[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[c_c]

[TEX]2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{8+2x-x^2}=x[/TEX]
nội dung quá ngắn...................

ĐK:...
$$<=> 2\sqrt{x^2+3}-(x+3)-(\sqrt{8+2x-x^2}-3)=0$$
$$<=>\frac{3(x-1)^2}{2\sqrt{x^2+3}+x+3}+\frac{(x-1)^2}{\sqrt{8+2x-x^2}+3}=0$$ Nhân liên hợp ko điều kiện, hệ còn lại chưa giải quyết
=>x=1 TM

[TEX]\left{ x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25 \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9 \\ x^2 +xz + z^2 =16[/TEX]

[TEX]\red \text{Tinh P= xy + 2yz +3xz} [/TEX]

nhóm P với hệ bên trên thành hằng đẳng thức |.............../

 

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]\left{ x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25 \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9 \\ x^2 +xz + z^2 =16[/TEX]

[TEX]\red \text{Tinh P= xy + 2yz +3xz} [/TEX]

---------------THTT (8/2010)-------------

Đã có 8/2010 rùi àh !
Bài nì ngày xưa từng làm:
Ta có:[TEX] { x^2 + xy + \frac{y^2}{3}=\frac{y^2}{3} + z^2+x^2 +xz + z^2[/TEX]
=>[TEX] 2z^2=x(y-z)[/TEX]
Từ điều này, thay vào biểu thức của P^2 và 1 hổi biến đổi tương đối phức tap ta sẽ đc:

[TEX]P^2=12(\frac{y^2}{3} + z^2)(x^2 +xz + z^2)=12.9.12[/TEX]
==> [TEX]P=24\sqrt{3}[/TEX]

Ai biến đổi đc P^2 thành như thế kia post lên nhaz!

Còn bài pt của t, học sih giỏi quốc gia phải làm đến 2 mặt giấy@-)
Hỏi các pác xem có cách nào hay k??? ^^

 

[duynhan1]

Phương pháp được nhắc đến ở đây là hình học ;. Ngắn gọn .

 

[minhkhac_94]

giaosu_fanting_thientai bạn post tắt lời giải bài pt được ko :-/

 

[giaosu_fanting_thientai]

Phương pháp được nhắc đến ở đây là hình học ;. Ngắn gọn .

Thế thì là đường tròn rùi!!!
...........................................................

Tam giác )
Định lý hàm cos

 

[minhkhac_94]

[TEX]2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{8+2x-x^2}=x[/TEX]
nội dung quá ngắn...................

Bài này chắc bình phương lên ra phương trình bậc 4 giải ngon

 

[quyenuy0241]

Thế thì là đường tròn rùi!!!
...........................................................

Rất tiếc không phải là đường tròn.

mà là Hệ Thức Lượng trong tam giác bài này vẽ hình ra là thấy liền

Bài tiếp :

Giải HPT:


[tex]\left{x^2+6y=6x \\ y^2+9=2xy [/tex]

 

[connguoivietnam]

[TEX]x^2+6y=6x(1)[/TEX]

[TEX]y^2+9=2xy(2)[/TEX]

từ [TEX](1)[/TEX]

[TEX]x^2+6y=6x[/TEX]

[TEX]x^2=6(x-y)[/TEX]

từ [TEX](2)[/TEX]

[TEX]y^2+9=2xy[/TEX]

[TEX]y^2-2xy+x^2=x^2-9[/TEX]

[TEX](x-y)^2=x^2-9[/TEX]

thay [TEX](1)[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX] thì

[TEX]\frac{x^4}{36}=x^2-9[/TEX]

[TEX]x^4=36x^2-324[/TEX]

[TEX](x^2-18)^2=0[/TEX]

[TEX]x^2=18[/TEX]

[TEX]x=3\sqrt{2} \Rightarrow y=[/TEX]

[TEX]x=-3\sqrt{2} \Rightarrow y=[/TEX]

Sao không đưa về PT bậc 2 ẩn là $$(x-y)^2-6(x-y)+9=0 \leftrightarrow (x-y-3)^2=0$$ Nhỷ.

Đơn giản hơn chút còn gì!

 

[quyenuy0241]

giải PT: $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ .

 

[mu_di_ghe]

giải PT: $$x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$$ .

[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x-1})^2 +\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=5[/TEX]

------

Bài toán tổng quát

[TEX]x^2+\sqrt{a+x}=a[/TEX]

Đặt [TEX]t=\sqrt{a+x}[/TEX] ta có hệ
[TEX]\left { t^2-x=a \ \ \ (1) \\ x^2+t=a \ \ \ (2)[/TEX]

Thế (2) vào (1) thu được [TEX]t^2-x=x^2+t \Leftrightarrow (x+t)(x-t+1)=0[/TEX]
...........

