Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Cho các số thực a,b,c,d sao cho : a+b+c+d=2
CMR: $a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \ge 1$

$\color{red}{\sum a^2 \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4}}=1$................................................

@Sẵn thì cm khúc đỏ đi ) ( chứng minh xong xóa dùm nha ) mặc dù đã biết cm =)))
@khoa: Khúc nào sủa =))

 

[riverflowsinyou1]

$\sum a^2 \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4}=1$................................................

@Sẵn thì cm khúc đỏ đi ) ( chứng minh xong xóa dùm nha ) mặc dù đã biết cm =)))

Cho $x+4y=5$. Tìm GTNN của $A=4(x^2+y^2)$................................

 

[huynhbachkhoa23]

Cho $x+4y=5$. Tìm GTNN của $A=4(x^2+y^2)$................................

$A=4(x^2+\dfrac{16y^2}{16}) \ge \dfrac{4(x+4y)^2}{17}=\dfrac{100}{17}$

$m(A)=\dfrac{100}{17} \leftrightarrow x=\dfrac{5}{17}; y=\dfrac{20}{17}$

Đúng không? =))

 

[su10112000a]

$\sum a^2 \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4}=1$................................................

@Sẵn thì cm khúc đỏ đi ) ( chứng minh xong xóa dùm nha ) mặc dù đã biết cm =)))
@khoa: Khúc nào sủa =))

cái gì vậy mấy bác cái này cần c/m gì=)):
$\sum a^2 = \sum \dfrac{a^2}{1} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{4}$
Suy ra: $\mathfrak{dpcm}$

 

[thinhrost1]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=364346 qua đây chém nè, cái này k sử dụng được bunhia hay cauchy đâu, bởi dấu đẳng thức xảy ra khi hoán vị a=b=1, c=0 hoặc a=b=-1, c=0, nhưng k biết cách chứng minh =))

 

[baochauhn1999]

Cho các số thực a,b,c,d sao cho : a+b+c+d=2
CMR: $a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \ge 1$

Áp dụng BĐT Bu-nhia-cop-sky với bộ $4$ số: $a;b;c;d$ và $1;1;1;1;$ ta có:
$(a+b+c+d)^2$\leq$(1+1+1+1)(a^2+b^2+c^2+d^2)$
$<=>2^2$\leq$4(a^2+b^2+c^2+d^2)$
$<=>1$\leq$a^2+b^2+c^2+d^2$ ĐPCM
$"="$ $<=>a=b=c=d=\frac{1}{2}$

 

[su10112000a]

em góp 1 bài vậy:
Chứng minh rằng: $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \ge -1$

 

[riverflowsinyou1]

em góp 1 bài vậy:
Chứng minh rằng: $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \ge -1$

$VT=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
Đặt $x^2-5x+5=a$
\Rightarrow $VT=(a-1)(a+1)=a^2-1 \ge -1$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c \ge 0$ sao cho $a+b+c=3$.
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{1}{(a+b)^2+6}$

 

[su10112000a]

Cho $a,b,c \ge 0$ sao cho $a+b+c=3$.
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{1}{(a+b)^2+6}$

khó quá, khúc cuối toàn ngược dấu, nhường bác khác giải=))
giờ thì em đăng bài dễ xơi hơn vậy:
Cho $x, y , z$ là số dương. Chứng minh:
$\dfrac{x^3}{yz} + \dfrac{y^3}{xz} + \dfrac{z^3}{xy} \ge x+y+z$

 

[huynhbachkhoa23]

khó quá, khúc cuối toàn ngược dấu, nhường bác khác giải=))
giờ thì em đăng bài dễ xơi hơn vậy:
Cho $x, y , z$ là số dương. Chứng minh:
$\dfrac{x^3}{yz} + \dfrac{y^3}{xz} + \dfrac{z^3}{xy} \ge x+y+z$

Dễ quá =))

Nhìn là biết phang Cauchy-Schwarz hoặc Cauchy =)):

$VT=\dfrac{1}{xyz}(\sum x^4) \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{3xyz} \ge \dfrac{9(\sum x^2)^2}{(\sum x)^3} \ge \dfrac{(\sum x)^4}{(\sum x)^3}=VP$

Bác giống em, lúc ngược dấu lúc đầu, lúc thì lúc cuối =))

 

[thinhrost1]

Dễ quá =))

Nhìn là biết phang Cauchy-Schwarz hoặc Cauchy =)):

$VT=\dfrac{1}{xyz}(\sum x^4) \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{3xyz} \ge \dfrac{9(\sum x^2)^2}{(\sum x)^3} \ge \dfrac{(\sum x)^4}{(\sum x)^3}=VP$

Bác giống em, lúc ngược dấu lúc đầu, lúc thì lúc cuối =))

Thanh niên cứng )
Làm thử đề thi học sinh giỏi QG xem:
Tìm min:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

p/s: chưa có đáp án nha @@

 

[huynhbachkhoa23]

Thanh niên cứng )
Làm thử đề thi học sinh giỏi QG xem:
Tìm min:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

p/s: chưa có đáp án nha @@

Tìm $M(x,y)$ sao cho tổng cách khoảng cách:

$d(M;(-1;1))+d(M;(1;-1))+d(M;(-2;-2))$ bé nhất. Bác nói chưa có đáp án thì mò bằng đồ thị xem thử =))

Kết quả chắc là trọng tâm tam giác =)) nhưng *** biết chứng minh :|
Hoặc có thể là tâm đường tròn ngoại tiếp =))

Nếu làm được bài này. chúng ta đã giải được 1 bài quốc gia.

