Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

  • Thread starter riverflowsinyou1
  • Ngày gửi
  • Replies 1,008
  • Views 70,063

E

evilfc

trong 1 giải bóng đá,các đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt.Mỗi trận thắng dc 3 điểm,thua ko dc điểm nào,hoà dc 1 điểm.Kết thúc giải tổng số điểm các đội đạt dc là 42.Trận đấu giữa đội nhất thắng.Hỏi có bao nhiêu đội tham dự giải đấu. giải dùm mìk nhé
 
E

evilfc

không chắc nhé

Ta có B=1/2ab +1/(a^2+b^2) +1/2ab
áp dụng BDT 1/(x+y) \geq4/(x+y)^2
\RightarrowB\geq4/(a+b)^2 +2/(a+b)^2\geq6 (do a+b=1)
 
P

phuong_july

huynhbachkhoa23 said:
Bài 1: Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Làm bài này trước nhé! :):)
Ta dùng bất đẳng thức: $x+y+z$ \leq $\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$ ( với $x,y,z>0$) ( cái này dễ chứng minh rồi).

$A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$ \leq $\sqrt{3(a+b+b+c+a+c)}=\sqrt{6}$.
$max_A=\sqrt{6}$ \Leftrightarrow
$a+b=b+c=a+c$ \Leftrightarrow $a=b=c$
$a+b+c=1$
Vậy $max_A=\sqrt{6}$ \Leftrightarrow $a=b=c=\frac{1}{3}$
p/s: có phải không nhỉ?

 
N

ngobaotuan

Bài 1: Với x>0 ; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = 4(x^2) -3x + 1/(4x) +2011
 
H

huynhbachkhoa23

huynhbachkhoa23 said:

Bài 3:
Chứng minh với mọi $x>0$ thì $S=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}\ge 2$

Bài 4:
$(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$

Tìm GTLN, GTNN của $A=x^2+y^2$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hai bài này có vẻ khá khó, nhất là bài 4.

Bài 3: $S=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}$

$\leftrightarrow (S-x)^2=x^2+\dfrac{1}{x}$

$\leftrightarrow S^2-2Sx+x^2=x^2+\dfrac{1}{x}$

$\leftrightarrow 2Sx^2-S^2x+1=0$

$\Delta = S^4-8S \ge 0$

Giải BPT với điều kiện $S>0$(vì $x>0$):

$S(S-2)(S^2+2S+4) \ge 0$ $\leftrightarrow S \ge 2$

Vậy $S = x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}} \ge 2$

Bài 4 đang suy nghĩ =))
 
S

su10112000a

Cho bểu thức:
M=$\frac{x+1}{\sqrt{x}}$ + $\frac{x.\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}$ + $\frac{x^2-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ với x>0 và x#1.
C/m M>4
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

congchuaanhsang said:
Bỏ điều kiện $a+b+c=1$ đi và cho a,b,c>0.

Mọi người làm thử xem. Cũng khá dễ :)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Để làm thử =))

Thử một số kết quả nhận thấy bất đẳng thức cần chứng minh là:

$A=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc} \ge (1+\dfrac{3}{a+b+c})^3$

Có thể viết $A=1+\sum \dfrac{1}{a}+\sum\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{abc}$

$\sum \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$(Cauchy-Schwarz)

$\sum \dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}^2} \ge \dfrac{3}{\dfrac{(a+b+c)^2}{9}}=\dfrac{27}{(a+b+c)^2}$ (Cauchy)

$\dfrac{1}{abc} \ge \dfrac{27}{(a+b+c)^3}$ (Cauchy)

Cộng các vế, ta được: $A \ge (1+\dfrac{3}{a+b+c})^3$

BDT vẫn đúng với $a+b+c \le k$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{k}{3}$
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

huynhbachkhoa23 said:

Để làm thử =))

Thử một số kết quả nhận thấy bất đẳng thức cần chứng minh là:

$A=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc} \ge (1+\dfrac{3}{a+b+c})^3$

Có thể viết $A=1+\sum \dfrac{1}{a}+\sum\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{abc}$

$\sum \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$(Cauchy-Schwarz)

$\sum \dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}^2} \ge \dfrac{3}{\dfrac{(a+b+c)^2}{9}}=\dfrac{27}{(a+b+c)^2}$ (Cauchy)

$\dfrac{1}{abc} \ge \dfrac{27}{(a+b+c)^3}$ (Cauchy)

Cộng các vế, ta được: $A \ge (1+\dfrac{3}{a+b+c})^3$

BDT vẫn đúng với $a+b+c \le k$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{k}{3}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn phức tạp hóa vấn đề rồi :v

Theo Cauchy: $(a+1)(b+1)(c+1)$ \geq $2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8abc$

\Rightarrow $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$ \geq 8
 
H

huynhbachkhoa23

congchuaanhsang said:
:D
Sao lại tìm min của f(a,b,c) theo a,b,c được :D

Bài tiếp nhé:

CHo a,b,c> và $ab+bc+ca=3$. Tìm min:

$S=\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Theo Cauchy-Schwarz:

$S=\sum \dfrac{a^4}{a+3b} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)} \ge \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bất đẳng thức sử dụng:

Với $a,b,c >0$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

$ab+bc+ca \ge a+b+c$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Hên là đúng với điều kiện đề bài =))
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

huynhbachkhoa23 said:
Theo Cauchy-Schwarz:

$S=\sum \dfrac{a^4}{a+3b} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)} \ge \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bất đẳng thức sử dụng:
Với $a,b,c >0$
$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
$ab+bc+ca \ge a+b+c$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Hên là đúng với điều kiện đề bài =))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sao $ab+bc+ca$ \geq $a+b+c$ ?

Nếu 0<a,b,c<1 thì dấu bđt ngược lại chứ?
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom