Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[su10112000a]

Thôi chịu mấy bác chăm học quá em cứ chăm thẩm du hoài à )
Cho $a,b,c>0$
C/m $\sum \frac{a^3}{b} \ge \sum ab$

bài này vừa đủ với trình của em=))
áp dụng Schwars:
$\sum \dfrac{a^3}{b} = \sum \dfrac{a^4}{ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}$
\Rightarrow$\sum \dfrac{a^3}{b} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

 

[ronaldover7]

lại thêm 1 câu k khó=)):
Cho 3 số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

GỌi $\dfrac{a}{b}=x^2$,$\dfrac{b}{c}=y^2$,$\dfrac{c}{a}=z^2$,Ta có: $\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}$=$x^3+y^3+z^3$
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$=$x^2+y^2+z^2$
Và $xyz=1 ; x,y,z >0$
Cần CM $x^3+y^3+z^3$\geq$x^2+y^2+z^2$
Ta có $2x^2$ \leq $x^3+x$
CMTT $2y^2$ \leq$ y^3+y$
$2z^2$ \leq $z^3+z$
Cần CM $x^3+y^3+z^3$\geq$x+y+z$
Ta có: $x^3+y^3$ \geq $xy(x+y)=\frac{x+y}{z}$ (xyz=1)
CMTT$y^3+z^3$ \geq $yz(y+z)=\frac{y+z}{x}$
$z^3+x^3$ \geq $zx(z+x)=\frac{z+x}{y}$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$) \geq$ \frac{x+y}{z} +\frac{y+z}{x}+ \frac{z+x}{y}$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$)+3 \geq$ \frac{x+y}{z}+1 +\frac{y+z}{x}+1+ \frac{z+x}{y}+1$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$)+3 \geq$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Kết hợp NHững ý trên cần CM$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ \geq 2(x+y+z)+3
\geq $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2)$ \geq 3
Áp dụng cauchy 3 số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ \geq 3 (xyz=1)
\Rightarrow $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$-2 \geq 1
x+y+z \geq 3 (xyz=1)

\Rightarrow $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2)$ \geq 3(đúng)
P/s :Bác su kỉm tra giúp e!Còn mấy bài có cái dấu này ∑ e ko đủ trình !!!!!

 

[thinhrost1]

$\sqrt{(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}}+\sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{27}{4}} \ge \sqrt{40}$

Dấu bằng khi $\dfrac{\dfrac{1}{2}-x}{x+\dfrac{3}{2}}=9$

Nhưng kết quả lại ra là $P \ge 4$

Không biết ai sai nhỉ =))

Bác có thấy bác sai không bác Khoa

 

[su10112000a]

GỌi $\dfrac{a}{b}=x^2$,$\dfrac{b}{c}=y^2$,$\dfrac{c}{a}=z^2$,Ta có: $\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}$=$x^3+y^3+z^3$
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$=$x^2+y^2+z^2$
Và $xyz=1 ; x,y,z >0$
Cần CM $x^3+y^3+z^3$\geq$x^2+y^2+z^2$
Ta có $2x^2$ \leq $x^3+x$
CMTT $2y^2$ \leq$ y^3+y$
$2z^2$ \leq $z^3+z$
Cần CM $x^3+y^3+z^3$\geq$x+y+z$
Ta có: $x^3+y^3$ \geq $xy(x+y)=\frac{x+y}{z}$ (xyz=1)
CMTT$y^3+z^3$ \geq $yz(y+z)=\frac{y+z}{x}$
$z^3+x^3$ \geq $zx(z+x)=\frac{z+x}{y}$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$) \geq$ \frac{x+y}{z} +\frac{y+z}{x}+ \frac{z+x}{y}$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$)+3 \geq$ \frac{x+y}{z}+1 +\frac{y+z}{x}+1+ \frac{z+x}{y}+1$
\Rightarrow 2($x^3+y^3+z^3$)+3 \geq$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Kết hợp NHững ý trên cần CM$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ \geq 2(x+y+z)+3
\geq $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2)$ \geq 3
Áp dụng cauchy 3 số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ \geq 3 (xyz=1)
\Rightarrow $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$-2 \geq 1
x+y+z \geq 3 (xyz=1)

\Rightarrow $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2)$ \geq 3(đúng)
P/s :Bác su kỉm tra giúp e!

