[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[puu]

Pt của các em lớp 9 ạ:

1.[TEX](x^2-x+1)^4+5x^4=6x^2(x^2-x+1)^2[/TEX]

2.[TEX]\sqrt{5-x^6}-\sqrt[3]{3x^4-2}=1[/TEX]

3. [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x^4+y^4+z^4=xyz \end{array} \right.[/TEX]

cái câu 1 thì
đặt [TEX]x^2=a; (x^2-x+1)=b[/TEX]

PT \Leftrightarrow[TEX]a^2+5b^2=6ab[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a-5b)(a-b)=0[/TEX]
câu 2 nhận thấy x=1 là nghiệm nên biến đổi thành
[TEX]\sqrt{5-x^6}-2+1-\sqrt[3]{3x^4-2}=0[/TEX]
nhân liên hợp
vs dạng toán này thì các bạn 12 có thể áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải
chưa thử mà chắc đc

 

[duynhan1]

3. [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x^4+y^4+z^4=xyz \end{array} \right.[/TEX]

Theo Chepsev:
[TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq \frac13(x+y+z)(x^3+y^3+z^3) \ge xyz[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x= y =z [/TEX]

 

[minhkhac_94]

Pt của các em lớp 9 ạ:

3. [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x^4+y^4+z^4=xyz \end{array} \right.[/TEX]

[TEX]x^4 + y^4 + z^4 \geq x^2y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \geq xyz(x+y+z) = xyz[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=y=z[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[tex]\left{x=(y-1)^2 \\ y=(z-1)^2 \\ z=(t-1)^2 \\ t=(x-1)^2 [/tex]

 

[giaosu_fanting_thientai]

1.[TEX] (3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3x}{2}-3[/TEX]

2. [TEX]\sqrt{x+3}=\frac{x}{2}-\frac{7}{2x}+5[/TEX]

3. [TEX]\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})[/TEX]

4. [TEX]10x^2+3x+1=\sqrt{x^2+3x}(1+6x)[/TEX]

 

[duynhan1]

3. [TEX]\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})[/TEX]

[TEX]\mathrm{ Dat :\ \ sin t = x \ \ ( t \in [\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ] ) [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow \sqrt{1+ cos t} = sin t ( 1 + 2 cos t)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2} cos {\frac{t}{2}} = 2 sin{\frac{t}{2}} cos {\frac{t}{2}} ( 1 + 2cos t) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ cos {\frac{t}{2}} = 0 \\ 2cos {\frac{t}{2}} + 2 ( cos {\frac{t}{2}} + cos {\frac{3t}{2}} = \sqrt{2} [/TEX](*)
Giải (2) :
[TEX]\Leftrightarrow 4 cos {\frac{t}{2} } + 2 cos {\frac{3t}{2}} = \sqrt{2}[/TEX]

[TEX]y= cos{\frac{t}{2} } \Rightarrow 4y +2 ( 4y^3 - 3y) = \sqrt{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8y^3 - 2y - \sqrt{2} = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2t - \sqrt{2} )(4t^2 + 2\sqrt{2} t + 1 ) = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos (\frac{t}{2} ) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]

(*) [TEX]\Leftrightarrow \left[ cos(\frac{t}{2} ) =0 \\ cos (\frac{t}{2} ) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[vivietnam]

1.[TEX] (3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3x}{2}-3[/TEX]

bài 1
pt \Leftrightarrow [TEX]2.(3x+1).\sqrt{2.x^2-1}=10.x^2+3x-6[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4.(\sqrt{2.x^2-1})^2-2.(3x+1).\sqrt{2x^2-1}+2x^2+3x-2=0[/TEX]
ta coi [TEX]\sqrt{2x^2-1} [/TEX] là ẩn phụ thì ta có

[tex]\large\Delta'[/tex]= [TEX](3x+1)^2-4.(2x^2+3x-2)=(x-3)^2[/TEX]
\Rightarrow phương trình có 2 nghiệm là [TEX]\frac{4x-2}{4}[/TEX]
và [TEX]\frac{2x+4}{4}[/TEX]
ta có 2 trường hợp là
[TEX]\sqrt{2x^2-1}=\frac{4x-2}{4}[/TEX]
hoặc [TEX]\sqrt{2x^2-1}=\frac{2x+4}{4}[/TEX]
giải 2 phương trình này là được

 

[quyenuy0241]

Giải Phương trình :

[tex]x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} [/tex] .

