Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[su10112000a]

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$

$a^2+b^2=c^2+d^2=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sqrt{5-a-2b}+\sqrt{5-c-2d}+\sqrt{5-ac-bd}$

Tìm được điểm rơi với chọn được phương pháp làm đúng thì cũng là thánh rồi =))

Bài này khá dễ đối với trình...giáo viên lẫn người ra đề=))
Bài khác=)):
Cho $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. tìm $\mathfrak{GTNN}$ của:
$$P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} + \dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}} + \dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài này khá dễ đối với trình...giáo viên lẫn người ra đề=))
Bài khác=)):
Cho $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. tìm $\mathfrak{GTNN}$ của:
$$P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}} + \dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}} + \dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$$

$P=2 \sum \dfrac{a^4}{2a\sqrt{b^2+3}} \ge 4\sum \dfrac{a^4}{4a^2+b^2+3} \ge \dfrac{4(\sum a^2)^2}{5 \sum a^2 + 9}=\dfrac{3}{2}$

Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Giáo viên chắc cũng khó ăn đấy bác =)). Cái điểm rơi như ****, sách giải bị sai =)) nhưng hướng giải đúng.

Bài em cho nói như thế này cho bác thịnh dễ hiểu, bác nhớ bài hệ bất phương trình hồi trước của bác em giải bằng đồ thị không. Không giống dạng nhưng giải cũng tương đương hướng đấy đấy =))

@thinh: đ' nhớ @@
@khoa: d' nhớ là sao (, cái bài mà em làm ra x;y thuộc miền của tứ giác rồi hạ đường cao, chọn đỉnh quá trời luôn đó (

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: $a,b,c > 0$ và $a\ge c; b\ge c$
Chứng minh:
$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$

Bài 2: Tam giác $ABC$, $M$ tuỳ ý. Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $P=MA^2+MB^2+MC^2$ nhỏ nhất

Bài 3: $P=y-2x+5$ với $x;y$ thoả $36x^2+16y^2=9$

Tìm cực trị (cả cực tiểu và cực đại) của $P$.

 

[thinhrost1]

Làm piếng quá

Bài 1: $a,b,c > 0$ và $a\ge c; b\ge c$
Chứng minh:
$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$

Bài 2: Tam giác $ABC$, $M$ tuỳ ý. Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $P=MA^2+MB^2+MC^2$ nhỏ nhất

Bài 3: $P=y-2x+5$ với $x;y$ thoả $36x^2+16y^2=9$

Tìm cực trị (cả cực tiểu và cực đại) của $P$.

Bài 1: Chia hai vế cho $\sqrt{ab}$ rồi áp dụng cô-si

Bài 3: $y=2x+P-5$ thế vào $36x^2+16y^2=9$ sử dụng delta là ra

 

[trantien.hocmai]

câu 3
$36x^2+16y^2=9 \leftrightarrow 4x^2+\frac{16}{9}y^2=1$
đặt
$\left\{ \begin{array}{l} sint=2x \\ cost=\frac{4}{3}y \end{array} \right.$
$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}sint \\ y=\frac{3}{4}cost \end{array} \right.$
thay vào ta được
$P=\frac{3}{4}cost-sint+5 \leftrightarrow 4P=3cost-4sint+20 \leftrightarrow 4P-20=3cost-4sint$
điều kiên cho phương trình này có nghiệm là
$(4P-20)^2 \le 25$
đến đây có đúng không khoa, anh cao hứng nên chém bừa thôi nếu sai thi xoá giùm anh nhá

 

[duchieu300699]

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$

$a^2+b^2=c^2+d^2=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sqrt{5-a-2b}+\sqrt{5-c-2d}+\sqrt{5-ac-bd}$

Cái này tớ chơi bừa, chứ lớp 8 thế này chắc tiêu =))

$\sqrt{2}P=\sqrt{10-2a-4b}+\sqrt{10-2c-4d}+\sqrt{10-2ac-2bd}$

= $\sqrt{a^2-2a+1+b^2-4b+4}+\sqrt{c^2-2c+1+d^2-4d+4}+\sqrt{a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}$

= $\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}+\sqrt{(c-1)^2+(d-2)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

Giờ ta gọi các điểm $M(a;b)$ , $N(c;d)$ , $P(1;2)$

$\rightarrow$ $\sqrt{2}P=MN+NP+PM$

Thấy rõ M,N,P đều thuộc đường tròn $(C) x^2+y^2=5$ nên $\Delta MNP$ nội tiếp đường tròn (C) có bán kính $\sqrt{5}$

Tớ không biết lớp 8 có học cái này chưa nhưng ở đây nhiều siêu nhân nên chắc dễ nhỉ

