Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[su10112000a]

Vãi cả VMF ) thư giãn chút
Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=2$. C/m
$x^2y^2(x^2+y^2) \le 2$

AD Cauchy, ta c/m đc $xy \le 1$
\Rightarrow$x^2y^2 \le xy \le 1$
suy ra: $x^2y^2(x^2+y^2) \le xy(x^2+y^2)$
giờ chỉ cần c/m $xy(x^2+y^2) \le 2$
cái đó đã giải tại đây=)):http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=365699

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a+b>1$ chứng minh $a^4+b^4> \frac{1}{8}$........................ |

 

[su10112000a]

Cho $a+b>1$ chứng minh $a^4+b^4> \frac{1}{8}$........................ |

lâu rồi mới có bài dễ=)):
AD Schwars, ta có:
$a^4+b^4 \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge \dfrac{(a+b)^4}{4} . \dfrac{1}{2}$
suy ra:$\mathfrak{dpcm}$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho $a+b>1$ chứng minh $a^4+b^4> \frac{1}{8}$........................ |

Theo Holder ta có $VT \ge \dfrac{(a+b)^4}{2^3} >\dfrac{1}{8}\mathfrak{(dpcm)}$|..................................................................

 

[ronaldover7]

Vãi cả VMF ) thư giãn chút
Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=2$. C/m
$x^2y^2(x^2+y^2) \le 2$

\Rightarrow $x^2y^2(x^2+y^2) =$x^2y^2(4-2xy) \leq 2
\Rightarrow 4-2xy \leq $\frac{2}{x^2y^2}$
\Rightarrow 4 \leq $\frac{2}{x^2y^2}+2xy$
Ta có: $\frac{2}{x^2y^2}+2xy$ \geq 4$\frac{1}{\sqrt{xy}}$
Mà xy \leq 1(CM dễ) \Rightarrow $\frac{1}{\sqrt{xy}}$\geq 1 \Rightarrow 4$\frac{1}{\sqrt{xy}}$ \Rightarrow 4
\Rightarrow dpcm

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a+b+c+d=64$ và $a,b,c,d>0$.
Tìm Min của $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}+\frac{16}{d}$

 

[su10112000a]

một số bài tập bđt k khó=)):
bài 1:Cho $a, b, c > 0$, chứng minh:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca} + \dfrac{c}{ab} \ge 2(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c})$
bài 2: C/m với mọi $a, b, c, d$ ta luôn có:
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 \ge a + b + c + d$
quá khó=))
P/s: nhầm, bài bác Khoa đúng rồi, giờ các bác giải lại bài 1 vậy

 

[huynhbachkhoa23]

một số bài tập bđt k khó=)):
bài 1:Cho $a, b, c > 0$, chứng minh:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca} + \dfrac{c}{ab} \ge 2(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$
bài 2: C/m với mọi $a, b, c, d$ ta luôn có:
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 \ge a + b + c + d$
quá khó=))

Bài 1: Cái đề sao thế nhỉ

$\sum \dfrac{a}{bc} = \sum \dfrac{a^2}{abc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3abc} \ge \dfrac{\sum ab}{abc}=\sum \dfrac{1}{a}$

Số 2 lòi đâu ra thế =))

Bài 2:

$\sum a^2 - \sum a +1 \ge 0$

$\leftrightarrow \sum (a-\dfrac{1}{2})^2 \ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$

Bài kkhó của bác, em mà làm được là biết dễ rồi =))

 

[huynhbachkhoa23]

Cho $a+b+c+d=64$ và $a,b,c,d>0$.
Tìm Min của $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{c}+\frac{16}{d}$

Cauchy-Schwarz:

$A \ge \dfrac{(6+\sqrt{3})^2}{\sum a} = \dfrac{39+12\sqrt{3}}{64}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\dfrac{c\sqrt{3}}{3}=\dfrac{d}{4}$

 

