[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[minhkhac_94]

@:nhockthongay_girlkute là số thực

Bài hệ ĐH 2010 thì xem ở đây:http://***********/4rum/f10/dap-de-thi-dai-hoc-khoi-b-d-toan-ly-hoa-nam-2010-a-9604/index3.html

 

[roses_123]

Câu 1: Đề thiếu

[TEX]\left{\begin{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z=3}\\{(1+x)(1+y)(1+z)=(1+\sqrt[3]{xyz})^3} [/TEX]

Câu 2:

Sai nốt (Trừ khi bạn chế )

[TEX]\left{\begin{xy+x+y=x^2-2y^2}\\{x\sqrt{x-y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y [/TEX]

Mong nhìn thật kĩ đề cho ạ!
trong dấu căn là x.y ko phải x-y..................................

 

[roses_123]

Câu 1 trước ,hệ 3 ẩn nhưng chỉ có 2 ft pạn duynhan1 làm đúng rồi.
típ 1 chút:
1)[TEX]\left{\begin{x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9}\\{x^2+2xy=6x+6} [/TEX]
2))[TEX]\left{\begin{x^3(2+3y)=1}\\{x(y^3-2)=3} [/TEX]

 

[quyenuy0241]

[tex]\left{\begin{x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3=30 \\ x^2y+x(1+y+y^2)+y=11 [/tex]


2.

[tex]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}+2tan2x+cos2x=0 [/tex]

 

[connguoivietnam]

1)
[TEX]x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9[/TEX](1)
[TEX]x^2+2xy=6x+6[/TEX](2)
từ
[TEX]x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9[/TEX](1)
[TEX]4.x^4+8x^3y+4x^2y^2=8x+36[/TEX]
[TEX](2x^2+2xy)^2=8x+36[/TEX]
[TEX](x^2+x^2+2xy)^2=8x+36[/TEX]
thay (2) vào (1) ta có
[TEX](x^2+6x+6)^2=8x+36[/TEX]
[TEX]x^4+2x^2(6x+6)+(6x+6)^2=8x+36[/TEX]
[TEX]x^4+12x^3+12x^2+36x^2+72x+36=8x+36[/TEX]
[TEX]x^4+12x^3+48x^2+64x=0[/TEX]
[TEX]x(x^3+12x^2+48x+64)=0[/TEX]
[TEX]x=0[/TEX]
[TEX]x^3+12x^2+48x+64=0[/TEX]
[TEX](x+4)^3=0[/TEX]
[TEX]x=-4[/TEX]
--------------------------------------------------------------------------------
2)
[TEX]x^3(2+3y)=1[/TEX](1)
[TEX]x(y^3-2)=3[/TEX](2)
từ (1)
[TEX]x^3(2+3y)=1[/TEX]
[TEX]2+3y=\frac{1}{x^3}[/TEX]
từ (2)
[TEX]x(y^3-2)=3[/TEX]
[TEX]y^3-2=\frac{3}{x}[/TEX]
[TEX]\frac{(y^3-2)^3}{27}=\frac{1}{x^3}[/TEX]
thế (2) vào (1) ta có
[TEX]\frac{(y^3-2)^3}{27}=2+3y[/TEX]
[TEX](y^3-2)^3=54+81y[/TEX]
[TEX]y^9-6y^5+12y^3-8=54+81y[/TEX]
[TEX]y^9-6y^5+12y^3-81y-62=0[/TEX]

 

[hetientieu_nguoiyeucungban]

lượng giác dễ ợt...................

tui có mấy bài lượng giác nè giải đi mau lên nhé cũng dễ ấy mà
2sin(x+pi/4)+sin(x-pi/4)=(3căn2)/2
1.[TEX]2sin{}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=3[/TEX]
2.[TEX]\sqrt{3}cos2x+sin2x+2(2x-\frac{\pi }{6})=2\sqrt{2}[/TEX]
3.[TEX]8sinxsin2x+6sin(x+\frac{\pi }{4})cos(\frac{\pi }{4}-2x)=5+7cosx[/TEX]
4.[TEX]2\sqrt{3}sin(x-\frac{\pi }{8})cos(x-\frac{\pi }{8})+2cos{}^{2}(x-\frac{\pi }{8})=1+\sqrt{3}[/TEX]
5.[TEX]4(cos4x-sin4x)+7=4(cos^{4}x+sin^{4}x)[/TEX]
6.[TEX](sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^{2}+\sqrt{3}cosx=2[/TEX]
7.[TEX]\frac{1-cos4x}{2sin2x}=\frac{sin4x}{1+cos4x}[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

a.

b.