Đến đây diện tích thì còn biết c/m, chứ chu vi thì đành chơi kiểu nhận định =)) rằng chu vi max là tam giác đều

Trong TH đó, $MN=NP=PM=R\sqrt{3}=\sqrt{15}$

Dẫn đến $P=\dfrac{3\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$

Dấu "=": $\left\{\begin{matrix}
a+2b=\dfrac{-5}{2}\\ a^2+b^2=5
\end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}
c+2d=\dfrac{-5}{2}\\ c^2+d^2=5
\end{matrix}\right.$ ; $ac+bd=\dfrac{-5}{2}$

Thấy 2 Pt a,b và c,d giống nhau nhưng $a\neq c$ nên:

$a=\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}$ ; $b=...$ ; $c=\dfrac{-1-2\sqrt{3}}{2}$ ; $d=...$

hoặc ... (đảo a,c lại)

 

[ronaldover7]

Bài 1: Chia hai vế cho $\sqrt{ab}$ rồi áp dụng cô-si

Bài 3: $y=2x+P-5$ thế vào $36x^2+16y^2=9$ sử dụng delta là ra

Bài 1 sử dụng buhia 2 số là dc ___________________________________

 

[huynhbachkhoa23]

Anh trantien.hocmai: Cách anh đúng rồi. Có phải khúc $3\cos t -4\sin t$ dùng $|a\sin t + b\cos t| \le \sqrt{a^2+b^2}$ không anh do $a \sin t + b\cos t = \sqrt{a^2+b^2}.\sin(t + \alpha)$, em không nhớ rõ lắm.

Thông tin thêm cho bạn nào thích sử dụng lượng giác với dồn biến để giải cực trị:

Nếu điều kiện có $|x|\le a$ thì đặt $x=a\sin t$ với $t\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{-\pi}{2} \right]$ hoặc $x=a\cos t$ với $t \in \left[0;\pi\right]$

Nếu điều kiện có $x \ge a$ thì đặt $x=\dfrac{a}{\cos t}$ với $t \ne \dfrac{\pi}{2}$ và $t\in [0;\pi]$

Nếu điều kiện có $x^2+y^2=a^2$ thì đặt $x=a\sin t$ và $y=a\cos t$ với $t \in [0;2\pi]$

Nếu $x \in \mathbb{R}$ thì đặt $x=\tan t$ hoặc $x=\cot t$

Ở đây toàn 9 với 10,11,12 rồi nên cách trên sử dụng được.(Pic lớp 8 =)))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1 sử dụng buhia 2 số là dc ___________________________________

Các bác thử dùng biểu diễn hình học để giải bài này xem @-)....................................................

 

[ronaldover7]

Anh trantien.hocmai: Cách anh đúng rồi. Có phải khúc $3\cos t -4\sin t$ dùng $|a\sin t + b\cos t| \le \sqrt{a^2+b^2}$ không anh do $a \sin t + b\cos t = \sqrt{a^2+b^2}.\sin(t + \alpha)$, em không nhớ rõ lắm.

Thông tin thêm cho bạn nào thích sử dụng lượng giác với dồn biến để giải cực trị:

Nếu điều kiện có $|x|\le a$ thì đặt $x=a\sin t$ với $t\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{-\pi}{2} \right]$ hoặc $x=a\cos t$ với $t \in \left[0;\pi\right]$

Nếu điều kiện có $x \ge a$ thì đặt $x=\dfrac{a}{\cos t}$ với $t \ne \dfrac{\pi}{2}$ và $t\in [0;\pi]$

Nếu điều kiện có $x^2+y^2=a^2$ thì đặt $x=a\sin t$ và $y=a\cos t$ với $t \in [0;2\pi]$

Nếu $x \in \mathbb{R}$ thì đặt $x=\tan t$ hoặc $x=\cot t$

Ở đây toàn 9 với 10,11,12 rồi nên cách trên sử dụng được.(Pic lớp 8 =)))

EM tự hỏi đây còn phải pic 8 ko vậy :|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|

 

[huynhbachkhoa23]

EM tự hỏi đây còn phải pic 8 ko vậy :|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|

Hè rồi, cày vô tư =)), bác năm sau lên 9 sử dụng lượng giác được mà =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: $a,b,c,d \in \mathbb{R}; a^2+b^2=1; c+d=6$

Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của $\mathfrak{P=}c^2+d^2-2ac-2bd$

Gợi ý: $M(a;b)$ cách $O$ một khoảng bằng 1.

