightarrow -6 \le P \le 3 \\
\text{anh giải như vậy đúng ý em không khoa hay là em muốn dồn biến thế}$

 

[huynhbachkhoa23]

$\text{vẫn là phong cách giải củ của TRẦN TIẾN ta} \\
\text{câu 1} \\
x^2+y^2=1 \\
\text{đặt } \begin{cases} x=\sin a \\ y=\cos a \end{cases} \\
\text{ta có: } \sin ^2a+\cos ^2a \\
P=\frac{2(\sin ^2a+6\sin a.\cos a)}{1+2\sin a.\cos a+2.\cos ^2a} \\
=\frac{1-\cos 2a+6\sin 2a}{1+\sin 2a+1+\cos 2a}=\frac{6\sin 2a-\cos 2a+1}{\sin 2a+\cos 2a+2} \\
\leftrightarrow (P-6)\sin 2a+(P+1)\cos 2a=1-2P \\
\text{điều kiện để phương trình này có nghiệm là } (1-2P)^2 \le (P-6)^2+(P+1)^2 \\
\leftrightarrow 2P^2+6P-36 \le 0 \leftrightarrow -6 \le P \le 3 \\
\text{anh giải như vậy đúng ý em không khoa hay là em muốn dồn biến thế}$

Dạ đúng rồi anh ơi, bài này anh thử sử dụng dồn biến đi, dễ nhìn hơn lượng giác đó.

 

[chonhoi110]

Bài 2: Tìm GTNN của $T=\dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}-(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2})+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$ với $a,b \ne 0$

$T=\dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}-(\dfrac{a^2}{b^2}+ \dfrac{b^2}{a^2})+ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$

$=[(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2-2]^2-2-(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2+2+ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$

Đặt $t=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \Longrightarrow |t| \ge 2$

$\Longrightarrow T=t^4-4t^2+4-t^2+t=t^4-5t^2+t+4$ với ( $t \le -2 ; t \ge 2$)

....................................

 

[huy14112]

$T=\dfrac{a^4}{b^4}+\dfrac{b^4}{a^4}-(\dfrac{a^2}{b^2}+ \dfrac{b^2}{a^2})+ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$

$=[(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2-2]^2-2-(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2+2+ \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$

Đặt $t=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \Longrightarrow |t| \ge 2$

$\Longrightarrow T=t^4-4t^2+4-t^2+t=t^4-5t^2+4$ với ( $t \le -2 ; t \ge 2$)

....................................

1 lỗi nhỏ

$T=t^4-5t^2+2$

.......................................................

 

[chonhoi110]

1 lỗi nhỏ

$T=t^4-5t^2+2$

.......................................................

Thật ra thì 2 đứa đều sai )
...........................................................................

 

[huy14112]

Thật ra thì 2 đứa đều sai )
...........................................................................

Ờ phải là $T=t^4-5t^2+t+2$ ) ////////////////////////////////////

 

[huynhbachkhoa23]

Thôi, làm tiếp cho bác chồn.

$f(t)=t^4-5t^2+t+4$

$f'(t)=4t^3-10t+1$

Với $t\ge 2; f'(t)>0 \rightarrow f(t)\ge f(2)=...$
Với $t\le -2; f'(t)<0 \rightarrow f(t)\ge f(-2)=...$

Tự tính =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1 cho bác Huy:

$P=\dfrac{2x^2+12xy}{x^2+3y^2+2xy}=\dfrac{2t^2+12t}{t^2+2t+3}$ với $t=\dfrac{x}{y}$

Tới đây chắc bác nào cũng biết làm =))

 

[riverflowsinyou1]