cách của bác rất hay nhưng hơi dài, còn đây là cách của em=)):
ta có:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}
}+ 1 \ge 3.\dfrac{a}{b}$ ; $\sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}
}+ 1 \ge 3.\dfrac{b}{c}$ ;$\sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}
}+ 1 \ge 3.\dfrac{c}{a}$
cộng lại ta có:
$2.(\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}) + 3 \ge 2(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}) + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$
\Rightarrow$2.(\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} + \sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}} + \sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}) + 3 \ge 2(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}) + 3$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$
ronaldove: do e ngu mấy cái dấu ∑ nên đọc cum~ k hỉu cho lắm =)) ,tks bác!
su10112000a: ghi vậy chắc bác hiểu rồi=))

 

[thinhrost1]

Không khó không lấy tiền ạ =))

Đề nghị bác chủ pic đổi tên lại thành $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT và cực trị 8}$
ronaldove:E ko phải chủ pic nhưng lấy danh dự là BTC lúc đầu(dù vô dụng) đổi lại!

 

[huynhbachkhoa23]

Bác có thấy bác sai không bác Khoa

Xin lỗi, em nhầm =))

Chưa căn ra mà cộng dồn vao luôn =))

Sorry =))

BDT Toán 8 giờ sao toàn sang năm lớp 9 với 10 không thế, rủ vài em sang năm lớp 8 vào chém cho pic đông vui thêm =))

 

[ronaldover7]

Xin lỗi, em nhầm =))

Chưa căn ra mà cộng dồn vao luôn =))

Sorry =))

BDT Toán 8 giờ sao toàn sang năm lớp 9 với 10 không thế, rủ vài em sang năm lớp 8 vào chém cho pic đông vui thêm =))

Lúc đầu lập pic e có hỉu các bác nói gì đâu nên bỏ , bác mà cho mấy bài mấy đứa 7->8 thì nó giải sao nổi!

 

[vansang02121998]

$\sqrt{(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}}+\sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{27}{4}} \ge \sqrt{40}$

Dấu bằng khi $\dfrac{\dfrac{1}{2}-x}{x+\dfrac{3}{2}}=9$

Nhưng kết quả lại ra là $P \ge 4$

Không biết ai sai nhỉ =))

Bác lại đùa em tiếp


$\sqrt{x^2+3x^3}+\sqrt{x^2-x+7}=\sqrt{(x+\dfrac{3}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(\dfrac{1}{2}-x)^2+(\dfrac{3\sqrt{3}}{2})^2} \ge \sqrt{(x+ \dfrac{3}{2}+ \dfrac{1}{2}-x)^2+ (\dfrac{ \sqrt{3}}{2}+ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}})^2}=\sqrt{4+12}=4 $

Dấu $"="$ khi $\dfrac{x+\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-x}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ thì $x=-1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài bác su cho hồi trước, em lớp $7 \to 8$ hỏi cái ký hiệu $\sum$ là gì rồi nói đọc đề giúp nó, kết quả bếp giải được =)) cả pic câm lặng =))

Giờ cho thêm bài =))
Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$ (thua ()

$C/m: 6(\sum x)(\sum x^2) \le 27xyz+10\sqrt{(\sum x^2)^3}$

 

[thinhrost1]

Không khó không lấy tiền ạ =))

Đề nghị bác chủ pic đổi tên lại thành $\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT và cực trị 8}$
ronaldove:E ko phải chủ pic nhưng lấy danh dự là BTC lúc đầu(dù vô dụng) đổi lại!

Xét hai trường hợp:

a) $x+y<8$:

Lại xét ba trường hợp =)):

Nếu $y=0$ thì $A=1$.

Nếu $1 \le y \le 6$ thì $A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{8-(x+y)}<1+6=7$

Nếu $y=7$ thì $x=0$ và $A=7$

b) $x+y>8$:

Ta có:

$A=\dfrac{y}{8-(x+y)} +\dfrac{x}{x+y} \le 1$

So sánh các giá trị trên của A, ta có $Max A=7$ khi $x=0,y=7$

 

[ronaldover7]

Xét hai trường hợp:

a) $x+y<8$:

Lại xét ba trường hợp =)):

Nếu $y=0$ thì $A=1$.

Nếu $1 \le y \le 6$ thì $A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{8-(x+y)}<1+6=7$

Nếu $y=7$ thì $x=0$ và $A=7$

b) $x+y>8$:

Ta có:

$A=\dfrac{y}{8-(x+y)} +\dfrac{x}{x+y} \le 1$

So sánh các giá trị trên của A, ta có $Max A=7$ khi $x=0,y=7$

Đề nghị bác thinhrost coi lại đề__________________________________Cái chỗ in đỏ là y mà!