 

[su10112000a]

Thanh niên cứng )
Làm thử đề thi học sinh giỏi QG xem:
Tìm min:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

p/s: chưa có đáp án nha @@

khó quá, chỉ c/m đc đến:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2} \ge \dfrac{3x+3y+4}{\sqrt{2}}$
là em bí rồi, thôi lại nhường bác khác giải=))
thấy bác thinhrost1 bí cái chắc rồi bởi cái dòng P/s mà=))

 

[huy14112]

Thanh niên cứng )
Làm thử đề thi học sinh giỏi QG xem:
Tìm min:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

p/s: chưa có đáp án nha @@

Em có nghĩ ra 1 cách nhưng vì bài này quốc gia nên thật sự ếu chắc chắn =))

$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

$=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4}[(x+2)^2+(y+2)^2]}$

$=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+2\sqrt{(\dfrac{x}{2}+1)^2+(\dfrac{y}{2}+1)^2]}$

Áp dụng bđt mincovsky có :

$P \ge \sqrt{(\dfrac{3x}{2}+2)^2+(\dfrac{3y}{2})^2}+\sqrt{(\dfrac{3y}{2}+2)^2+(\dfrac{3x}{2})^2}\ge \sqrt{8}$

 

[su10112000a]

Em có nghĩ ra 1 cách nhưng vì bài này quốc gia nên thật sự ếu chắc chắn =))

$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

$=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4}[(x+2)^2+(y+2)^2]}$

$=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+2\sqrt{(\dfrac{x}{2}+1)^2+(\dfrac{y}{2}+1)^2]}$

Áp dụng bđt mincovsky có :

$P \ge \sqrt{(\dfrac{3x}{2}+2)^2+(\dfrac{3y}{2})^2}+\sqrt{(\dfrac{3y}{2}+2)^2+(\dfrac{3x}{2})^2}\ge \sqrt{8}$

em có cách khác đáp án giống anh (1 là anh và em đúng, 2 là sai=)))
ta có:
$P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$
\Leftrightarrow$P \ge \sqrt{\dfrac{(x+1+y-1)^2}{2}} + \sqrt{\dfrac{(x-1+y+1)^2}{2}} + \sqrt{\dfrac{(x+y+2+2)^2}{2}}$
\Leftrightarrow$P \ge 2\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}} + \sqrt{\dfrac{(x+y+4)^2}{2}}$
đến đây biện luận GTNN của $2\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}}$ là $0$ khi $x+y=0$
\Rightarrow$P \ge 0 + \sqrt{\dfrac{(0+4)^2}{2}}$
\Rightarrow$P \ge \dfrac{4}{\sqrt{2}}$

 

[demon311]

Anh nghi là sai vì anh thử máy tính thì các kết quả đều trên 5
su với huy có điều kiện dấu bằng không?

 

[riverflowsinyou1]

Thử bài này
Cho $x,y.z,t$ sao cho $(x+y)(z+t)+xy+88=0$. Tìm Min
$x^2+9y^2+6z^2+24t^2$

 

[su10112000a]

Thử bài này
Cho $x,y.z,t$ sao cho $(x+y)(z+t)+xy+88=0$. Tìm Min
$x^2+9y^2+6z^2+24t^2$

ta có:
$(x+y)(z+t)+xy+88=0$
\Leftrightarrow$4(x+y)(z+t)+4xy=-352$
ta có:
$x^2+9y^2+6z^2+24t^2+4(x+y)(z+t)+4xy$
$=x^2+9y^2+24t^2+6z^2+4xy+4xt+4xy+4yz+4yt$
$=x^2+4x(y+z+t)+4(y+z+t)^2+4y^2-4yz+z^2+z^2-8zt+16t^2+y^2-4yt+4t^2$
$=[x+(y+z+t)]^2+(2y-z)^2+(z-4t)^2+(y-2t)^2$
\Rightarrow$x^2+9y^2+6z^2+24t^2+4(x+y)(z+t)+4xy \ge 0$
\Rightarrow$x^2+9y^2+6z^2+24t^2 \ge 352$
dấu "=" xảy ra khi ($x; y; z; t$) bằng ($14;-2;-4;-1$) hoặc ($-14;2;4;1$)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài quốc gia, mình có ý kiến như thế này.

Nếu giải được bài hình này: "Tam giác ABC nhọn. Tìm vị trí điểm M trong tam giác ABC sao cho tổng MA+MB+MC là nhỏ nhất". Thì giải xong đề đó .

Bài này em ra $\text{minP=}\dfrac{15\sqrt{2}}{4} \leftrightarrow x=y=\dfrac{-3}{4}$