1 cái bài bđt IMO 1998 mà 1 anh bên Đức hành như thế này .
Cho a,b,c>0 và $abc=1$ . C/m
$\frac{a^3}{(1+b)(c+1)} \ge \frac{3}{4}$
Lời giải của Sonhard.
$\left( 94\,{u}^{2}+94\,{v}^{2}+94\,uv\right){a}^{10}+\left( 658\,{ u}^{3}+1169\,{u}^{2}v+282\,{v}^{3}+1075\,u{v}^{2}\right){a}^{9}+\left( 5248\,{u}^{3}v+5757\,{u}^{2}{v}^{2}+386\,{v}^{4}+2078\,{u}^{4}+2587\,u{v}^{3}\right){a}^{8}+\left( 3041\,{v}^{4}u+10710\,{u}^{2}{ v}^{3}+12711\,{u}^{4}v+3914\,{u}^{5}+302\,{v}^{5}+17070\,{u}^{3}{v}^{2 }\right){a}^{7}+\left( 2051\,u{v}^{5}+19278\,{u}^{5}v+4886\,{u}^{6}+31164\,{u}^{4}{v}^{2}+10465\,{v}^{4}{u}^{2}+25186\,{u}^{3}{v}^{3}+140\,{v}^{6}\right){a}^{6}+\left( 20313\,{v}^{4}{u}^{3}+5937\,{u}^{2}{ v}^{5}+812\,u{v}^{6}+37323\,{u}^{5}{v}^{2}+19579\,{u}^{6}v+36\,{v}^{7}+4234\,{u}^{7}+37094\,{u}^{4}{v}^{3}\right){a}^{5}+\left( 35755\,{u }^{5}{v}^{3}+4\,{v}^{8}+1960\,{u}^{2}{v}^{6}+30165\,{u}^{6}{v}^{2}+176\,u{v}^{7}+24389\,{u}^{4}{v}^{4}+13660\,{u}^{7}v+9505\,{u}^{3}{v}^{5}+2582\,{u}^{8}\right){a}^{4}+\left( 16\,{v}^{8}u+6513\,{u}^{8}v+2520\,{v}^{6}{u}^{3}+22694\,{u}^{6}{v}^{3}+18602\,{u}^{5}{v}^{4}+1094\,{u}^{9}+16416\,{u}^{7}{v}^{2}+9097\,{u}^{4}{v}^{5}+344\,{v}^{7}{u}^{2}\right){a}^{3}+\left( 24\,{v}^{8}{u}^{2}+1820\,{v}^{6}{u}^{4}+9184\,{u}^{7}{v}^{3}+2040\,{u}^{9}v+5208\,{u}^{5}{v}^{5}+5796\,{u}^{8}{v}^{2}+308\,{u}^{10}+336\,{v}^{7}{u}^{3}+8820\,{v}^{4}{u}^{6}\right){a}^{2}+\left( 1204\,{u}^{9}{v}^{2}+164\,{v}^{7}{u}^{4}+1652\,{u}^{6}{v}^{5}+2380\,{v}^{4}{u}^{7}+380\,{u}^{10}v+16\,{v}^{8}{u}^{3}+2156\,{u}^{8}{v}^{3}+700\,{u}^{5}{v}^{6}+52\,{u}^{11}\right) a+224\,{u}^{9}{v}^{3}+4\,{u}^{12}+224\,{u}^{7}{v}^{5}+112\,{u}^{6}{v}^{6}+32\,{u}^{5}{v}^{7}+4\,{v}^{8}{u}^{4}+32\,{u}^{11}v+112\,{u}^{10}{v}^{2}+280\,{u}^{8} \ge 0$

 

[riverflowsinyou1]

Pháp 2001
Let A,B,C be three points on a circle of radius $\frac{\sqrt{3}}{3}$ and a,b,c the sides of triangle ABC. Show that
$(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2) \le (abc)^4$

 

[huynhbachkhoa23]

Đề thi đại học khối B năm 2014, khá dễ

Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa $(a+b)c > 0$ (Nghĩa là $c>0$ và trong $a,b$ có nhiêu nhất 1 số bằng $0$)

Tìm GTNN của $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+ \dfrac{c}{2(a+b)}$

 

[huynhbachkhoa23]

phân tích đa thức sau thành nhân tử
a^3+b^3+c^3-3abc
làm 7 cách nghe xin moi nguoi gium do

Spam......................................................................................... Thịnh đâu, xoá 3 post này đi

 

[transformers123]

Spam......................................................................................... Thịnh đâu, xoá 3 post này đi

đợi bác Thịnh chắc tới mai=))
chị river đánh bài hay thiệt, cỡ chữ bao nhiêu vậy chị=))
buổi sáng ông thầy cho mấy tại liệu ôn thi hsg chuyên đề bđt, coi đi coi lại chỉ thấy có 2 câu này khó nhất=))
bài 1: cho $x, y, z \ge 0$, chứng minh:
$|x|+|y|+|z| \le |x+y-z|+|y+z-x|+|z+x-y|$
bài 2: cho $a, b, c > 0$ thỏa $a^2+b^2+c^2 = 1$, chứng minh:
$ab+bc+ca \ge \dfrac{1}{2}$

 

[transformers123]

Đề thi đại học khối B năm 2014, khá dễ

Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa $(a+b)c > 0$ (Nghĩa là $c>0$ và trong $a,b$ có nhiêu nhất 1 số bằng $0$)

Tìm GTNN của $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+ \dfrac{c}{2(a+b)}$

tính cố gắng suy nghĩ bài toán này nhưng google nó cứ hiện ra trước mắt=))
đã giải tại http://viettelstudy.vn/news-detail-dap-an-de-thi-dai-hoc-mon-toan-khoi-b-nam-2014_642-3.html

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Vì $x,y,z \ge 0$ nên $|x|+|y|+|z|=x+y+z$ =))

$VP \ge x+y-z+y+z-x+z+x-y=x+y+z=VT$

Đẳng thức xảy ra khi $x+y\ge z; y+z \ge x; z+x \ge y$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho em deadguy bài dễ, tran đừng chém nhá bác.

Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c >0$

Tìm GTNN của $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$