 

[duynhan1]

Giải Phương trình :

[tex]x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} [/tex] .

[TEX]DK : x \ge 1 [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow x - \sqrt{ 1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{x- \frac{1}{x} }[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2 + 1 - \frac{1}{x} - 2 \sqrt{x^2 - x} = x - \frac{1}{x} [/TEX](do dk [TEX]x \ge 1[/TEX])

[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2 - x}-1)^2 = 0 [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Giải hệ PT:

[tex]\left{\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}-y^2=3 \\ \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})+2y=3 [/tex]

@: Mấy hum trước ít onl , đi chôm chỉa mấy con HPT khá hay )

.

[tex]\left{\sqrt{12-2x^2}=y+4 \\ \sqrt{1-2y-y^2}=5-2x [/tex]

 

[quyenuy0241]

Thôi post nốt bài lấy số lượng

[tex]\sqrt[3]{x^2-1}+2= \sqrt{x^3-2} [/tex]

Nhớ là phải giải đến cùng , không dừng lại khi tìm ra 1 nghiệm)

 

[ngomaithuy93]

Giải hệ PT:[tex]\left{\sqrt{12-2x^2}=y+4 \\ \sqrt{1-2y-y^2}=5-2x [/tex]

Bình phương cả 2 pt, trừ cho nhau đc: [TEX]y=\frac{x^2-10x+10}{3}[/TEX]
Thế vào pt (1) đc:
[TEX]3\sqrt{12-2x^2}=x^2-10x+22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(\sqrt{12-2x^2}-2)=x^2-10x+16[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{6(4-x^2)}{\sqrt{12-2x^2}+2}=(x-2)(x-8)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{x=2}\\{x-8+\frac{6(x+2)}{\sqrt{12-2x^2}+2}=0}[/TEX]
.... \Rightarrow y

 

[minhkhac_94]

Cho x,y,z thoả mãn [tex]\left{x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x)[/tex]

Tính [tex]S=x+y+z [/tex]

Giải phương trình !
[tex]\left{\begin{x^2+xy+y^2=4 \\ x^2+xz+y^2=9 \\ y^2+z^2+xz=25 [/tex]

Giải phương trình !
[tex]\left{\begin{x^2+xy+y^2=4 \\ x^2+xz+y^2=9 \\ y^2+z^2+xz=25 [/tex]
Đặt x=4cos^2a 0<a<\pi/4

Làm rõ được ko

 

[giaosu_fanting_thientai]

1. [TEX]\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}=x[/TEX]

2. [TEX]\left{\begin{x^2-xy+1=0}\\{x^2+2x+y^2+2y+1=0}[/TEX] ==> Dễ

 

[lagrange]

QUOTE=giaosu_fanting_thientai;1249252]1. [TEX]\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}=x[/TEX]

2. [TEX]\left{\begin{x^2-xy+1=0}\\{x^2+2x+y^2+2y+1=0}[/TEX] =[/QUOTE]
1/[tex]a=\sqrt{2-x};b=\sqrt{3-x};c=\sqrt{5-x};(a;b;c \ge 0)[/tex]
[tex]\left\begin\{ab+bc+ca=2-a^2\\{ab+bc+ca=3-b^2\\{ab+bc+ca=5-c^2}[/tex]
[tex]\left\begin\{(a+c)(a+b)=2\\{(b+c)(b+a)=3\\{(c+a)(c+b)=5}[/tex]
[tex]=>(a+c)(b+a)(c+b)=\sqrt{30}[/tex]
[tex]<=>\left\begin\{a+b=\sqrt{\frac{6}{5}}\\{b+c=\sqrt{\frac{15}{2}}\\{c+a=\sqrt{\frac{10}{3}}}[/tex]
tới đây chỉ việc giải hệ 3 3 ẩn bằng phép thế là có kết quả bài này đã từng xuất hiện trong tạp chí toán học tuổi trẻ

bài hệ
lấy (2)-(1)
2/[tex]\left\begin\{2(x+y)+y(x+y)=0\\{x^2-xy+1=0}[/tex]
[tex]\left\begin\{(x+y)(2+y)=0\\{x^2-xy+1=0}[/tex]

