[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[duynhan1]

Ôi đọng nhiều quá mấy tác giả post đáp án hết đi ạ .

 

[minhkhac_94]

 

[lagrange]

Thật ra mình làm vậy là giả sử cái hệ có nghiệm duy nhất
nếu cái hệ
[tex]\left\begin\{u+v=6\\{u^4+v^2=32}[/tex]
không có nghiệm duy nhất thì điều mình giả sử là sai còn nếu cái hệ có nghiệm duy nhất thì điều gỉa sử là đúng(phương pháp phản chứng)
Mình nghĩ bạn giao sư thiên tài đưa ra đề câu này vậy bạn post đáp án của bạn lên để tham khảo nhé

 

[giaosu_fanting_thientai]

Mình nghĩ bạn giao sư thiên tài đưa ra đề câu này vậy bạn post đáp án của bạn lên để tham khảo nhé

Okie ra!!!
Từ hệ => [TEX](\sqrt{x}+\sqrt{32-x})+(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x})=y^2-6y+21[/TEX] (1)

Do [TEX]y^2-6y+21=(y-3)^2+12[/TEX] ==> VP(1)\geq12.

Dấu bằng xảy ra <=> y=3

Áp dụng bất đẳng thức BUN:

[TEX](\sqrt{x}+\sqrt{32-x})^2\leq(1^1+1^1)(x+32-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{32-x}\leq8[/TEX] (2)
với mọi [TEX]0 \leq x\leq32[/TEX]
Dấu = trong (2) xảy ra <=>[TEX] \sqrt{x}=\sqrt{32-x}[/TEX] <=> x=16

[TEX](\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x})^2\leq(1^1+1^1)(\sqrt{x}+\sqrt{32-x})(3)[/TEX]

Từ (2) và(3) =>[TEX]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}\leq4 (4)[/TEX]

Dấu bằng trong (4) xảy ra <=> x=16

=> VT(1) \leq12

Dấu = xảy ra khi x=16

[TEX](1) \Leftrightarrow\left{\begin{VT(1)=12}\\{VP(1)=12}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x=16}\\{y=3}[/TEX]

Cách làm của lagrange hay ròi. Đó không phải là phản chứng mà gọi là sử dụng vai trò như nhau giữa các nghiệm.
Trưa nay thấy 2 pác chiến tranh, t bất bình nhưng phải đi học, bi h mí post đc
Nhưng mờ cách làm này quá rắc rối không hey bằng cách của lagrange


. .

 

[giaosu_fanting_thientai]

2. [TEX]\sqrt{x+3}=\frac{x}{2}-\frac{7}{2x}+5[/TEX]
[/TEX]

ĐK: x\geq-3 ;x khác 0
PT <=> [TEX]\sqrt{x+3}-2=\frac{1}{2}(x-1)(1+\frac{7}{x})[/TEX]
<=> [TEX]2(x+3-4)=(x-1)(1+\frac{7}{x})(\sqrt{x+3}+2)[/TEX]
<=> [TEX]2(x-1)=(x-1)(1+\frac{7}{x})(\sqrt{x+3}+2)[/TEX]
x=1 là nghiệm của pt
x khác 1, chia 2 vế của pt cho x-1
=> [TEX]2=(1+\frac{7}{x})(\sqrt{x+3}+2)[/TEX]
<=> [TEX] -14=(x+7)\sqrt{x+3}[/TEX]
pt này vô nghiệm vì VP>O
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1

3. [TEX]\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})[/TEX]

Đặt [TEX]t= \sqrt{1-x^2}[/TEX]
=>[TEX] \sqrt{1+t}=x(1+2t) [/TEX]
<=>[TEX] 1+t=x^2(1+2t)^2[/TEX]
<=> [TEX]1+t=(1-t^2)(1+2t)^2[/TEX]
<=> [TEX]t(1+t)(4t^2+8t+5)=0[/TEX]
Làm kiểu nì hay hơn đưa về lượng giác của duynhan1

 

[ngomaithuy93]

Gpt: [TEX]1=cosx+\frac{x^2}{2}[/TEX]
.............................