 

[tanngoclai]

Xét hai trường hợp:

a) $x+y<8$:

Lại xét ba trường hợp =)):

Nếu $y=0$ thì $A=1$.

Nếu $1 \le y \le 6$ thì $A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{8-(x+y)}<1+6=7$

Nếu $y=7$ thì $x=0$ và $A=7$

b) $x+y>8$:

Ta có:

$A=\dfrac{y}{8-(x+y)} +\dfrac{x}{x+y} \le 1$

So sánh các giá trị trên của A, ta có $Max A=7$ khi $x=0,y=7$

Có cách nào hay hơn không :|
Cái bài này bác lấy ở đâu thế / Trông cách giải quen quen mà không nhớ ở đâu =)) Trí nhớ kém =))
Mà y=0 thì làm gì có A :|

 

[su10112000a]

Cho $a, b, c, d$ là các số dương thỏa mãn:
$\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b} + \dfrac{1}{1+c} + \dfrac{1}{1+d} \ge 3$
Chứng minh: $abcd \le \dfrac{1}{81}$
bài này khó nhỉ@-)@-)@-)

 

[huynhbachkhoa23]

Cho $a, b, c, d$ là các số dương thỏa mãn:
$\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b} + \dfrac{1}{1+c} + \dfrac{1}{1+d} \ge 3$
Chứng minh: $abcd \le \dfrac{1}{81}$
bài này khó nhỉ@-)@-)@-)

Con lạy mẹ, trình bác cao thế mà không làm được á @-)

Chuyển vế và Cauchy: $\dfrac{1}{1+a} \ge \dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Chứng minh tương tự với $b,c,d$.

Nhân các vế: $\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \ge 81.\dfrac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

Ok. Việc gì phải xoắn, dạng này làm như nhai đi nhai lại cái bánh =))

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a, b, c, d$ là các số dương thỏa mãn:
$\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b} + \dfrac{1}{1+c} + \dfrac{1}{1+d} \ge 3$
Chứng minh: $abcd \le \dfrac{1}{81}$
bài này khó nhỉ@-)@-)@-)

$\frac{1}{1+a} \ge 1-\frac{1}{1+a}+1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{d}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{1+d} \ge 3.\sqrt[3]{\frac{a.b.d}{(1+a)(1+b)(d+1)}}$
Tương tự suy ra.
$\frac{1}{(1+a)(1+b)(c+1)(d+1)} \ge 81.\frac{a.b.d.c}{(1+a)(1+b)(1+c)(d+1)}$
\Leftrightarrow $abcd \le \frac{1}{81}$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $x,y,z \in R^+$
C/m $\sum |x+y-z| + |x+y+z| \ge 2.(|x|+|y|+|z|)

 

[su10112000a]

Con lạy mẹ, trình bác cao thế mà không làm được á @-)

bài này em làm đc mà ko cần suy nghĩ bởi bài này có sẵn đáp án=))
thôi em dăng một bài k dễ k lấy tiền=)):
Cho $a, b, c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{b+c} + \dfrac{b^3}{c+a} + \dfrac{c^3}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}$

 

[thinhrost1]

Đề nghị bác thinhrost coi lại đề__________________________________Cái chỗ in đỏ là y mà!

Nhầm đề đấy =))

Có cách nào hay hơn không :|
Cái bài này bác lấy ở đâu thế / Trông cách giải quen quen mà không nhớ ở đâu =)) Trí nhớ kém =))
Mà y=0 thì làm gì có A :|

y=0 thì A=1 mà ) em viết sai đề cái y phải là x+Y

Cách hay hơn hả chắc hông đâu )

Thiên cơ bất khả lộ nhé

 

[riverflowsinyou1]

bài này em làm đc mà ko cần suy nghĩ bởi bài này có sẵn đáp án=))
thôi em dăng một bài k dễ k lấy tiền=)):
Cho $a, b, c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Chứng minh:
$\dfrac{a^3}{b+c} + \dfrac{b^3}{c+a} + \dfrac{c^3}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}$

Áp dụng bđt Swarchz
$VT=\sum \frac{a^4}{ab+ac} \ge \frac{1}{2(ab+bc+ac)}$
Vì có $a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc$
\Leftrightarrow $\frac{1}{ab+bc+ac} \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}$
Do đó $VT \ge \frac{1}{2.(ab+ac+bc)} \ge \frac{1}{2.(a^2+b^2+c^2)}$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a+b+c=3$
C/m $\sum a^2 \ge 2abc+1$ ($a,b,c>0$)