 

[quyenuy0241]

[tex]sin^2x+\frac{(1+cos2x)^2}{2sin2x}=2cos2x [/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

 

[minhkhac_94]

@connguoivietnam

[tex]y^9-6y^5+12y^3-81y-62=0[/tex]

Tiếp thế nào nhỉ pt bậc 9

[tex]\left\{ \begin{array}{l}x^3 (2 + 3y) = 1 \\ x(y^3 - 2) = 3 \\ \end{array} \right.\\ Xet:x = 0ko,la,nghiem: \\ \\ Xet,xkhac0 < = > \left\{ \begin{array}{l}2 + 3y = \frac{1}{{x^3 }} \\ 2 + \frac{3}{x} = y^3 \\ \end{array} \right. \\ Dat:z = \frac{1}{x}he = > \left\{ \begin{array}{l}2 + 3y = z^3 (1) \\ 2 + 3z = y^3 (2) \\ \end{array} \right. \\ Tru(1)cho(2) = > z = y = > xy = 1 \\ Ket,hop,he = > x(y^3 - 2) = 3 = > y^3 - 3y - 2 = 0(voi,y \ne 0) \\ < = > y = 2,x = \frac{1}{2}(OK) \\ hoac,y = 1, = > x = 1(OK) \\ [/tex]
P/s sorry mình gõ trên mathtype cho nhanh trông hơi xấu

 

[connguoivietnam]

[TEX]sin^2x+\frac{(1+cos2x)^2}{2sin2x}=2cos2x[/TEX]
sin2x khác 0
[TEX]2sin^2xsin2x+(1+cos2x)^2=4cos2xsin2x[/TEX]
[TEX]4sin^3xcosx+4cos^4x=4.cos2x.sin2x[/TEX]
[TEX]sin^3x+cos^3x=2sinx.cos2x[/TEX]
[TEX](sinx+cosx)(1-sinx.cosx)=2sinx(sinx+cosx)(cosx-sinx)[/TEX]
[TEX](sinx+cosx)(1-sinx.cosx-2sinx.cosx+2sin^2x)=0[/TEX]
[TEX]sinx+cosx=0[/TEX]
[TEX]1-sinx.cosx-2sinx.cosx+2sin^2x=0[/TEX]
[TEX]1-3.sinx.cosx+2sin^2x=0[/TEX]
------------------------------------------------------------------------
[TEX]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}+2tan2x+cos2x=0[/TEX]
[TEX]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}+\frac{2sin2x}{cos2x}+cos2x=0[/TEX]
[TEX]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}+\frac{2sin2x}{(sinx+cosx)(cosx-sinx)}+cos2x=0[/TEX]
[TEX]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}-\frac{2sin2x}{(sinx+cosx)(-cosx+sinx)}+cos2x=0[/TEX]
[TEX](sinx+cosx)^2-2sin2x+cos2x(sin^2x-cos^2x)=0[/TEX]
[TEX]1+sin2x-2sin2x+cos2x(sin^2x-cos^2x)=0[/TEX]
[TEX]1-sin2x+cos2x(sin^2x-cos^2x)=0[/TEX]
[TEX](sinx-cosx)^2+(cosx-sinx)(cosx+sinx)(sinx+cosx)(sinx-cosx)=0[/TEX]
[TEX](sinx-cosx)^2-(sinx-cosx)^2.(sinx+cosx)^2=0[/TEX]
[TEX](sinx-cosx)^2[1-(sinx+cosx)^2]=0[/TEX]
[TEX](sinx-cosx)^2(1-sinx-cosx)(1+sinx+cosx)=0[/TEX]

 

[connguoivietnam]

