Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác. C/m
$\sum \frac{a^3}{b^2} \ge \frac{a}{c}(a+b-c)+\frac{c}{b}(c+a-b)+\frac{b}{a}(b+c-a)$

 

[su10112000a]

mấy bác toàn dưa bài khó trong khi em toàn đưa bài dễ, thiệt k công bằng=))
giờ đến lượt em đưa bài khó=)):
câu 1:
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \ge 6$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b+c}} \ge \dfrac{3\sqrt{17}}{2}$
câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$
những bài cực hay và cực khó=))
P/s:chưa có đáp án cho câu 2 và 3, câu 3 thầy mình bảo bó tay=))

 

[riverflowsinyou1]

mấy bác toàn dưa bài khó trong khi em toàn đưa bài dễ, thiệt k công bằng=))
giờ đến lượt em đưa bài khó=)):
câu 1:
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \ge 6$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b+c}} \ge \dfrac{3\sqrt{17}}{2}$
câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$
những bài cực hay và cực khó=))
P/s:chưa có đáp án cho câu 2 và 3, câu 3 thầy mình bảo bó tay=))

Câu 1 giải rồi ..................................................................

 

[su10112000a]

Câu 1 giải rồi ..................................................................

giải ở đâu vậy bác , em tìm ko thấy=)).........................................................................

 

[thinhrost1]

Hai bài hay và cực khó, bác nào giải được cũng cỡ thánh rồi )

Chứng minh với mọi số thực a,b,c:

$$a) a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3 \ge 2(a^3b+b^3c+c^3b)$$

$$b) 3(a^4+b^4+c^4) \ge 4(a^3b+b^3c+c^3b)$$

$$c) (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Ai chém được 3 câu này xin bái làm thánh )

Bây giờ topic này như là cái đấu trường dành cho "trẩu" thi thố nhỉ )

$a)a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3-2(a^3b+b^3c+c^3b)=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2+bc-ba)^2+\dfrac{1}{2}(b^2-c^2+ca-cb)^2+\dfrac{1}{2}(c^2-a^2+ab-ac)^2 \ge0$

$b) 3(a^4+b^4+c^4)-4(a^3b+b^3c+c^3b)=\dfrac{1}{7}(4a^2-2b^2-c^2+2ac+4ab)^2+\dfrac{1}{7}(4b^2-2c^2-a^2+2ba+4bc)^2+\dfrac{1}{7}(4c^2-2a^2-b^2+2cb+4cb)^2\ge 0$

$c) (a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a)=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2+2bc-ab-ac)^2+\dfrac{1}{2}(b^2-c^2+2ac-bc-ba)^2+\dfrac{1}{2}(c^2-a^2+2ba-ac-cb)^2 \ge0$

Đến giờ vẫn còn rất choáng @@

 

[thinhrost1]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{2x^2+x+8}$

Minkowsky của bác đâu bác Khoa )

p/s: nhầm rồi cái này áp dụng không được =))

 

[ronaldover7]

Bây giờ topic này như là cái đấu trường dành cho "trẩu" thi thố nhỉ )

$a)a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3-2(a^3b+b^3c+c^3b)=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2+bc-ba)^2+\dfrac{1}{2}(b^2-c^2+ca-cb)^2+\dfrac{1}{2}(c^2-a^2+ab-ac)^2 \ge0$

$b) 3(a^4+b^4+c^4)-4(a^3b+b^3c+c^3b)=\dfrac{1}{7}(4a^2-2b^2-c^2+2ac+4ab)^2+\dfrac{1}{7}(4b^2-2c^2-a^2+2ba+4bc)^2+\dfrac{1}{7}(4c^2-2a^2-b^2+2cb+4cb)^2\ge 0$

$c) (a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a)=\dfrac{1}{2}(a^2-b^2+2bc-ab-ac)^2+\dfrac{1}{2}(b^2-c^2+2ac-bc-ba)^2+\dfrac{1}{2}(c^2-a^2+2ba-ac-cb)^2 \ge0$

Đến giờ vẫn còn rất choáng @@

Thật sự e mới chém dc 2 câu đầu mà nhìn lại câu 3 e vẫn còn sợ______________________

@thinhrost1: Dữ thế mình thì không chém được câu tẹo nào =))

 

[huynhbachkhoa23]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{x^2+3x+3}+\sqrt{2x^2+x+8}$

Minkowsky của bác đâu bác Khoa )

Con lại bác $2x^2$ với $x^2$ sao mà min

Cách hay nhất vẫn là Wolfram Alpha =))

Lấy máy bấm được $x=-1$ là cực tiểu :|

 

[thinhrost1]

Con lại bác $2x^2$ với $x^2$ sao mà min

Cách hay nhất vẫn là Wolfram Alpha =))

