Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

Chú chơi được làm anh chấp ).
Cho a,b,c>0. C/m $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ \leq 1

 

[huynhbachkhoa23]

Chú chơi được làm anh chấp ).
Cho a,b,c>0. C/m $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ \leq 1

Quá khó =))
Nhường cho bạn khác =))

P/s: Sử dụng nick cũ, nick mới là tensa_zangetsu

...........................................

 

[eye_smile]

Đóng góp:
$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}=6$

Tìm GTNN của tổng $a+b$

AD Cauchy-Schwarz, có:
$(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b})(a+b)$ \geq ${(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}$

\Rightarrow Min $a+b=...$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}=6$
và $\dfrac{\sqrt{2}}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{b}$

 

[riverflowsinyou1]

Vâng bài hơi khó :
$\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ \leq $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2}}=\sum \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

 

[su10112000a]

mấy chú toàn đưa bài cao, phải phù hợp với lớp 8 chứ

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: $a^2+b^2+c^2$=$3$.
Chứng minh rằng:$\frac{a}{(b+c)^2}$ + $\frac{b}{(c+a)^2}$ + $\frac{c}{(a+b)^2}$\geq $\frac{3}{4}$

 

[huynhbachkhoa23]

Vâng bài hơi khó :
$\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ \leq $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2}}=\sum \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

Em vẫn chưa hiểu bước đầu cho lắm, anh giải thích kỹ hơn đi =))

 

[huy14112]

Em vẫn chưa hiểu bước đầu cho lắm, anh giải thích kỹ hơn đi =))

Dễ hiểu mà bác .

chỉ cần chứng minh cái đoạn $(a+b)(a+c) \ge (\sqrt{ab}+\sqrt{bc})^2$

 

[riverflowsinyou1]

Dễ hiểu mà bác .

chỉ cần chứng minh cái đoạn $(a+b)(a+c) \ge (\sqrt{ab}+\sqrt{bc})^2$

C/m cái gì nữa ) $(a+b)(a+c) \ge (\sqrt{ab}+\sqrt{bc})^2$ cái này theo bất đẳng thức Buhia mà .

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a^2+b^2+c^2=3$.C/m:
$\sum \sqrt{\frac{a^2+b+c}{b^2+a+c^2}}$ \geq $1+\frac{2.\sum a}{3}$

 

[phuong_july]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: $a^2+b^2+c^2$=$3$.
Chứng minh rằng:$\frac{a}{(b+c)^2}$ + $\frac{b}{(c+a)^2}$ + $\frac{c}{(a+b)^2}$\geq $\frac{3}{4}$

Dễ chứng minh được: $\sum a^2$ \geq $\sum a$ \Rightarrow $\sum a$ \leq 3.
Áp dụng BDT Cauchuy-Schwarz, ta có:
$(\sum a)(\sum \frac{a}{(b+c)^2})$ \geq $(\sum \frac{a}{b+c})^2$
Áp dụng BDT Nesbitt thì: $(\sum \frac{a}{b+c})$ \geq $\frac{3}{2}$
Thay vào ta được:
$(\sum \frac{a}{(b+c)^2})$\geq $\frac{9}{4(a+b+c)}$ \geq $\frac{3}{4}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[su10112000a]

bài này chắc khó

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng:
$2.(a^2+b^2+c^2)$+$3$.$\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$\geq$(a+b+c)^2$

 

[riverflowsinyou1]

Vấn đề cần giải quyết :
C/m $2a^2+2b^2+2c^2+3.\sqrt[3]{(abc)^2}$ \geq $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
Hay $a^2+b^2+c^2+3.\sqrt[3]{(abc)^2}$ \geq $2.(ab+bc+ac)$

 

[congchuaanhsang]

Góp 1 bài cho vui :v

Cho a,b,c>0 và $abc=1$. Tìm min:

$P=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{b}$

 

[ronaldover7]

Góp 1 bài cho vui :v

Cho a,b,c>0 và $abc=1$. Tìm min:

$P=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{b}$

$P=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{b}$\geq $\dfrac{2ab-c^2}{c}+\dfrac{2bc-a^2}{a}+\dfrac{2ca-b^2}{b}$
\Rightarrow $P$ \geq $\dfrac{2ab}{c}+\dfrac{2bc}{a}+\dfrac{2ca}{b}$-a-b-c
= 2( $\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$)-a-b-c
\Rightarrow 2( $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{bc}$)-a-b-c
=2(a+b+c)-a-b-c=a+b+c \geq 3 (cauchy 3 số)

 

[huynhbachkhoa23]

Vấn đề cần giải quyết :
C/m $2a^2+2b^2+2c^2+3.\sqrt[3]{(abc)^2}$ \geq $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
Hay $a^2+b^2+c^2+3.\sqrt[3]{(abc)^2}$ \geq $2.(ab+bc+ac)$

Giống ý tưởng nhỉ. Thôi làm bài dễ trước đi =))

Cho $a+b+c=1$

Tìm GTNN: $A=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$

 

[evilfc]

Ta có B=(a+1)(b+1)(c+1)=(a+b+a+c)(a+b+b+c)(a+c+b+c) (thay a+b+c=1 vào)
áp dụng BDT (x+y)(y+z)(x+z)\geq8xyz ta được
B\geq8(a+b)(a+c)(b+c) .lại áp dụng BDT cho 2 số không âm ta có:
B\geq64abc
do đó A\geq64

 

[huynhbachkhoa23]

Làm rất tốt, tiếp đê =))

Bài về Bunyakovsky một chút

$(x+a)^2+(y+b)^2+(x+y)^2=c^2$ với $x,y$ là ẩn

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thì $(a+b)^2 \le 3c^2$

Bài này khá khó, nhưng cũng dễ nếu biết rõ phương pháp =))

 

[evilfc]

thui bạn giải hộ luôn đi giải chi tiết tí nhé cảm ơn trước

 

[huynhbachkhoa23]

thui bạn giải hộ luôn đi giải chi tiết tí nhé cảm ơn trước

Cũng khá ngắn

Gọi $x_0; y_0$ là 2 nghiệm của phương trình.

Có $a+b=(a+x_0)+(b+y_0)+(-x_0-y_0)$

Áp dụng BDT Bunyakovsky:

$(a+b)^2=[(a+x_0)+(b+y_0)+(-x_0-y_0)]^2 \le 3[(a+x_0)^2+(b+y_0)^2+(x_0+y_0)^2]=3c^2$ (theo phương trình)

Vậy $(a+b)^2 \le 3c^2$

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho cả số âm.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài 2: $a+b=1$. Tìm GTNN của $B=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}$

Bài 3:
Chứng minh với mọi $x>0$ thì $S=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}\ge 2$

Bài 4:
$(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$

Tìm GTLN, GTNN của $A=x^2+y^2$

Hai bài cuối dành cho bạn nào học giải phương trình bậc 2 rồi

Chủ thớt cho phép sử dụng $\Delta$ nhé

Lặn đây =))