Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Cái dấu $\sum$ có nghĩa là gì để em giải chung cho vui !!

$\sum$ đọc là xích - ma

$\sum f(a,b,c,...)$ nào đó có nghĩa là tổng hàm hoán vị các biến:

Ví dụ đối với 3 số.

$\sum x = x+y+z; \sum xy= xy+yz+zx; \sum \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Bài trên nghĩa là:

$2(\dfrac{x^2}{x^2+(y+z)^2}+\dfrac{y^2}{y^2+(z+x)^2}+\dfrac{z^2}{z^2+(x+y)^2})$

 

[evilfc]

nè các bác

áp dụng BDT svác-xơ ta có: A=$\dfrac{2x^2}{x^2+(y+z)^2}+\dfrac{2y^2}{y^2+(x+z)^2}+\dfrac{2z^2}{z^2+(x+y)^2}$\geq$2(\dfrac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)+2xy+2xz+2yz}
áp dụng BDT $x^2+y^2+z^2$\geqxy+yz+xz
ta có A\geq$\dfrac{(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)}$
áp dụng BDT $3(x^2+y^2+z^2)\geq(x+y+z)^2$
\RightarrowA\geq$\dfrac{6}{5}$

 

[huynhbachkhoa23]

áp dụng BDT svác-xơ ta có: A=$\dfrac{2x^2}{x^2+(y+z)^2}+\dfrac{2y^2}{y^2+(x+z)^2}+\dfrac{2z^2}{z^2+(x+y)^2}$\geq$2(\dfrac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)+2xy+2xz+2yz}
áp dụng BDT $x^2+y^2+z^2$\geqxy+yz+xz
ta có A\geq$\dfrac{(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)}$
áp dụng BDT $3(x^2+y^2+z^2)\geq(x+y+z)^2$
\RightarrowA\geq$\dfrac{6}{5}$

Ngược dấu bước cuối. =))
........................

 

[evilfc]

mình thấy vẫn đúng mà chỉ rõ ra giùm mình đi
__________________________________________________________

 

[huynhbachkhoa23]

mình thấy vẫn đúng mà chỉ rõ ra giùm mình đi
__________________________________________________________

Có phải là theo Cauchy-Schwarz có $3(\sum x^2) \ge (\sum x)^2$ không

Thế vào thì tử số = $(\sum x)^2 \le 3(\sum x^2)$ nên cả biểu thức mang dấu $\le$

 

[evilfc]

àk, sao bạn ông thế theo chiều ngược lại,thử thay vào mẫu số đấy

 

[huynhbachkhoa23]

àk, sao bạn ông thế theo chiều ngược lại,thử thay vào mẫu số đấy

Nói chung BDT cuối của bạn đã nhỏ hơn hoặc bằng $\dfrac{6}{5}$ thì có tử mẫu gì cũng nhỏ hơn $\dfrac{6}{5}$ thôi, đừng cố gắng, quay lại 1,2 bước thử, mình mò này giờ chưa ra.

 

[su10112000a]

Hai bài hay và cực khó, bác nào giải được cũng cỡ thánh rồi )
Chứng minh với mọi số thực a,b,c:
$$a) a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3 \ge 2(a^3b+b^3c+c^3b)$$

áp dụng Cauchy 6 số:
$\sum a^4 + a^4 + a^4 + a^4 +ab^3 + ab^3 \ge \sum 6a^3b$
\Rightarrow$4a^4 + 4b^4 + 4c^4 +2ab^3 + 2bc^3 + 2ca^3 \ge 6(a^3b + b^3c + c^3a)$
\Rightarrow$2a^4 + 2b^4 + 2c^4 +ab^3 + bc^3 + ca^3 \ge 3(a^3b + b^3c + c^3a)$
áp dung bđt: $a^4 + b^4 + c^4 \ge a^3b + b^3c + c^3a$, ta có:
$2a^4 + 2b^4 + 2c^4 +ab^3 + bc^3 + ca^3 - a^4 - b^4 -c^4 \ge 3(a^3b + b^3c + c^3a) - a^3b- b^3c - c^3a$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$
câu b kì dị quá nhường bác khác=))

 

[huy14112]

Hai bài hay và cực khó, bác nào giải được cũng cỡ thánh rồi )

Chứng minh với mọi số thực a,b,c:

$$a) a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3 \ge 2(a^3b+b^3c+c^3b)$$

$$b) 3(a^4+b^4+c^4) \ge 4(a^3b+b^3c+c^3b)$$

$$c) (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Ai chém được 3 câu này xin bái làm thánh )

What ??? câu b nếu $a=b=c=1$ thì sao ...................................................................

