[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Là phần luôn có mặt trong các cuộc thi từ tốt nghiệp đến thi đại học, olympic và học sinh giỏi, vì vậy em nghĩ cần phải lập ra topic này để cùng nhau thảo luận về chuyên đề này . Mong các bạn ủng hộ!

Thanks!!​

 

Mở màn vài con

1.[TEX]\left{\begin{2y^3-7y^2+8y-2=z}\\{2x^3-7x^2+8x-2=y}\\{2z^3-7z^2+8z-2=x} [/TEX]

2..[TEX]\left{\begin{3xy=2(x+y)}\\{5z=6(y+z)}\\{4zx=3(z+x)} [/TEX]

3.[TEX]\left{\begin{xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2}\\{x^6+y^6+z^6=3} [/TEX]

4.[TEX]\left{\begin{xy+x+y=11}\\{yz+y+z=5}\\{zx+z+x=7} [/TEX]

5.[TEX]\left{\begin{x(x+y+z)=2-yz}\\{y(x+y+z)=3-zx}\\{z(x+y+z)=6-xy} [/TEX]

6.[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+z^2=1}\\{x^2+y^2-2xxy+2yz-2xz+1=0} [/TEX]

7.[TEX]\left{\begin{3.|x|^3+|y|+x^2=4}\\{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x+y^2}=1} [/TEX]

8.[TEX]\left{\begin{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+y}=3}\\{\sqrt{x}+\sqrt{(x-4)^2}+5=\sqrt{5}} [/TEX]

9.[TEX]\left{\begin{y^3+x^2=\sqrt{64-x^2y}}\\{(x^2+2)^3=y+6} [/TEX]

10.[TEX]\left{\begin{3x^2+2x-1<0}\\{x^3-3x+1>0} [/TEX]

 

Hình như đánh thiếu, tự sửa lại . Hệ trên tương đương với :

[TEX]\left{ \begin{2 \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{y} = 3 }\\{6 \frac{1}{y} + 6 \frac{1}{z} = 5 }\\{3 \frac{1}{y} + 3 \frac{1}{z} = 4 }[/TEX]

(1) nhân 3, (2) nhân 1, (3) nhân 2 cộng lai tính tổng rồi trừ ra

Ta có BDT sau đây với mọi x,y,z:

nên từ (1) suy ra [TEX]x=y=z[/TEX]

Hệ tương đương với:
[TEX]\left{\begin{(x+1)(y+1)=12}\\{(y+1)(z+1)=6}\\{(z+1)(x+1)=8} [/TEX]

[TEX]((x+1)(y+1)(z+1))^2 = 24^2[/TEX]

[TEX]\left{\begin{3x^2+2x-1<0}\\{x^3-3x+1>0} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{-1 < x < \frac13 (1)}\\{x^3-3x+1>0(2)} [/TEX]

[TEX]TH1: -1 < x \leq 0 \Rightarrow \left{3x >0}\\{x^3+1>0} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (2) [/TEX] luôn đúng

[TEX]TH2: 0 < x < \frac13 \Rightarrow 1- 3x > 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (2) [/TEX] luôn đúng

Vậy hệ bpt có tập nghiệm [TEX]S= (0; \frac13)[/TEX]

 

hpt \Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{(x+1)(y+1)=12}\\{(y+1)(z+1)=6}\\{(z+1)(x+1)=8}[/TEX]
nhân vế vs vế 3 ft ta có [TEX](x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=576[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+1)(y+1)(z+1)=+-24[/TEX](*)
chia (*) cho từng ft của hệ \Rightarrowz=1;x=3;y=2

 

Uhm, cảm ơn mọi người

Giải các HPT sau:

1. [tex]\left{\begin{x^2(y+1)(x+y+1)=3x^2-4x+1 \\ xy+x+1=x^2 [/tex]



2.[TEX]\left{\begin{y^2=(5x-4)(4-x) \\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0[/TEX]

3.[TEX]\left{\begin{x^2+3y=9 \\ y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0[/TEX]


Vẫn còn nữa ,Hết lại post.

