Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[transformers123]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2529098#post2529098
lên đây chém nào mọi người=))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1 (Dễ) : Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{a^3+3bcd}+ \dfrac{b^3}{b^3+3cda}+ \dfrac{c^3}{c^3+3dab}+ \dfrac{d^3}{d^3+3abc} \ge 1$

Bài 2 (Dễ) : Cho $a,b,c,d \ge 0$ và có nhiều nhất $2$ số bằng $0$.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+ \sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}} \ge 2$

Bài 3 (Dễ) : Cho các số thực dương $x,y>0$ thoả mãn $(x+1)(y+1)=9$

Tìm GTNN của $A=x^2+y^2$

Bài 4 (Dễ) : Cho $a,b \ge 0$ và $c\ge 3$ thoả $a+b+c=6$

Chứng minh $abc \le \dfrac{27}{4}$

 

[transformers123]

cái nhìn đầu tiên là=)):

Bài 2 (Dễ) : Cho $a,b,c,d \ge 0$ và có nhiều nhất $2$ số bằng $0$.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+ \sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}}$

chắc là chứng minh nó lớn hơn $0$)
mắt thường ta thấy nó luôn lớn hơn $0$, từ đó ta có $\mathfrak{dpcm}$=))
chuẩn ko bác=))

 

[huynhbachkhoa23]

cái nhìn đầu tiên là=)):

chắc là chứng minh nó lớn hơn $0$)
mắt thường ta thấy nó luôn lớn hơn $0$, từ đó ta có $\mathfrak{dpcm}$=))
chuẩn ko bác=))

Cực kỳ chuẩn luôn đấy chú =)) Đề ếu như chú nói =))

 

[transformers123]

Bài 1 (Dễ) : Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{a^3+3bcd}+ \dfrac{b^3}{b^3+3cda}+ \dfrac{c^3}{c^3+3dab}+ \dfrac{d^3}{d^3+3abc} \ge 1$

Bài 2 (Dễ) : Cho $a,b,c,d \ge 0$ và có nhiều nhất $2$ số bằng $0$.Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d+a}}+ \sqrt{\dfrac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b+c}} \ge 2$

Bài 3 (Dễ) : Cho các số thực dương $x,y>0$ thoả mãn $(x+1)(y+1)=9$

Tìm GTNN của $A=x^2+y^2$

Bài 4 (Dễ) : Cho $a,b \ge 0$ và $c\ge 3$ thoả $a+b+c=6$

Chứng minh $abc \le \dfrac{27}{4}$

mấy bài này kiếm trong quyển sáng tạo bđt của Pham Kim Hùng có cơ may tìm ra=))
em có đề nghị thế này từ giờ đến chủ nhật ai có bài tập bđt thì đăng hết đi tuần sau bắt đầu giải cho bằng hết=))
đừng có cho mấy bài dễ với người ra đề, trình em ko giải nổi=))

 

[deadguy]

Em mới chuẩn bị học lớp 8 mong các anh giúp giùm em ! Câu 1 Ta áp dụng kiến thức nào ạ !

 

[transformers123]

Em mới chuẩn bị học lớp 8 mong các anh giúp giùm em ! Câu 1 Ta áp dụng kiến thức nào ạ !

theo kinh nghiệm của anh là phang Cauchy-Schwarz=))
P/s: khúc cuối anh ngược dấu(

 

[deadguy]

Bài 3:
$(x+1)(y+1)=9=3.3=(-3).(-3)=1.9=(-1).(-9)$
TH1:
$(x+1)(y+1)=3.3$
$=> x=2;y=2$
TH2:
$(x+1)(y+1)=(-3).(-3)$
$=> x=-4;y=-4$
TH3:
$(x+1)(y+1)=1.9$
$=> x=0;y=8$
TH4:
$(x+1)(y+1)=(-1).(-9)$
$=> x=-2;y=-10$
Nên giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2=8$

 

[deadguy]

Câu 1: Mấy anh giải thử để em tham khảo cách làm với !@@! Nhìn rối quá ! Ai thương tình thì giảng giùm mấy cái bất đẳng thức này sài như thế nào chứ nhìn riverflowsinyou1 rối quá !