 

[quyenuy0241]

GPT:

[tex]\left{x_1^3+x_2^3+...+x_9^3=0 \\ x_1+x_2+...+x_9=0 \\ x_i \in [-1,1] [/tex]

 

[huynhtantrung]

$$x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6$$
$$sqrt{4x +5} +sqrt{y^2 + 8}=6$$

 

[duynhan1]

GPT:

[tex]\left{x_1^3+x_2^3+...+x_9^3=0 \\ x_1+x_2+...+x_9=0 \\ x_i \in [-1,1] [/tex]

Theo [TEX]chebsev[/TEX] :
[TEX]x_1^3+x_2^3+...+x_9^3 \ge \frac19 ( x_1+x_2+...+x_9 ) \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x_1 = ...= x_9 \\ x_1+.. + x_9 = 0 \Leftrightarrow x_1=...x_9=0 [/TEX]

Hình như sai ( cái pt thứ 3 sao ko đụng đến

 

[ngomaithuy93]

$$x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6 (1)$$
$$sqrt{4x +5} +sqrt{y^2 + 8}=6$$

[TEX](1) \Leftrightarrow x^5-(y^2)^5=y^4(y^2-x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y^2)(x^4+x^3y^2+x^2y^4+xy^6+y^8)+(x-y^2).y^4=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{x=y^2}\\{x^4+x^3y^2+x^2y^4+xy^6+y^8+y^4=0}[/TEX]
.............

 

[mu_di_ghe]

Theo [TEX]chebsev[/TEX] :
[TEX]x_1^3+x_2^3+...+x_9^3 \ge \frac19 ( x_1+x_2+...+x_9 ) \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x_1 = ...= x_9 \\ x_1+.. + x_9 = 0 \Leftrightarrow x_1=...x_9=0 [/TEX]

Hình như sai ( cái pt thứ 3 sao ko đụng đến

Tại bạn chưa để ý đến điều kiện áp dụng Chebsev :
Do [TEX]x_i \in [-1;1][/TEX] nên nếu [TEX]x_i>x_j[/TEX] thì chưa chắc [TEX]x_i^2>x_j^2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

thay đổi 1 chút đc đề mới hay hơn $$very-hay$$:

[tex]\left{x_1^3+x_2^3+...+x_9^3=0 \\ x_1+x_2+..+x_9=3 \\ x_i \in [-1,1] [/tex]

 

[minhkhac_94]

Theo [TEX]chebsev[/TEX] :
[TEX]x_1^3+x_2^3+...+x_9^3 \ge \frac19 ( x_1+x_2+...+x_9 ) \sum_{i=1}^n x_i^2 = 0 [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x_1 = ...= x_9 \\ x_1+.. + x_9 = 0 \Leftrightarrow x_1=...x_9=0 [/TEX]

Hình như sai ( cái pt thứ 3 sao ko đụng đến

Dùng Cauchy-schwarz đi đỡ phải cm chebyshev mệt lắm
Nếu $$x_i$$ thuộc đoạn [0;1]
$$0=\sum{x_i}.\sum{x_i^3} \geq (\sum{x_i^2})^2$$
$$=>x_1=x_2=...=0$$
Nếu $$x_i$$ thuộc đoạn [-1;0]
có $$0=\sum{\sqrt{-x_i}^2}.\sum{\sqrt{-x_i^3}^2} \geq (\sum{\sqrt{x_i^4}})^2$$
$$=>x_1=x_2=...=0$$

thay đổi 1 chút đc đề mới hay hơn $$very-hay$$:

[tex]\left{x_1^3+x_2^3+...+x_9^3=0 \\ x_1+x_2+..+x_9=3 \\ x_i \in [-1,1] [/tex]

Cái này hình như cũng thế mà

Giả sử sai giả sử kiểu này :-ss 2^9 TH :-ss

__________________________________________________

 

[lamtrang0708]

giải pt
[TEX]\mathit{ \Large \frac{x^2}{\sqrt{5x+4}} + \sqrt{5x+4} = \frac{4x}{3}+2 [/TEX]
P/S tex hộ tớ

 

[duynhan1]

giải pt
[TEX]\mathit{ \Large \frac{x^2}{\sqrt{5x+4}} + \sqrt{5x+4} = \frac{4x}{3}+2 [/TEX]
P/S tex hộ tớ

[TEX]DK: \ \ x \ge -\frac45 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Large 3( x^2 + 5x + 4) = 2( 2x + 3 ) \sqrt{5x+4} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Large 3x^2 + 3x - 6 = 2(2x+3) ( \sqrt{5x+4}-3)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Large 3( x-1)(x+2) = 2(2x+3) \frac{5(x-1)}{\sqrt{5x+4} +3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Large \left[ x = 1 \\ 3( x+ 2) = \frac{10( 2x +3)}{\sqrt{5x+4} +3} [/TEX]

Giải (2) :

[TEX] \Leftrightarrow \Large 3(x+2)\sqrt{5x+4} + 9 (x+2) = 20 x + 30 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3(x+2)\sqrt{5x+4} = 11 x + 12 [/TEX](*)

Do dk nên ta có :

(*)[TEX]\Large \Leftrightarrow 9 ( x+ 2)^2( 5x + 4) = 11 x + 12 [/TEX]

Bấm máy tính =)) =))

 

[duynhan1]

Giải bài biện luận để rèn cẩn thận )

[TEX]\sqrt{x-a} +\sqrt{x+a} = a[/TEX]