[TEX]x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3=30[/TEX](1)
[TEX]x^2y+x(1+y+y^2)+y=11[/TEX](2)
từ (1)
[TEX]x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3=30[/TEX]
[TEX]x^3y(1+y)+x^2y^2(1+y)+x^2y^2+xy^3=30[/TEX]
[TEX](1+y)(x^3y+x^2y^2)+xy^2(x+y)=30[/TEX]
[TEX](1+y)x^2y(x+y)+xy^2(x+y)=30[/TEX]
[TEX](x+y)[(1+y)x^2y+xy^2]=30[/TEX]
[TEX](x+y)xy[x(1+y)+y]=30[/TEX]
[TEX](x+y)xy(x+y+xy)=30[/TEX]
từ (2)
[TEX]x^2y+x(1+y+y^2)+y=11[/TEX]
[TEX]x^2y+x+xy+xy^2+y=11[/TEX]
[TEX]x+y+xy+xy(x+y)=11[/TEX]
[TEX]x+y+xy=11-xy(x+y)[/TEX]
thay (2) vào (1) ta có
[TEX](x+y)xy[11-xy(x+y)]=30[/TEX]
đặt [TEX](x+y)xy=t[/TEX]
[TEX]t.(11-t)=30[/TEX]
[TEX]11t-t^2=30[/TEX]
[TEX]t=6[/TEX]
[TEX]t=5[/TEX]
với [TEX]t=6[/TEX]
[TEX](x+y)xy=6[/TEX]
[TEX]x+y+xy=5[/TEX]
rút thế là ra thôi bạn ạ tương tự với trường hợp [TEX]t=5[/TEX]

 

[minhkhac_94]

[tex] \left\{ \begin{array}{l} x^3 y(1 + y) + x^2 y^2 (2 + y) + xy^3 = 30 \\ x^2 y + x(1 + y + y^2 ) + y = 11 \\ \end{array} \right. \\ < = > \left\{ \begin{array}{l} xy(x^2 + y^2 ) + x^2 y^2 (x + y) + 2x^2 y^2 = 30 \\ xy(x + y) + xy + x + y = 11 \\ \end{array} \right. \\ < = > \left\{ \begin{array}{l} xy(x + y)^2 + x^2 y^2 (x + y) = 30 \\ xy(x + y) + xy + x + y = 11 \\ \end{array} \right. \\ Dat:x + y = S,xy = P \\ he = > \left\{ \begin{array}{l} PS^2 + SP^2 = 30 \\ SP + S + P = 11 \\ \end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l} PS(P + S) = 30 \\ SP + S + P = 11 \\ \end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} PS = 6 \\ S + P = 5 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} PS = 5 \\ S + P = 6 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ [/tex]

 

[minhkhac_94]

[tex]\left{\begin{\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z=3}\\{(1+x)(1+y)(1+z)=(1+\sqrt[3]{xyz})^3} [/tex]

Ko Cm đc Holder Thì sao

pt(2)[tex]<=>(1+x+y+xy)(1+z)=1+3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{(xyz)^2}+xyz[/tex]
[tex]<=>x+y+z+xy+yz+zx=3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex]
Áp dung AM-GM:[tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex]
[tex]xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex]

Đến đây OK

 

[minhkhac_94]

[tex]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}+2tan2x+cos2x=0[/tex]
ĐK...
Ta có [tex]\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}=-tan(x-\frac{\pi}{4})=-\frac{tanx-1}{1+tanx}[/tex]
pt <=>[tex]\frac{tanx-1}{1+tanx}+2tan2x+cos2x=0[/tex]
=>Đặt [tex]tanx=t[/tex]
[tex]cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
[tex]tan2x=\frac{2r}{1-t^2}[/tex]

 

[minhkhac_94]

[Tex]\frac{1-cos4x}{2sin2x}=\frac{sin4x}{1+cos4x}[/Tex]
ĐK
<=>[Tex]1-cos^24x=2sinsin4x[/Tex]
<=>[Tex]sin^24x=2sinsin4x[/Tex]
<=>[Tex]sin4x=0[/Tex]
hoặc [Tex]sin4x=sin2x[/Tex]
OK?

 

[tell_me_goobye]

Bà con nhanh gớm nhỉ :
Bài tiep:gải các hệ pt sau:
[tex]2x+x^2y=y[/tex]
[tex]2y+y^2z=z[/tex]
[tex]2z+z^2x=x[/tex]
Con này nữa
[tex]2x^3-7x^2+8x-2=y[/tex]
[tex]2y^3-7x^2+8y-2=z[/tex]
[tex]2z^3-7z^2+8z-2=x[/tex]

P/s: Con này nghĩ mãi chưa ra
Bài ? của mình ai còn cách khác ko?

nếu là nghiệm nguyên thì
bài 1 làm như sau

+) x=y=z=0 là một ghiệm của hệ
+) giả sử x,y,z khác 0
pt (1) viết lại là [TEX]2xy + x^2y^2=y^2 \Leftrightarrow (xy+1)^2 =y^2+1[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (xy+1+y)(xy+1-y)=1 [/TEX]
đến đây dễ thấy [TEX] xy+y=xy-y => y=0 [/TEX](trái giả sử )

vậy pt có nghiệm duy nhất x=y=z=0
bài 2 ) đáp số hệ có 2 cặp nghiệm (x,y,z)=(1,1,1)=(2,2,2)