 

[transformers123]

Bài 1 (Dễ) : Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{a^3+3bcd}+ \dfrac{b^3}{b^3+3cda}+ \dfrac{c^3}{c^3+3dab}+ \dfrac{d^3}{d^3+3abc} \ge 1$

câu này ko khó thật nhỉ=))
$VT \ge \sum \dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3+d^3} = \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^3+b^3+c^3+d^3} =1$
Ok)

 

[deadguy]

câu này ko khó thật nhỉ=))
$VT \ge \sum \dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3+d^3} = \dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^3+b^3+c^3+d^3} =1$
Ok)

Cái dấu :$\sum$ là gì vậy anh nó có ý nghĩa gì vậy !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

@lần thứ mấy hỏi rồi )

 

[transformers123]

Cái dấu :$\sum$ là gì vậy anh nó có ý nghĩa gì vậy !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ghi cho nó bớt mỏi tay=))(chú hỏi làm anh phải ghi hết ra()
$\sum$ anh cũng ko biết giải thích làm sao nhưng theo cách nghĩ của anh nó là kí hiểu của 1 tổng có quy luật
VD: cho $3$ số dương $a, b,c$ ta có:
$\sum a > 0$ tức là $a+b+c > 0$
hay $\sum \dfrac{1}{a} > 0$ tức là $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} > 0$
đại loại là thế=))
còn cái Cauchy-Schwarz thì theo kinh nghiệm của anh khi áp dụng nó là khi ta chứng minh tổng của các phân thức khác nhau luôn lớn hơn hoặc bằng một phân số hay 1 số khác:
Vd: cho $a, b, c > 0$, chứng minh:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$
giải
ta có:
$\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b} +\dfrac{1^2}{c} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \dfrac{9}{a+b+c}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:
$(x+1)(y+1)=9=3.3=(-3).(-3)=1.9=(-1).(-9)$
TH1:
$(x+1)(y+1)=3.3$
$=> x=2;y=2$
TH2:
$(x+1)(y+1)=(-3).(-3)$
$=> x=-4;y=-4$
TH3:
$(x+1)(y+1)=1.9$
$=> x=0;y=8$
TH4:
$(x+1)(y+1)=(-1).(-9)$
$=> x=-2;y=-10$
Nên giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2=8$

Không đúng đâu em. Bài này phải dồn về 1 biến để giải

Bung ra: $x+y+xy=8$

Áp dụng BDT Cauchy: $ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4}$

Có $8=x+y+xy \le (x+y)+\dfrac{(x+y)^2}{4} \rightarrow t^2+4t-32 \ge 0$ với $t=x+y>0$

$\leftrightarrow (t+8)(t-4) \ge 0$. Vì $t>0$ nên $t+8>0$, suy ra $t-4\ge 0$ hay $t\ge 4$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $x^2+y^2 \ge \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{t^2}{2}\ge 8$

$\text{minA}=8 \leftrightarrow \begin{cases}
x+y=4\\
x=y\\
x+y+xy=8\\
\end{cases} \leftrightarrow x=y=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Cái dấu :$\sum$ là gì vậy anh nó có ý nghĩa gì vậy !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Cái $\sum$ đọc là "Sigma" (Xích ma, đọc y như tên cây kiếm cuối của Zero trong Megaman x8 =)))

$\sum f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)=f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)+f(x_2;x_3;...;x_n;x_1)+...+f(x_{n-1};x_n;...x_{n-2})+f(x_n;x_1;...;x_{n-1})$

Ví dụ:

Với $3$ số dương $x,y,z$ thì

$\sum x=x+y+z; \sum (x+y)(y+z)=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y);$
$\sum \dfrac{x}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+ \dfrac{z}{x+y}$

Vân vân và vân vân =))

 

[deadguy]

$\sum f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)=f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)+f(x_2;x_3;...;x_n;x_1)+...+f(x_{n-1};x_n;...x_{n-2})+f(x_m;x_1;...;x_{n-1})$ Các số trong đó không cần có thứ tự gì ạ !

 

[thinhrost1]

Khoa nói đúng đấy cách làm của dead guy là giải pt nghiệm nguyên rồi !!

Bài này thấy vậy nhưng dễ lắm nè ! các bác giải thử xem:

Cho các số thực đương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z=18

Chứng minh rằng: $\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3y} \ge \dfrac{51}{7}$

Cái này mà kêu đi tìm min của $\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3y}$ thì chắc bó chân nhỉ )

 

[huynhbachkhoa23]

Khoa nói đúng đấy cách làm của dead guy là giải pt nghiệm nguyên rồi !!