Lấy máy bấm được $x=-1$ là cực tiểu :|

Chuẩn min nó là $4$ khi $x=-1$ Cái đó áp dụng minkovsky đc đấy chứ nhân 2 vào thử đi

 

[riverflowsinyou1]

mấy bác toàn dưa bài khó trong khi em toàn đưa bài dễ, thiệt k công bằng=))
giờ đến lượt em đưa bài khó=)):
câu 1:
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \ge 6$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{a^2 + \dfrac{1}{b+c}} \ge \dfrac{3\sqrt{17}}{2}$
câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:
$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \ge abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$
câu 3:
Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}} \ge \sqrt[32]{xyz}$
những bài cực hay và cực khó=))
P/s:chưa có đáp án cho câu 2 và 3, câu 3 thầy mình bảo bó tay=))

không mất tính tổng quát ta giả sử $\sum ab^{2}\ge \sum a^{2}b$
Từ đó ta sẽ đưa bài toán về chứng minh $\sum a^{2}b \ge abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
Sử dụng BĐT AM-GM ta có $abc \le \frac{\sum a^{2}b}{3}$
$\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}=\sqrt[3]{b(a^{2}+bc)c(b^{2}+ac)a(c^{2}+ab)} \le \frac{b(a^{2}+bc)+c(b^{2}+ac)+a(c^{2}+ab)}{3}= \frac{2 \sum a^{2}b}{3}$
cộng lần lượt 2 vế của BĐT ta được dpcm
dấu bằng xảy ra tương đương với a=b=c
P/s: bài này của Korean MO năm 2001

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a+b=1$. C/m
$\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{1+b} \ge \frac{1}{3}$
C/m $(1+a:b)^n+(1+b:a)^n \ge 2^{n+1}$ \forall $n \in N^*, a,b>0$

 

[huynhbachkhoa23]

Mấy bác toàn đăng bài khó =))

Trình em kém lâu lâu mới làm được vài bài =))

Bài 1:

Cauchy-Schwarz là ra ngay =)): $VT \ge \dfrac{(a+b)^2}{2+(a+b)}=\dfrac{1}{3}$

Bài 2:

Holder với Cauchy cũng ra :| :

$VT \ge \dfrac{(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^n}{2^{n-1}}\ge \dfrac{4^{n}}{2^{n-1}}=\dfrac{2^{2n}}{2^{n-1}}=2^{n+1}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c \in R^+$
C/m $(\sum a).(\sum \frac{1}{\sqrt{b+2a}}) \le 2$

 

[riverflowsinyou1]

1) Tim min $K=\frac{1-4.\sqrt{x}}{2x+1}+\frac{-2x}{x^2+1}$
2) Cho $x>1$. C/m :
$2.(x^3-\frac{1}{x^3}) > 3.(x^2-\frac{1}{x^2})$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $x,y>0$ sao cho $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1) \ge 4$
Tìm MIN : $A=\sum \frac{x^2}{y}$

 

[demon311]

Cauchy thuần tuý

$xy \ge 1 \\
A \ge 2\sqrt{ xy} \ge 2$

Dấu bằng: $x=y=1$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c>0$ sao cho $x+y+z=1$
C/m $\sum \sqrt{x+y^2} \ge 2$

 

[riverflowsinyou1]

2) Cho $x>1$. C/m :
$2.(x^3-\frac{1}{x^3}) > 3.(x^2-\frac{1}{x^2})$

VT-VP= $2(x^{3}-\frac{1}{x^{3}})-3(x^{2}-\frac{1}{x^{2}})=2(x-\frac{1}{x})(x^{2}+1+\frac{1}{x^2})-3(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$
$=(x-\frac{1}{x})(2x^2+2+\frac{2}{x^2}-3x-\frac{3}{x})$
Vì x>1 nên $x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}>0$
Và $2x^2+2+\frac{2}{x^2}-3x-\frac{3}{x}=\frac{2x^4+2x^2+2-3x^3-3x}{x^2}=\frac{(x-1)(2x^3-x^2+x-2)}{x^2}=\frac{(x-1)^{2}(2x^2+x+2)}{x^2}>0$
Vậy VT>VP (đpcm)

 

[thinhrost1]

2) Cho $x>1$. C/m :
$2.(x^3-\frac{1}{x^3}) > 3.(x^2-\frac{1}{x^2})$

Câu 2) Vì x > 1 nên BĐT $3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )<2\left ( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+1 \right )$

Ta đặt $x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow (t-2)(2t+1)>0$ đúng vì x > 1 nên t > 2

 

[riverflowsinyou1]

Câu 2) Vì x > 1 nên BĐT $3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )<2\left ( x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+1 \right )$

Ta đặt $x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow (t-2)(2t+1)>0$ đúng vì x > 1 nên t > 2

Vãi cả VMF ) thư giãn chút
Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=2$. C/m
$x^2y^2(x^2+y^2) \le 2$