 

[tex].\left{\begin{2y^3-7y^2+8y-2=z}\\{2x^3-7x^2+8x-2=y}\\{2z^3-7z^2+8z-2=x} [/tex]
uk, cộng vế theo vế, rồi chuyển biến 1 bên, hằng số 1 bên, gộp biến chung lại vs nhau rồi giải

[tex]\left{\begin{3x^2+2x-1<0}\\{x^3-3x+1>0} [/tex]
giải theo cách lớp 10 ok chứ nhỉ
nếu thế thì hptvn

[tex]\left{\begin{y^3+x^2=\sqrt{64-x^2y}}\\{(x^2+2)^3=y+6} [/tex]
đưa về dạng HĐT ở [tex]\sqrt{64-x^2y}[/tex]

 

[tex] \left{\begin{x^2(y+1)(x+y+1)=3x^2-4x+1 \\ xy+x+1=x^2 [/tex]
pt đầu nhân vào
hệ đó chuyển vế giải bt

[tex]\left{\begin{y^2=(5x-4)(4-x) \\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0[/tex]
ờ thì sao nhở
hjx chửa nghĩ ra

 

6,
Ta có:[TEX] -1 \leq x,y,z \leq1[/TEX]
[TEX]x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+1\geq x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+z^2=(y+z-x)^2 \geq 0[/TEX]
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
[TEX]\left{\begin{z^2=1}\\{y+z=x}[/TEX]
Mà[TEX] x^2+y^2+z^2=1 \Rightarrow x=y=0[/TEX] \Rightarrow vô lý
Nên PT vô nghiệm
8,
Đề sai
[TEX]\sqrt{x}+\sqrt{(x-4)^2}+5=\sqrt{5}[/TEX]

 

[TEX]\left{\begin{(x+y)(x+z)=2 \\ (y+z)(y+z)=3 \\ (z+y)(z+x)=6[/TEX]

NHân Vô

 

típ tục

[TEX]\left{\begin{|xy-4|=8-y^2 \\ xy=2+x^2[/TEX]


[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+\frac{4xy}{x+y}=x+y+2 \\ \sqrt{x+y}+1=y+x^2[/TEX]


[TEX]\left{\begin{\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(3y^2+x^2)\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4)[/TEX]

 

[TEX]DK : y^2 \leq 8[/TEX]

x= 0 ko là nghiệm
Từ (2)
[TEX]\Rightarrow y = x + \frac{2}{x} [/TEX]

Áp dụng Cô si:
Với [TEX]x<0[/TEX]

[TEX]y \leq - 2 \sqrt{2}[/TEX]. Kết hợp điều kiện [TEX]y = -2\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = -\sqrt{2}[/TEX].
Thử lại là nghiệm của hệ

Với [TEX]x>0[/TEX]

[TEX]y \geq 2 \sqrt{2}[/TEX]. Kết hợp điều kiện [TEX]y = 2\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = \sqrt{2}[/TEX].
Thử lại là nghiệm của hệ

Hệ có tập nghiệm S={[TEX](-\sqrt{2};-2\sqrt{2}) ; (\sqrt{2};2\sqrt{2}) [/TEX]}

 

[TEX](*) \Leftrightarrow (x+y)^2-2xy+\frac{4xy}{x+y}=x+y+2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2-(x+y)-2=xy(2-\frac{4}{x+y})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y-2)(x+y+1)=(x+y-2).\frac{2xy}{x+y}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{x+y=2 (1)}\\{x+y+1=\frac{2xy}{x+y} (2)}[/TEX]

[TEX] (1) \Rightarrow \left{{x+y=2}\\{\sqrt{x+y}+1=y+x^2}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow x^2-x+1-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \left[{x=\frac{1+\sqrt{4\sqrt{2}-3}}{2}}\\{x=\frac{1-\sqrt{4\sqrt{2}-3}}{2}} \Rightarrow y[/TEX]

[TEX] (2) \Rightarrow \left{{x+y+1=\frac{2xy}{x+y}}\\{\sqrt{x+y}+1=y+x^2}[/TEX]
..........|

 

Giải BPT
B1.
[TEX]4.|2x-1|.(x^2-x+1)>x^3-6x^2+15x-14[/TEX] .