Bài này thấy vậy nhưng dễ lắm nè ! các bác giải thử xem:

Cho các số thực đương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z=18

Chứng minh rằng: $\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3y} \ge \dfrac{51}{7}$

Cái này mà kêu đi tìm min của $\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3y}$ thì chắc bó chân nhỉ )

Đầu tiên thì có ai muốn làm thêm cái nhà bên toán 9 không =))

Bài này nhìn thốn mắt thật =))

Đăt $a=x;b=2y;c=3z$

Có $a+b+c=18$

$VT=\sum \dfrac{b+c+5}{1+a}=\sum \dfrac{23-a}{1+a} \ge \dfrac{-24}{49}(\sum a-18)+\dfrac{51}{7}=\dfrac{51}{7}$

 

[huynhbachkhoa23]

$\sum f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)=f(x_1;x_2;...;x_{n-1};x_n)+f(x_2;x_3;...;x_n;x_1)+...+f(x_{n-1};x_n;...x_{n-2})+f(x_n;x_1;...;x_{n-1})$ Các số trong đó không cần có thứ tự gì ạ !

Có chứ em, cứ mỗi lần hoán vị là thay $x_{k}$ bằng $x_{k+1}$ và $x_n$ bằng $x_1$

Cứ nghĩ nó là hoán vị thôi.

Cho 3 số $x,y,z$

$\sum (x-y)^2=\sum f(x;y)=f(x;y)+f(y;z)+f(z;x)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$ với $f(a;b)=(a-b)^2$

 

[huynhbachkhoa23]

Hôm qua thấy mấy bác cũng chưa biết cách làm mấy bài tìm min dạng đó, hôm nay đăng lên.

Phương pháp đó là dồn biến tìm GTLN, GTNN (không phải là giải BDT)

Dạng hôm qua là dùng tính đối xứng của biến, biến dồn thường là $S=x+y$ và $P=xy$ với $S^2 \ge 4P$.

Và lưu ý, khi dồn thì phải tìm được điều kiện chính xác nhất của biến dồn, người sử dụng phải biết tới đạo hàm.

Ví dụ: Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thoả $(x+y)^3+4xy \ge 2$. Tìm GTNN (tìm cực trị là khác nữa) của $A=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$.

Đầu tiên, khi thay $(x;y)$ bởi $(y;x)$, cả điều kiện và biểu thức vẫn không đổi. Khi nhìn vào biểu thức $A$, ta thấy $x^2+y^2$ nên hi vọng có thể dồn về $t=x^2+y^2$

Đặt $S=x+y; P=xy;$

Theo đề ra: $S^3+4P \ge 2 \rightarrow 4P \ge 2-S^3$

Luôn có: $S^2 \ge 4P \leftrightarrow S^3+S^2-2 \ge 0 \leftrightarrow (S-1)(S^2+2S+2) \ge 0 \rightarrow S \ge 1$

Đặt $t=x^2+y^2$ với $2t \ge S^2 \rightarrow t\ge \dfrac{1}{2}$ (Cauchy-Schwarz)

$A=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1-3x^2y^2 =3t^2-2t+1-3P^2\ge \dfrac{9}{4}t^2-2t+1$

Ta khảo sát hàm $f(t)=\dfrac{9}{4}t^2-2t+1$ với $t\ge \dfrac{1}{2}$

$f'(t)=\dfrac{9}{2}t-2 > 0 $ với mọi $t\ge \dfrac{1}{2}$

Hàm $f(t)$ đồng biến, suy ra $f(t) \ge f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{16}$

$\text{minA}=\dfrac{9}{16} \leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

Đây là một số bài tập đơn giản:

Bài 1: Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thoả $x^2(2x^2-1)+y^2(2y^2-1)=0$.
Tìm GTLN và GTNN của $A=x^2(x-2)(x+2)+y^2(y-2)(y+2)+2(xy-2)(xy+2)$

Bài 2: Cho $x,y \ge 0$ thoả $x+y=1$. Tìm GTLN, GTNN của $M=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy$

Bài 3: Cho $x,y,z \ge 0$ thoả $x+y+z=1$. Tìm GTLN, GTNN của $N=3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

 

[chonhoi110]

Bài 3: Cho $x,y,z \ge 0$ thoả $x+y+z=1$.
Tìm GTLN, GTNN của $N=3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Đặt $t=xy+yz+xz$

Ta có : $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+xz)=3t\Longrightarrow 0 \le t \le \dfrac{1}{3}$

Mặt khác $N= 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\ge 3.\dfrac{(xy+yz+xz)^2}{3}+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)}$

$=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}=f(t)$ (với $t \in [0; \dfrac{1}{3}]$

$f'(t) =2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}$

$f"(t)=2-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}} <0$ với mọi $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \Longrightarrow f'(t)$ nghịch biến

$ \Longrightarrow f'(t) \ge f'( \dfrac{1}{3})=\dfrac{11}{3}-2\sqrt{3} >0 \Longrightarrow f(t) $ đồng biến $\Longrightarrow f(t) \ge f(0)$

Xong rồi đấy )