$N(c;d)$ thuộc $(d): y=6-x$

Còn biến đổi biểu thức các bác tự nghiệm. =))

Bài 2: Cho các số thực $a,b,c,u,v,t,x,y,z$

$\begin{cases}a+b+c=3\\ u+v+t=4\\ x+y+z=12\\ \end{cases}$

Chứng minh $\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\sqrt{u^2+v^2+t^2}+\sqrt{z^2+y^2+z^2} \ge 13$

 

[riverflowsinyou1]

Bác ra quá vố rồi đấy ) về nhà mà thể hiện =)) bây giờ thì mình chỉ bám sát vào những câu bất đẳng thức tuyển sinh vào lớp 10 nhé mọi người đăng lên đi.

 

[duchieu300699]

Bác ra quá vố rồi đấy ) về nhà mà thể hiện =)) bây giờ thì mình chỉ bám sát vào những câu bất đẳng thức tuyển sinh vào lớp 10 nhé mọi người đăng lên đi.

AE chứ bình tĩnh, tớ lấy 1 bài làm vui nha, dể thôi =))

Cho: $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd=\sqrt{3}$ với $ad-bc=1$

Tính $(a+c)^2+(b+d)^2$

P/s: Mấy đứa mod 9 kia ôn thi hết rồi, chắc dọn nhà qua đây quá ( ACE chém mạnh vào nha, mạnh tay vào )

 

[huynhbachkhoa23]

Bác ra quá vố rồi đấy ) về nhà mà thể hiện =)) bây giờ thì mình chỉ bám sát vào những câu bất đẳng thức tuyển sinh vào lớp 10 nhé mọi người đăng lên đi.

Lớp 9 hết mà =))

Vì vậy, em ra đề thấp hơn bác 1 bậc =))

Anh hiếu nói câu cuối thâm v~................................................

 

[su10112000a]

AE chứ bình tĩnh, tớ lấy 1 bài làm vui nha, dể thôi =))

Cho: $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd=\sqrt{3}$ với $ad-bc=1$

Tính $(a+c)^2+(b+d)^2$

P/s: Mấy đứa mod 9 kia ôn thi hết rồi, chắc dọn nhà qua đây quá ( ACE chém mạnh vào nha, mạnh tay vào )

bữa nay mấy bác toàn đăng mấy bài tương đối dễ ... với người ra đề=))
bay giờ em đăng mấy bài dễ và cũng để phù hợp với box toán 8=)):
Bài 1: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. $\mathfrak{CMR}$:
$$\sum a(1+b) \ge 3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})$$
Bài 2: Cho $3$ số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=10$. Tìm $\mathfrak{GTLN}$ của $A=a^2b^3c^5$
Bài 3: Chứng minh rằng:$a+\dfrac{1}{a-1} \ge 3$ ,\forall $a > 1$

 

[thinhrost1]

Bài 3: Chứng minh rằng:$a+\dfrac{1}{a-1} \ge 3$ ,\forall $a > 1$

$a-1+\dfrac{1}{a-1} \ge 2 $

Tự suy ra nhé !

P/s: ông hiếu không ôn vào 10 à !)

 

[thinhrost1]

bữa nay mấy bác toàn đăng mấy bài tương đối dễ ... với người ra đề=))
bay giờ em đăng mấy bài dễ và cũng để phù hợp với box toán 8=)):
Bài 1: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. $\mathfrak{CMR}$:
$$\sum a(1+b) \ge 3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})$$
Bài 2: Cho $3$ số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=10$. Tìm $\mathfrak{GTLN}$ của $A=a^2b^3c^5$
Bài 3: Chứng minh rằng:$a+\dfrac{1}{a-1} \ge 3$ ,\forall $a > 1$

$\sum a(1+b) \ge 3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) $

$\sum a +\sum ab \ge 3\sqrt[3]{abc}+ 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Xong

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b>0$ và $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{b}+2) \ge 9$
Tìm Min $P=\sum \frac{a^3}{a^2+2b^2}$
Cho em hỏi bất đẳng thức Cauchy thuần túy là cái gì thế ?....

 

[su10112000a]

Bài 2: Cho $3$ số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=10$. Tìm $\mathfrak{GTLN}$ của $A=a^2b^3c^5$

áp dụng Cauchy 10 số cho lành=)):
ta có:
$10=a+b+c=\dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} + \dfrac{b}{3} + \dfrac{b}{3} + \dfrac{c}{5}+ \dfrac{c}{5} + \dfrac{c}{5} + \dfrac{c}{5} + \dfrac{c}{5}$
$\rightarrow 10 \ge 10\sqrt[10]{\dfrac{a^2}{4} . \dfrac{b^3}{27} . \dfrac{c^5}{3125}}$
$\rightarrow a^2b^3c^5 \le 337500$
$\rightarrow$ kết luận........................