Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:
$(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$

Tìm GTLN, GTNN của $A=x^2+y^2$

Trong thời gian chờ đợi lời giải của chị congchuanhsang giải nốt bài này.

Không biết có đúng không, ý tưởng là đưa về phương trình bậc 2 ẩn $x$ với $A$ là tham số.

Nhân bung ra: =))
$x^4+y^4+1-2x^2y^2-2y^2+2x^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$

$\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2)+1+4x^2=0$

$\leftrightarrow 4x^2+(A^2-3A+1)=0$

$\leftrightarrow A^2-3A+1 \le 0$

$\leftrightarrow \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \le A \le \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

Thế ngược lại để tìm dấu đẳng thức, lười

 

[huynhbachkhoa23]

Giải hệ phương trình:

$\text{(I)}\begin{cases}
x,y>0\\
x+y=3\\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}= 3 \\
\end{cases}$

 

[congchuaanhsang]

Có phải là trở thành $S \ge \dfrac{(a+b+c)^3}{36}$ không?

Nếu đúng thì tới đây làm sao nữa bạn.

Một bất đẳng thức rất quen thuộc đó là $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)$

Thế này thì ok rồi

P.s: Đây là câu cuối đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán tỉnh Thanh Hóa năm ngoái :v

 

[congchuaanhsang]

Giải hệ phương trình:

$\text{(I)}\begin{cases}
x,y>0\\
x+y=3\\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}= 3 \\
\end{cases}$

Hướng thôi nhé

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}$ \geq $\dfrac{9}{x+y}=3$

(Cauchy-Schwarz)

Nên để hệ có nghiệm thì $\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}$ \Leftrightarrow $y=2x$

Kết hợp $x+y=3$ được $x=1$ ; $y=2$

 

[riverflowsinyou1]

Tấn công bằng những bài tập siêu khủng :khi (56):
1) Cho $a,b,c$ là cạnh của 1 tam giác không nhọn. C/m :
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq $10$
2) Cho $a,b,c,d>0$ sao cho $a+b+c+d=4$. C/m
$\sum \frac{a}{b^2c+1}$ \geq $2$
3) Cho $a<b<c<d$
C/m $(b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})<\frac{(a+d)^2}{ad}$
4) Cho $a,b,c>0$. C/m :
$\sum \frac{a^5}{(a+b)(bc)}$ \geq $\frac{ab+ac+bc}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Tấn công bằng những bài tập siêu khủng :khi (56):

Giải ngay là luôn đi =)).............................................................

 

[eye_smile]

Bạn phức tạp hóa vấn đề rồi :v

Theo Cauchy: $(a+1)(b+1)(c+1)$ \geq $2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8abc$

\Rightarrow $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$ \geq 8

Phần cuối là sao nhỉ?
Phải là \geq $\dfrac{8}{\sqrt{abc}}$ chứ
Và $2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8abc$ là sao?

 

[eye_smile]

Sao lại tìm min của f(a,b,c) theo a,b,c được

Bài tiếp nhé:

CHo a,b,c> và $ab+bc+ca=3$. Tìm min:

$S=\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2521190&postcount=356
Được không mọi người

 

[su10112000a]

Tấn công bằng những bài tập siêu khủng :khi (56):
1) Cho $a,b,c$ là cạnh của 1 tam giác không nhọn. C/m :
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq $10$
2) Cho $a,b,c,d>0$ sao cho $a+b+c+d=4$. C/m
$\sum \frac{a}{b^2c+1}$ \geq $2$
3) Cho $a<b<c<d$
C/m $(b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})<\frac{(a+d)^2}{ad}$
4) Cho $a,b,c>0$. C/m :
$\sum \frac{a^5}{(a+b)(bc)}$ \geq $\frac{ab+ac+bc}{2}$

câu 3:
theo đề bài, ta cần c/m:
$\frac{b}{c}$ + $\frac{c}{b}$ < $\frac{a^2+d^2}{ad}$
hay: $\frac{b^2+c^2}{bc}$ < $\frac{a^2+d^2}{ad}$
quy đồng rồi khử mẫu, ta có: $adb^2 + adc^2$ < $bca^2 + bcd^2$
\Leftrightarrow $adb^2 + adc^2$ - $bca^2 - bcd^2$ < $0$
\Leftrightarrow$bd.(ab-cd) + ac(cd-ab)$ < $0$
\Leftrightarrow$(ab-cd).(bd-ac)$ < $0$
vì $a < b < c < d$ nên $ab-cd$ < $0$ và $bd-ac$ > $0$
\Rightarrow$(ab-cd).(bd-ac)$ < $0$ luôn đúng
\Rightarrowđpcm
mấy câu còn lại có kí hiệu mình chưa học nên mình ngu mấy câu đó rồi @-)@-)@-)
à quên chưa xét từng trường hợp a, b,c, d âm hay dương, thôi bỏ phần này vậy sr

 

[huynhbachkhoa23]

câu 3:
theo đề bài, ta cần c/m:
$\frac{b}{c}$ + $\frac{c}{b}$ < $\frac{a^2+d^2}{ad}$
hay: $\frac{b^2+c^2}{bc}$ < $\frac{a^2+d^2}{ad}$
quy đồng rồi khử mẫu, ta có: $adb^2 + adc^2$ < $bca^2 + bcd^2$
\Leftrightarrow $adb^2 + adc^2$ - $bca^2 - bcd^2$ < $0$
\Leftrightarrow$bd.(ab-cd) + ac(cd-ab)$ < $0$
\Leftrightarrow$(ab-cd).(bd-ac)$ < $0$
vì $a < b < c < d$ nên $ab-cd$ < $0$ và $bd-ac$ > $0$
\Rightarrow$(ab-cd).(bd-ac)$ < $0$ luôn đúng
\Rightarrowđpcm
mấy câu còn lại có kí hiệu mình chưa học nên mình ngu mấy câu đó rồi @-)@-)@-)