[su10112000a]

một số bài tập bđt k khó=)):
bài 1:Cho $a, b, c > 0$, chứng minh:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca} + \dfrac{c}{ab} \ge 2(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c})$

ta có:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca} + \dfrac{c}{ab} \ge 2(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c})$
\Rightarrow$a^2+b^2+c^2 \ge 2(bc+ac-ba)$
\Rightarrow$(a+b-c)^2 \ge 2$ (luôn đúng)

 

[ronaldover7]

ta có:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca} + \dfrac{c}{ab} \ge 2(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c})$
\Rightarrow$a^2+b^2+c^2 \ge 2(bc+ac-ba)$
\Rightarrow$(a+b-c)^2 \ge 2$ (luôn đúng)

Hình như mới sửa đề___________________Thấy cum~ vui các bác cho e tham gai vs nha!

 

[su10112000a]

C/m với mọi số thực dương$x, y, z$ ta có:
$\dfrac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)} \le \dfrac{3+\sqrt{3}}{9}$

 

[riverflowsinyou1]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác không tù.Chứng minh:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \ge \frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác không tù.Chứng minh:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \ge \frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}$

$VT \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}{a^2+b^2+c^2}>\dfrac{2(x^2+y^2+z^2)}{a^2+b^2+c^2}$

Không có dấu bằng =))

 

[ronaldover7]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác không tù.Chứng minh:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \ge \frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}$

Nhân chéo ra : $x^2+y^2+z^2$+$\frac{a^2}{b^2}y^2$+$\frac{a^2}{c^2}z^2$+$\frac{b^2}{a^2}y^2$+$\frac{b^2}{c^2}y^2$+$\frac{c^2}{a^2}y^2$+$\frac{c^2}{b^2}y^2$
Lại có: $\frac{a^2}{b^2}y^2$+$\frac{c^2}{b^2}y^2$ \geq $y^2$(Áp dụng $a^2+b^2$ \geq $c^2$ (do ko tù)
CMTT \Rightarrow dpcm

 

[vansang02121998]

C/m với mọi số thực dương$x, y, z$ ta có:
$\dfrac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)} \le \dfrac{3+\sqrt{3}}{9}$

$A=\dfrac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+xz+yz)}$

$xy+xz+yz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\sqrt[3]{xyz} \le \sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}$

$x+y+z \le \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Rightarrow A \le \dfrac{\sqrt[3]{xyz}(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Rightarrow A \le \dfrac{\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}(\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{3(x^2+y^2+z^2)}= \dfrac{3+\sqrt{3}}{9}$

 

[vansang02121998]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{2x^2+x+8}$

Minkowsky của bác đâu bác Khoa )

p/s: nhầm rồi cái này áp dụng không được =))

Các bác cứ đùa em

$P=\sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{x^2-x+7+(x+1)^2}\ge \sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{x^2-x+7}$

Mincopxki chứ ạ

@thinhrost1:

 

[su10112000a]

lại thêm 1 câu k khó=)):
Cho 3 số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

 

[huynhbachkhoa23]

Các bác cứ đùa em

$P=\sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{x^2-x+7+(x+1)^2}\ge \sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{x^2-x+7}$

Mincopxki chứ ạ

@thinhrost1:

$\sqrt{(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}}+\sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{27}{4}} \ge \sqrt{40}$

Dấu bằng khi $\dfrac{\dfrac{1}{2}-x}{x+\dfrac{3}{2}}=9$

Nhưng kết quả lại ra là $P \ge 4$

Không biết ai sai nhỉ =))

 

[riverflowsinyou1]

Thôi chịu mấy bác chăm học quá em cứ chăm thẩm du hoài à )
Cho $a,b,c>0$
C/m $\sum \frac{a^3}{b} \ge \sum ab$

ronaldove:chú càng lúc càng ra đàn ông nhỉ!

Vâng, bác rất là đàn ông =))