 

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^2=-3}\\{\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24}[/TEX]

 

[lagrange]

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^2=-3}\\{\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24}[/TEX]

Điều kiện cần:
ta thấy [tex]x_{o}[/tex] là 1 nghiệm của pt thì [tex]32-x_{o}[/tex] cũng là nghiệm của phương trình đã cho:
[tex]=>x_{o}=16[/tex]
Thay [tex]x_{o}[/tex] vào pt (2) của hệ pt [tex]=>y=3[/tex]
thay nghiệm [tex](x;y)= (16;3)[/tex] vào pt (1) của hệ thấy thỏa mãn
Điều kiện đủ:
giả sử phương trình thứ (2) của hệ có nghiệm [tex]y=3[/tex] thay [tex]y=3[/tex] vào pt (2)
pt (2) [tex]<=>\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}=6[/tex]
ta chứng minh pt này có nghiệm [tex]x_{o}=16[/tex]
bài toán trở thành giải pt sau :
[tex]\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}=6[/tex]
đặt [tex]u=\sqrt[4]{x};v=\sqrt{32-x}[/tex]
ta đưa về hệ pt
[tex]\left\begin\{u+v=6\\{u^4+v^2=32}[/tex]
hệ này cho ta nghiệm duy nhất [tex]x_{o}=16[/tex]
từ điều kiện cần và đủ kết hợp với nhau
[tex]=>[/tex] pt có nghiệm duy nhất [tex](x;y)=(16;3)[/tex]

 

[lagrange]

[tex]\left{x=(y-1)^2 \\ y=(z-1)^2 \\ z=(t-1)^2 \\ t=(x-1)^2 [/tex]

Do vế phải của hệ phương trình không âm nên hệ chỉ có nghiệm [tex]x;y;z;t \ge 0[/tex]
Xét hàm số :[tex]f(s)=(s-1)^2<=>f'(s)=2(s-1) [/tex] Do đó hàm số tăng trên khoảng [tex](1;+\infty)[/tex] và giảm trên Đoạn [tex][0;1][/tex](Do f(s) liên tục trên R)
Gỉa sử
[tex]x=min(x;y;z;t)[/tex]
Nếu [tex]x \in (1;+\infty) =>(x;y;z;t) \in (1;+\infty)[/tex]
[tex]=>x=y=z=t=\frac{2+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Nếu [tex]x \in [0;1]=>0 \le f(x) \le 1=>0 \le y \le 1[/tex] Hay [tex]y \in [0;1][/tex] Tương tự [tex]z;t \in [0;1][/tex]
Vậy [tex]x;y;z;t \in [0;1][/tex]
[tex]x \le y =>f(x) \ge f(y)=>y \ge z=>f(y) \le f(z) =>z \le x=>x=z[/tex]
[tex]=>x=z[/tex]
lúc đó hệ trở thành:
[tex]\left\begin\{(x-1)^2=y\\{(y-1)^2=x}[/tex]
Kết luận pt có 2 nghiệm [tex]x=y=z=t=\frac{2+\sqrt{5}}{2}[/tex] và [tex]x=y=\frac{2-\sqrt{5}}{2}[/tex]

 

[jerusalem]

thêm một bài của các em lớp 9

[tex]\frac{x+1}{x^2+2x}+\frac{x+6}{x^2+12x+35}=\frac{x+2}{x^2+4x+3}+\frac{x+5}{x^2+10x+24}[/tex]

trùng thì xoá luôn nhé

 

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt[4]{x+80}[/TEX]

Gửi bài này không quên mất!

2 bài này chưa giải quyết

Thôi post nốt bài lấy số lượng

[tex]\sqrt[3]{x^2-1}+2= \sqrt{x^3-2} [/tex]

Nhớ là phải giải đến cùng , không dừng lại khi tìm ra 1 nghiệm)

Giải hệ PT:

[tex]\left{\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}-y^2=3 \\ \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})+2y=3 [/tex]

[TEX]10x^2+3x+1=\sqrt{x^2+3x}(1+6x)[/TEX]

Bài nì có cách nhưng k hey.
Bài trên thì đang còn nghiên cứu!!!