Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[su10112000a]

Cho $a+b+c=3$
C/m $\sum a^2 \ge 2abc+1$ ($a,b,c>0$)

dễ nhỉ=))
AD Cauchy rồi thu gọn: $a+b+c=3$ \Rightarrow $abc \le 1$
\Rightarrow$2abc+1 \le 3$
mà $a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \ge 3$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

 

[riverflowsinyou1]

Một thánh tìm ra điểm rơi bài này )
Cho $0 \le a \le b \le c \le 1$. Tìm max :
$A=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c \in [0;1]$ thỏa mãn $a+b+c=2$ . Tìm max:
$A=\sum \frac{a^2}{2-b}$

 

[thinhrost1]

Một thánh tìm ra điểm rơi bài này )
Cho $0 \le a \le b \le c \le 1$. Tìm max :
$A=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$

Yolo em tìm được điểm rơi rồi các bác ạ! )

$a=0 b=\dfrac{12}{23} c=\dfrac{18}{23}$

Mà tam thức bậc 2 lớp 8 chưa học mà :|

 

[huynhbachkhoa23]

Yolo em tìm được điểm rơi rồi các bác ạ! )

$a=0 b=\dfrac{12}{23} c=\dfrac{18}{23}$

Mà tam thức bậc 2 lớp 8 chưa học mà :|

Hình như nhớ là ở bài đầu tiên nói là chuẩn bị cho kỳ thi HSG, tam thức bậc 2 là cái gì =))

Mà điểm rơi đâu mà tìm được thế =))

 

[riverflowsinyou1]

Yolo em tìm được điểm rơi rồi các bác ạ! )

$a=0 b=\dfrac{12}{23} c=\dfrac{18}{23}$

Mà tam thức bậc 2 lớp 8 chưa học mà :|

Điểm rơi đúng rồi đấy )
Và đây là lời giải =))
$a^2(b-c) \le 0$
$b^2(c-b)=\frac{1}{2}.b.b.(2c-2b) \le \frac{1}{2}.(\frac{b+b-2c-2b}{3})^3=\frac{4c^3}{27}$
\Rightarrow $A \le \frac{4c^3}{27}+c^2(1-c)=c^2-\frac{23}{27}.c^3=c^2(1-\frac{23}{27}.c)=\frac{54^2}{23^2}.c^2.(1-\frac{23}{27}.c) \le \frac{1}{3^3}.\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}$

 

[riverflowsinyou1]

Chuyên Quốc Học 2013-2014
Cho $a+b \le 2$ và $a,b>0$
C/m $\frac{(a+1)^6}{b^5}+\frac{(b+1)^6}{a^5} \ge 128$

 

[riverflowsinyou1]

Chuyên Quốc Học 2013-2014
Cho $a+b \le 2$
C/m $\frac{(a+1)^6}{b^5}+\frac{(b+1)^6}{a^5} \ge 128$

Chưa thánh nào giải hả b-(
$VT \ge \frac{(2.\sqrt{a})^6}{b^5}+\frac{(2.\sqrt{b})^6}{a^5}=64.(\frac{a^3}{b^5}+\frac{b^3}{a^5}) \ge 64.2.\frac{1}{ab} \ge 128$

 

[riverflowsinyou1]

Đề TS ĐHSP Hà Nội năm 2014-2015
Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$. C/m
$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \le \frac{3}{4}$

 

[ronaldover7]

Chưa thánh nào giải hả b-(
$VT \ge \frac{(2.\sqrt{a})^6}{b^5}+\frac{(2.\sqrt{b})^6}{a^5}=64.(\frac{a^3}{b^5}+\frac{b^3}{a^5}) \ge 64.2.\frac{1}{ab} \ge 128$

Sai zồi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a,b chắc gì \geq 0 mà cauchy!

 

[ronaldover7]

Đề TS ĐHSP Hà Nội năm 2014-2015
Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$. C/m
$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \le \frac{3}{4}$

$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{a}{1+ab+2a}+\frac{ab}{1+2ab+a} \le \frac{3}{4}$
\Rightarrow $\frac{1}{ab+a+2}-1+\frac{a}{1+ab+2a}-1+\frac{ab}{1+2ab+a}-1 \le \frac{3}{4}-3$
\Rightarrow $\frac{-ab-a-1}{ab+a+2}+\frac{-ab-a-1}{1+ab+2a}+\frac{-ab-a-1}{1+2ab+a} \le \frac{-9}{4}$
\Rightarrow $\frac{ab+a+1}{ab+a+2}+\frac{ab+a+1}{1+ab+2a}$ + $\frac{ab+a+1}{1+2ab+a}$ \geq $\frac{9}{4}$
\Rightarrow $(ab+a+1)(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{1+ab+2a}+\frac{1}{1+2ab+a})$ \geq $\frac{9}{4}$
\Rightarrow $(4ab+4a+4)(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{1+ab+2a} $+$ \frac{1}{1+2ab+a})$ \geq $9$(đúng)

 

[riverflowsinyou1]

Cho $3$ số $a,b,c$ sao cho $0 \le a \le b \le c \le 1$. Tìm GTLN
$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

 

[thinhrost1]

Cho $3$ số $a,b,c$ sao cho $0 \le a \le b \le c \le 1$. Tìm GTLN
$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

$(a+b+c+3)(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{ c+1}) \ge (1+1+1)^2=9$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$

P/s: Có ai giải được bằng BDT trê bư sép không ạ

 

[riverflowsinyou1]

$(a+b+c+3)(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{ c+1}) \ge (1+1+1)^2=9$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$

P/s: Có ai giải được bằng BDT trê bư sép không ạ

) GTLN mà ................................................................

 

[su10112000a]

Bài 1:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thì luôn có:
$a^2+b^2+c^2 +2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca)$
P/s:bác nào biết cách giải bài này mà ko sử dụng Dirichlet thì đăng lên cho em tham khảo nhá=)).
Bài 2: Bài này vẫn còn đơn giản với trình của mấy bác=)):
Với mọi $a, b, c > 0$ ta có bđt:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 

[thinhrost1]

Bài 1:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thì luôn có:
$a^2+b^2+c^2 +2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca)$
P/s:bác nào biết cách giải bài này mà ko sử dụng Dirichlet thì đăng lên cho em tham khảo nhá=)).

1) Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh. )

 

[su10112000a]

Bài 2: Bài này vẫn còn đơn giản với trình của mấy bác=)):
Với mọi $a, b, c > 0$ ta có bđt:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

giải luôn bài này vậy=)):
ta có:
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
lại có: $9abc \le (a+b+c)(ab+bc+ca)$ (cài này dùng Cauchy)
$\rightarrow abc \le \dfrac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Suy ra: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\rightarrow \mathfrak{dpcm}$

 

[riverflowsinyou1]

1) Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh. )

Không hiểu cho lắm giải thích đi................................................

 

[su10112000a]

1) Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$

ta có:
$\dfrac{9abc}{a+b+c} \le \dfrac{9abc}{3\sqrt[3]{abc}} = 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

 

[huynhbachkhoa23]

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$

$a^2+b^2=c^2+d^2=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sqrt{5-a-2b}+\sqrt{5-c-2d}+\sqrt{5-ac-bd}$

Tìm được điểm rơi với chọn được phương pháp làm đúng thì cũng là thánh rồi =))