Câu 2:
$a+b+c+d=4; a,b,c,d >0$

C/m: $\dfrac{a}{b^2c+1}+\dfrac{b}{c^2d+1}+\dfrac{c}{d^2a+1}+\dfrac{d}{a^2b+1} \ge 2$

Mình nghĩ chứng minh $\sum \dfrac{a}{b^2c+1} \ge \dfrac{\sum a}{2}$
Câu 4:
$a,b,c>0$. C/m:

$\dfrac{a^5}{(a+b)bc}+\dfrac{b^5}{(b+c)ca}+\dfrac{c^5}{(c+a)ab} \ge \dfrac{ab+bc+ca}{2}$

Bài 3 dễ thế sao (

 

[phuong_july]

1) Cho $a,b,c$ là cạnh của 1 tam giác không nhọn. C/m :
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq $10$

Do là 1 tam giác không nhọn nên tam giác đó hoặc là tam giác tù hoặc là tam giác vuông. \Rightarrow $a^2$ \geq $b^2+c^2$ (1)
Sử dụng BDT: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x+y}$
Ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$
\Leftrightarrow $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq
$5+\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}$=$7+3a^2/(b^2+c^2)$
Từ (1) \Rightarrow $Q.E.D$


CM (1)
Gọi tam giác đó là tam giác ABC.($A>90^o$). Đặt: BC=a, AC=b, AB=c.
Kẻ đường cao BH.
Ta có: $a^2=BH^2+HC^2=(c^2-AH^2)+(b+AH)^2$
$=b^2+c^2+2b.AH$
Do $a,b,c,AH>0$ nên ta đã cm được (1)

 

[thinhrost1]

Do là 1 tam giác không nhọn nên tam giác đó hoặc là tam giác tù hoặc là tam giác vuông. \Rightarrow $a^2$ \geq $b^2+c^2$ (1)
Sử dụng BDT: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x+y}$
Ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$
\Leftrightarrow $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$ \geq
$5+\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}$
Từ (1) \Rightarrow $Q.E.D$

Cần phải chứng minh phần in đỏ, với lại Từ (1) ta có: $\frac{4a^2}{b^2+c^2} \ge 4$ nhưng $ \frac{b^2+c^2}{a^2}$ không $\ge 1$

 

[congchuaanhsang]

Cần phải chứng minh phần in đỏ, với lại Từ (1) ta có: $\frac{4a^2}{b^2+c^2} \ge 4$ nhưng $ \frac{b^2+c^2}{a^2}$ không $\ge 1$

Cái này có thể giải bằng định lí hàm số cosin của lớp 9:

Với a,b,c là 3 cạnh BC,AC,AB của $\Delta$ABC không nhọn thì:

$a^2=b^2+c^2+2bc.cos\hat{A}$ \geq $b^2+c^2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $\hat{A}=90^0$

@thinhrost1: Lớp 8 chị ơi

@congchua: Biết rồi. Chỉ nói thế thôi :v
Lớp 8 thì cm bằng cách vẽ hình ra rồi theo Pytago ý

 

[su10112000a]

cho em hỏi:
nếu $a^2+b^2+c^2$\geq$\frac{(a+b+c)^2}{3}$
thì có thể suy ra:$a^3 + b^3 + c^3 + d^3$\geq$\frac{(a+b+c+d)^3}{16}$ không?

 

[phuong_july]

Cần phải chứng minh phần in đỏ, với lại Từ (1) ta có: $\frac{4a^2}{b^2+c^2} \ge 4$ nhưng $ \frac{b^2+c^2}{a^2}$ không $\ge 1$

Đã fix.
_______________________________________________________________________

 

[riverflowsinyou1]

2)
$\sum \frac{a}{b^2c+1}=\sum a- \sum \frac{ab^2c}{1+b^2}{c}$ \geq $\sum a - \sum \frac{ab.\sqrt{c}}{2}$ \geq $\sum a -\frac{\sqrt{(ab+bc+cd+da)4abcd}}{2}$ \geq $\sum a - \frac{\frac{a+b+c+d}{2}.\sqrt[4]{4}.\frac{a+b+c+d}{4}}{2}=2$

 

[riverflowsinyou1]

Áp dụng $\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}$ \geq $\frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
$VT=\sum \frac{a^6}{abc(a+b)}$ \geq $\frac{(a^2+b^3+c^2)^3}{6abc(a+b+c)}$ \geq $\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ \geq $\frac{ab+bc+ac}{2}$

 

[riverflowsinyou1]

Cho các số dương $x,y$ sao cho $x+\frac{1}{y}$ \leq $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

[letsmile519]

Cho các số dương $x,y$ sao cho $x+\frac{1}{y}$ \leq $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Ta có:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$=$\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{15y}{16x}$\geq $2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{15y}{16x}$=$\frac{1}{2}+\frac{15y}{16x}$

Lại có:

$1$\geq $x+\frac{1}{y}$\geq $2.\sqrt{x.\frac{1}{y}}$

\Leftrightarrow $\frac{1}{4}$\geq $\frac{x}{y}$

\Leftrightarrow $\frac{y}{x}$\geq $4$

Từ đây tìm được Min

P.s: em chỉ giám chém câu dễ ạ câu khó nhờ các bác chỉ giáo :-*

 

[riverflowsinyou1]

Tiếp nào
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh rằng :
$\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}$ \geq $\frac{3}{\sqrt{2}}$