 

[su10112000a]

thêm câu này (rất dễ=)))
cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
$a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
P/s: đã sửa

 

[riverflowsinyou1]

thêm câu này (rất dễ=)))
cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
$a^2 + b^2 + c^2 \le 2(ab + bc + ca)$

)
$a+b<c$ \Leftrightarrow $ac+bc<c^2$ tương tự \Rightarrow đpcm

 

[huy14112]

thêm câu này (rất dễ=)))
cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
$a^2 + b^2 + c^2 \le 2(ab + bc + ca)$

Theo bđt tam giác có : $a<b+c$

$\rightarrow a^2 < ab+ac$

Thành lập các bđt tương tự cộng các vế ta có điều phải cm

P/s : có dấu = ko nhỉ ?

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c>0$ . C/m :
$\sum \frac{a^4}{b^3(c+2a)} \ge 1$

 

[huy14112]

Cho $a,b,c>0$ . C/m :
$\sum \frac{a^4}{b^3(c+2a)} \ge 1$

$$c) (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Bài này tương đương với bài của cu Thịnh nè nhưng chỉ khác ở chỗ $a,b,c > 0$

 

[su10112000a]

thêm bài này (lại rất dễ=)))
Cho $a, b, c > 0$, Chứng minh:
$\sum \dfrac{1}{a(a+b)} \ge \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}$

 

[huynhbachkhoa23]

thêm bài này (lại rất dễ=)))
Cho $a, b, c > 0$, Chứng minh:
$\sum \dfrac{1}{a(a+b)} \ge \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}$

Luôn là Cauchy-Schwarz và $\sum a^2 \ge \sum ab$: =))

$VT \ge VP \;\;\;\mathfrak{(dpcm)}$

 

[thinhrost1]

What ??? câu b nếu $a=b=c=1$ thì sao ...................................................................

Thì dấu bằng đâu xảy ra khi $a=b=c=1$ đâu

áp dụng Cauchy 6 số:
$\sum a^4 + a^4 + a^4 + a^4 +ab^3 + ab^3 \ge \sum 6a^3b$
\Rightarrow$4a^4 + 4b^4 + 4c^4 +2ab^3 + 2bc^3 + 2ca^3 \ge 6(a^3b + b^3c + c^3a)$
\Rightarrow$2a^4 + 2b^4 + 2c^4 +ab^3 + bc^3 + ca^3 \ge 3(a^3b + b^3c + c^3a)$
áp dung bđt: $a^4 + b^4 + c^4 \ge a^3b + b^3c + c^3a$, ta có:
$2a^4 + 2b^4 + 2c^4 +ab^3 + bc^3 + ca^3 - a^4 - b^4 -c^4 \ge 3(a^3b + b^3c + c^3a) - a^3b- b^3c - c^3a$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$
câu b kì dị quá nhường bác khác=))

Bạn không nghe mình nói rõ rồi nhỉ ? "Các số thực"

Bài này tương đương với bài của cu Thịnh nè nhưng chỉ khác ở chỗ $a,b,c > 0$

Ừk
Bài của ta thì tổng quát hơn ấy

Nếu đến mai không có thánh nào đưa lời giải thì mình sẽ post đáp án lên cho mn

 

[huy14112]

Thì dấu bằng đâu xảy ra khi $a=b=c=1$ đâu



Bạn không nghe mình nói rõ rồi nhỉ ? "Các số thực"

Ừk
Bài của ta thì tổng quát hơn ấy

Nếu đến mai không có thánh nào đưa lời giải thì mình sẽ post đáp án lên cho mn

Nhưng cu phải hiểu là nó ngược dấu chứ
.........................................

 

[huynhbachkhoa23]

Thì dấu bằng đâu xảy ra khi $a=b=c=1$ đâu



Bạn không nghe mình nói rõ rồi nhỉ ? "Các số thực"

Ừk
Bài của ta thì tổng quát hơn ấy

Nếu đến mai không có thánh nào đưa lời giải thì mình sẽ post đáp án lên cho mn

Các số thực, nhưng khai căn không có vấn đề.........................................................

 

[riverflowsinyou1]

Cái bài quốc gia đó mấy đứa nó nói là Min=$\sqrt{6}+\sqrt{8}$ \Leftrightarrow $x=y=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ mà cái này dùng đạo hàm thôi bỏ qua tại vì đây là box lớp 8.