áp dụng f(a) - f(b) chia hết cho (a-b)

đặt [TEX] f(x) =2x^3 -7x^2+8x-2[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Bà con nhanh gớm nhỉ :
Bài tiep:gải các hệ pt sau:
[tex]2x^3-7x^2+8x-2=y[/tex](1)
[tex]2y^3-7x^2+8y-2=z[/tex](2)
[tex]2z^3-7z^2+8z-2=x[/tex](3)
P/s: Con này nghĩ mãi chưa ra

ta thay ham so f(x)=[tex] 2x^3-7x^2+8x-2[/tex] luon dong bien
nen gia su x>=y ta co :
tu (1) va (2) =>y>= z
tu (2) va (3) =>z>=x
=>y>=x ma x>=y => x=y
=>x=y=z
................................

 

[nhockthongay_girlkute]

Bà con nhanh gớm nhỉ :

Con này nữa
[tex]2x^3-7x^2+8x-2=y(1)[/tex]
[tex]2y^3-7x^2+8y-2=z[/tex]
[tex]2z^3-7z^2+8z-2=x[/tex]

P/s: Con này nghĩ mãi chưa ra
Bài ? của mình ai còn cách khác ko?

bài này em chỉ làm đc vs nghiệm nguyên thôi anh or chị ạ
đặt [TEX]f(t)=2t^3-7t^2+8t-2[/TEX]gọi [TEX](x_0;y_0;z_0)[/TEX] là 1 cặp nghiệm nguyên của hệ
giả sử [TEX]x_0;y_0;z_0[/TEX] đôi 1 # nhau . ta có [TEX]f(x_0)=y_0;f(y_0)=z_0;f(z_0)=x_0[/TEX]
mặt # vs mọi a,b nguyên ta có f(a)-f(b) chia hết cho a-b
vì vậy [TEX]x_0-y_0[/TEX] chia hết cho [TEX]z_0-x_0[/TEX]
[TEX]y_0-z_0[/TEX] chia hết cho [TEX]x_0-y_0[/TEX]
[TEX]z_0-x_0[/TEX] chia hết cho [TEX]z_0-x_0[/TEX]
hay [TEX]x_0-y_0=k(z_0-x_0)[/TEX]
[TEX] z_0-x_0=m(z_0-x_0)[/TEX]
[TEX] y_0-z_0=l(x_0-y_0) [/TEX]
vs k,m,l nguyên
\Rightarrow[TEX]x_0-y_0=klm(x_0-y_0)[/TEX]\Rightarrowklm=1
=> cả 3 số k,l,m đều = 1 or 1 số =1 ,2 số kia mỗi số =-1
từ đó [TEX]x_0=y_0=z_0[/TEX] mâu thuẫn
vậy khi hệ có nghiệm nguyên (x;y;z) thì x=y=z
từ (1)\Rightarrow[TEX]2x^3-7x^2+8x-2=x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x^3-7x^2+7x-2=0[/TEX]
\Leftrightarrow..........

 

[quyenuy0241]

Giải HPT:

[tex]\left{\begin{x \le 1 \\ x+y \ge 3 \\ 3x^2+y^2+3xy=\frac{27}{2} [/tex]

 

[huynhtantrung]

Giải HPT:

[tex]\left{\begin{x \le 1 \\ x+y \ge 3 \\ 3x^2+y^2+3xy=\frac{27}{2} [/tex]

<=>[tex]\left{\begin{x \le 1 \\ y \ge 2 \\ 3x^2+y^2+3xy=\frac{27}{2}(1) [/tex]
Đặt y=t*x
(1) <=> [tex] x^2=\frac{27}{6+2t^2+6t}[/tex]
[tex]f(t)=\frac{27}{6+2t^2+6t}[/tex]
[tex]f'(t)=-\frac{27(4t+6)}{(6+2t^2+6t)^2}[/tex]
Lập bảng biến thiên=>[tex] max f(t)=f(-3/2)=18[/tex]
vì [tex]x<=1[/tex]=>[tex]x=-\frac{3}{2} =>y=\frac{9}{2}[/tex]
là 1 nghiệm của phương trình, các no còn lại giải theo t và x
Hình như mình giải có vấn đề các bạn xem giúp mình nha!