 

[TEX]Bpt \Leftrightarrow |8x^3-12x^2+12x-4|>x^3-6x^2+15x-14[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{7x^3-6x^2-3x+10>0 (x>\frac{1}{2})}\\{9x^3-18x^2+27x-18<0 (x<\frac{1}{2})}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{x>\frac{1}{2}}\\{x<\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x \not= \frac{1}{2}[/TEX]

 

Thêm 2 bài mới
[TEX]1/ \left{ \begin{1+x^3y^3=19x^3}\\{y+xy^2 = -6 x^2}[/TEX]

Đại học thương mại -2001​

[TEX]2/ \left{ \begin{3x^2 + 2y^2 - 4xy = 11 - \frac{1}{y} ( 2x+ \frac{1}{y} ) }\\{2x + \frac{1}{y} - y = 4}[/TEX]

Đề thi thử đại học lần 3 THPT Sào Nam​

 

[TEX]1/ \left{ \begin{1+x^3y^3=19x^3}\\{y+xy^2 = -6 x^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1/ \left{ \begin{\frac{1}{x^3}+y^3=19}\\{\frac{1}{x}+y = -6 \frac{x}{y}}[/TEX]
Đặt a=1\x; b=y, ta có hệ
[TEX] \left{ \begin{a+b = \frac{-6}{ab}}\\{(a+b)[(a+b)^2-3ab] = 19}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ \begin{ab=-6}\\{(a+b)= 1}[/TEX]
Vậy hệ có 2 nghiệm a=3;b=-2 hoặc a=-2; b=3 nên x=1/3; y=-2 hoặc x=-1/2; y=3

[TEX]2/ \left{ \begin{3x^2 + 2y^2 - 4xy = 11 - \frac{1}{y} ( 2x+ \frac{1}{y} ) (1)}\\{2x + \frac{1}{y} - y = 4 (2)}[/TEX]
Từ phương trình 2, ta có
[TEX]4x^2+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{4x}{y}-4xy-2=16 (3)[/TEX]
[TEX]x=\frac{4y+y^2-1}{2y} \Rightarrow \frac{2x}{y}=\frac{4y+y^2-1}{y^2}=\frac{16y+4y^2-4}{4y^2}[/TEX]
[TEX]x^2=\frac{(4y+y^2-1)^2}{4y^2}=\frac{y^4+16y^2+1+8y^3-2y^2-8y}{4y^2}[/TEX]
Lấy phương trình (3) trừ phương trình (1), ta có
[TEX]x^2-y^2+\frac{2x}{y}=7 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{-3y^4+8y^3+18y^2+8y-3}{4y^2}=7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3y^4-8y^3+10y^2-8y+3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3y^2(y-1)^2-2y(y-1)^2+3(y-1)^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (3y^2-2y+3)(y-1)^2=0[/TEX]

 

[TEX]1/ \left{ \begin{1+x^3y^3=19x^3}\\{y+xy^2 = -6 x^2}[/TEX]

Đại học thương mại -2001​

xét [TEX]x=0[/TEX] => vn
xet[TEX] y=0[/TEX] => vn
xét [TEX]x# 0 y#0 xy#-1[/TEX]
[TEX]1/ \left{ \begin{(1+xy)(1-xy+x^2y^2=19x^3}\\{y(1+xy) = -6 x^2}[/TEX]
lấy pt 1:2
[TEX](I)<=> (1-xy+x^2y^2)/y = -19x/6[/TEX]
[TEX]<=> 6x^2.y^2 +13xy+6 =0[/TEX]
=> [TEX]\left[\begin{xy=-2/3}\\{xy=-3/2}[/TEX]
TH2 [TEX]xy=-2/3. [/TEX]Thay vào pt 1 và 2=>[TEX]x = 1/3; y=-2[/TEX]TH1 xy=-3/2.=> [TEX]x=-1/2; y=3[/TEX]

 

Một vài con khác



[TEX]\left{\begin{4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=7 \\ 2x+\frac{1}{x+y}=3[/TEX]


[TEX]\left{\begin{x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 \\ y.\sqrt{x^2-y^2}=12[/TEX]


[TEX]\left{\begin{2x^3+3yx^3=8 \\ 2(xy^3-x)=3[/TEX]

 

[TEX] a=y+\sqrt{x^2-y^2} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2 = x^2 + 2y \sqrt{x^2-y^2}[/TEX]

[TEX](I) \Leftrightarrow \left{ \begin{x+a = 12 }\\{a^2 - x^2 =24}[/TEX]

[TEX](I) \Leftrightarrow \left{ \begin{x+a = 12 }\\{a-x =2}[/TEX]

....

 

Đáp án

[TEX] (I) \Leftrightarrow \left{ \begin{(x + \frac{1}{y})^2 + 2 (x-y)^2 =11}\\{x + \frac{1}{y} + (x-y) =4}[/TEX]

Đặt ẩn phụ giải dễ dàng

P/s: Đơn giản nhỉ