 

[connguoivietnam]

[TEX]1=cosx+\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]1-cosx=\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]2sin^2(\frac{x}{2})=\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]sin^2(\frac{x}{2})=\frac{x^2}{4}[/TEX]

[TEX][sin(\frac{x}{2})-\frac{x}{2})].[sin(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}]=0[/TEX]

[TEX]\left[ sin(\frac{x}{2})=\frac{x}{2}\\ sin(\frac{x}{2})=-\frac{x}{2}[/TEX]

[TEX]x=0[/TEX]

đơn giản thôi chú em tra bảng lượng giác thì chỉ tại [TEX]sin0=0[/TEX] thôi nên [TEX]x[/TEX] phải bằng [TEX]0[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]1=cosx+\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]1-cosx=\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]2sin^2(\frac{x}{2})=\frac{x^2}{2}[/TEX]

[TEX]sin^2(\frac{x}{2})=\frac{x^2}{4}[/TEX]

[TEX][sin(\frac{x}{2})-\frac{x}{2})].[sin(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}]=0[/TEX]

[TEX]\left[ sin(\frac{x}{2})=\frac{x}{2}\\ sin(\frac{x}{2})=-\frac{x}{2}[/TEX]

[TEX]x=0[/TEX]

đơn giản thôi chú em tra bảng lượng giác thì chỉ tại [TEX]sin0=0[/TEX] thôi nên [TEX]x[/TEX] phải bằng [TEX]0[/TEX]

Mò sao ông anh?????? |-)
...................................
Ko ổn!

 

[ninhthu09]

Mò sao ông anh?????? |-)
...................................
Ko ổn!

Ta chung minh x= 0 là 1 nghiệm của pt
nếu x>0 thì x/2> sinx/2 nên pt vô nghiệm
nếu x<0 thì x/2<sinx/2 nên pt vô nghiệm(CHÚNG MINH BĂNG PP HÀM SỐ)
kl pt có nghiem duy nhất x=0

P/s: Chứng minh luôn đi bạn, thanks

 

[ngomaithuy93]

Cùng giải!

1. Giải hpt: [TEX]\left{{cosx+cosy+cosz=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{sinx+siny+sinz=\frac{3}{2}}[/TEX]
2. Giải pt: [TEX]15x^5+11x^3+28=\sqrt{1-3x}[/TEX]
3. [TEX](4x-1)\sqrt{1+x^2}=2x^2+2x+1[/TEX]

 

[duynhan1]

1. Giải hpt: [TEX]\left{{cosx+cosy+cosz=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{sinx+siny+sinz=\frac{3}{2}}[/TEX]

1. 
   Ta có :
   [TEX]cos^2 x + cos^2 y + cos ^2 z \ge \frac{( cos x + cos y + cos z)^2}{3} = \frac94 [/TEX]
   
   [TEX]sin^2x+sin^2y+sin^2z \ge \frac{(sinx+siny+sinz)^2}{3} = \frac34 [/TEX]
   
   [TEX]\Rightarrow \sum ( sin^2 x + cos^2 x ) \ge 3 [/TEX]
   
   [TEX]\Leftrightarrow 3 \ge 3[/TEX]
   
   [TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ cos x = cos y = cos z = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ sin x = sin y = sin z = \frac12 [/TEX]
   
   [TEX]\Leftrightarrow x = y = z = \frac{\pi}{6} + k 2\pi[/TEX]
   
   

   [TEX](4x-1)\sqrt{1+x^2}=2x^2+2x+1[/TEX]

   
   [TEX]t = \sqrt{1+x^2} [/TEX]
   
   [TEX](pt) \Leftrightarrow 2t^2 - (4x -1) t +2x - 1 = 0 [/TEX]
   
   [TEX]\Leftrightarrow \left[ t = \frac12 \\ t = 2x- 1 [/TEX]

 

[duynhan1]

Giải pt: [TEX]15x^5+11x^3+28=\sqrt{1-3x}[/TEX]

Gõ xong rồi bấm nhầm nút tắt máy . Giải gọn lại

[TEX]DK : x \le \frac13[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow ( x+1)( 15x^4 - 15 x^3 + 26x^2 - 26 x + 2 6 ) = \frac{-3( x+1) }{2 + \sqrt{1- 3x}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = - 1 \\ 15(x^2 - \frac12x)^2 + \frac{81}{4}x^2 + 26 ( 1- x) + \frac{1}{2 + \sqrt{1- 3x}} = 0[/TEX](*)

[TEX]\Leftrightarrow x =- 1[/TEX] ( do VT(*) > 0 do điều kiện [TEX]x \le \frac13 [/TEX])

 

[jerusalem]

1. [TEX](4x-1)\sqrt{1+x^2}=2x^2+2x+1[/TEX]

[TEX]4x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1[/TEX]

đặt[TEX] \sqrt{x^2+1}=u[/TEX];ĐK:[TEX]u\geq1[/TEX]

pt trở thành:

[TEX]4xu-u=2u^2+2x-1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2u-1)(u+1)+2x(2u-1)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2u-1)(2x+u+1)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2\sqrt{x^2+1}-1)(2x+\sqrt{x^2+1}+1)=0[/TEX]

 

[jerusalem]

[FONT=&quot]1)[tex]x^4+4x^3+3x^2+2x-1=0[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]2)[tex](x+1)(x+2) (x+3) (x+4)=120[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]3)[tex](x^2+1)^3+(1-3x)^3=(x^2-3x+2)^3[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]4)[tex]x^2+( \frac{x}{x+1} )^2=1[/tex] [/FONT]
5)[tex]( \frac{1}{x^2+x+1} )^2+( \frac{1}{x^2+x+2} )^2=\frac{13}{36}[/tex]

[FONT=&quot]PHỤC HƯNG [/FONT]

 

[minhkhac_94]

Gõ xong rồi bấm nhầm nút tắt máy . Giải gọn lại

[TEX]DK : x \le \frac13[/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow ( x+1)( 15x^4 - 15 x^3 + 26x^2 - 26 x + 2 6 ) = \frac{-3( x+1) }{2 + \sqrt{1- 3x}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = - 1 \\ 15(x^2 - \frac12x)^2 + \frac{81}{4}x^2 + 26 ( 1- x) + \frac{1}{2 + \sqrt{1- 3x}} = 0[/TEX](*)

[TEX]\Leftrightarrow x =- 1[/TEX] ( do VT(*) > 0 do điều kiện [TEX]x \le \frac13 [/TEX])

[tex]15x^5+11x^3+28=\sqrt{1-3x}[/tex]
Dễ thấy VT đồng biến VP nghịch biến
Nhận thấy[tex] x=-1[/tex] là nghiệm và đó chính là nghiệm duy nhất

 

[duynhan1]

[FONT=&quot]1)[tex]x^4+4x^3+3x^2+2x-1=0[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]2)[tex](x+1)(x+2) (x+3) (x+4)=120[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]3)[tex](x^2+1)^3+(1-3x)^3=(x^2-3x+2)^3[/tex] [/FONT]
[FONT=&quot]4)[tex]x^2+( \frac{x}{x+1} )^2=1[/tex] [/FONT]
5)[tex]( \frac{1}{x^2+x+1} )^2+( \frac{1}{x^2+x+2} )^2=\frac{13}{36}[/tex]

[FONT=&quot]PHỤC HƯNG [/FONT]

[TEX]1) \\ \Leftrightarrow (x^2 + 2x)^2 =( x-1)^2 [/TEX]



[TEX]\blue 2) \\ \Leftrightarrow (x^2 + 5x + 4)( x^2 + 5x + 6) = 120[/TEX]

[TEX]\blue t = x^2 + 5x + 5 [/TEX]


[TEX]3) Set: \ \ \left{ a=x^2+1 \\ b = 1- 3x \Rightarrow a^3 + b^3 = ( a+b)^3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3ab ( a+b) = 0 [/TEX]


[TEX]\blue 4) \\ \Leftrightarrow ( x - \frac{x}{x+1} )^2 + \frac{2x^2 }{x+1} = 1 \\ (\frac{x^2}{x+1})^2 + \frac{2x^2}{x+1} = 1 \\ An \ \ phu [/TEX]


[TEX]5 ) \\ VT \ \ nghich \ \ bien \ \ voi \ \ (x+ \frac12)^2 \\ \text{VP la hang so }[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \text{Co nghiem duy nhat (x+ \frac12)^2 = \frac54[/TEX]

 

[vjczozo]

GPT:
[tex] \left{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2} =4 [/tex]

Mình là thành viên mới .Mọi người click [tex]Thank[/tex] cái cho phấn khởi

 

[duynhan1]

GPT:
[tex] \left{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2} =4 [/tex]

Mình là thành viên mới .Mọi người click [tex]Thank[/tex] cái cho phấn khởi

[tex] \left{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2} =4 [/tex]

[TEX]\Rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2 = (2-\frac{1}{z}) ^2 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2( \frac{1}{z^2} + 4) \geq \frac{4}{xy} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{z^2} + 4 \ge \frac{2}{xy} [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ z =-\frac12 \\ x =y =\frac12 [/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]2\sqrt{x^2+3}-\sqrt{8+2x-x^2}=x[/TEX]
nội dung quá ngắn...................

 

[duynhan1]

[TEX]\left{ x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25 \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9 \\ x^2 +xz + z^2 =16[/TEX]

[TEX]\red \text{Tinh P= xy + 2yz +3xz} [/TEX]

---------------THTT (8/2010)-------------