[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[gaconthaiphien]

Giúp em bài này: tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Pt 1: [TEX]y^2=x^3 - 4x^2 + mx[/TEX]
Pt 2: [TEX]x^2=y^3 - 4y^2 + my[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}[/TEX] [TEX]\ \[/TEX]

 

[daodung28]

[TEX]x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}[/TEX] [TEX]\ \[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{x^2}{x^2-1}=8(*)[/TEX]
đk [TEX]x\geq0[/TEX]
đặt [TEX]\sqrt{x^2-1}=a \Rightarrow x^2=a^2+1[/TEX]
[TEX](*)[/TEX] trở thành
[TEX]a^2+1+\frac{2(a^2+1)}{a}+\frac{a^2+1}{a^2}=8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^4+2a^3-6a^2+2a+1=0[/TEX](1)
thấy a=0 ko là nghiệm
từ (1) [TEX]\Rightarrow a^2+2a-6+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+\frac{1}{a^2})+2(a+\frac{1}{a})-6=0[/TEX]
đặt [TEX]a+\frac{1}{a}=b \Rightarrow a^2+\frac{1}{a^2}=b^2-2[/TEX]
thay vào
[TEX]b^2-2+2b-6=0[/TEX]
giải ra tìm b rồi tìm a rồi tìm x

 

[duynhan1]

[TEX]x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}[/TEX] [TEX]\ \[/TEX]

[TEX]DK: \left{ x^2>1 \\ x>0 \Leftrightarrow x>1 [/TEX]

[TEX]x = \frac{1}{cos t} ( t \in (0;\frac{\pi}{2})) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{cost} + \frac{1}{cost . tan t} = 2 \sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sint + cos t = 2 \sqrt{2} sin t . cos t[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin ( t + \frac{\pi}{4}) = sin 2t [/TEX] :">

[TEX]\Leftrightarrow \left[ t+ \frac{\pi}{4}=2 t + k 2\pi \\ t + \frac{\pi}{4} = \pi - 2t + k 2\pi[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t = \frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]\huge \fbox{ x = \sqrt{2} [/TEX]

 

[tell_me_goobye]

Giúp em bài này: tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Pt 1: [TEX]y^2=x^3 - 4x^2 + mx[/TEX]
Pt 2: [TEX]x^2=y^3 - 4y^2 + my[/TEX]

DK cần (x;y ) là nghiệm thì (y;x) cũng là nghiệm
để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y
x=y <=> [TEX]x^2=x^3-4x^2+mx[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2-5x+m) x= 0[/TEX]
\Leftrightarrow x=0 => y= 0
hoặc [TEX]x^2-5x +m =0[/TEX] (1)
để hệ có nghiệm duy nhất thì pt 1 có nghiệm kép x=0 => k thỏa mãn
hoặc pt 1 vô nghiệm => ▲ <0 \Rightarrow[TEX]m > \frac{25}{4}[/TEX]
Đk đủ vs m > 25/4 thì hệ
\Leftrightarrow[TEX]\Leftrightarrow \left{x^2=y^3-4y^2+3y\\{(x- y )(x+y ) = -(x-y )(x^2+xy+y^2)+4(x-y )(x+y )-3(x-y )[/TEX](*)
(*) \Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x=y}\\{x^2+xy+y^2-3x-3y+m=.0}[/TEX]
vs x=y ta có [TEX]x^3-5x^2+mx=0[/TEX]
<=> x= 0 => y=0
hoăc [TEX]x^2-5x^^2+mx=0[/TEX] vô nghiệm do m > 25/4
TH2 . vô nghiệm
KL..

 

[minhkhac_94]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{x^2}{x^2-1}=8(*)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2-1}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=8[/TEX]
Đặt ẩn phụ [TEX]t=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}[/TEX]
Về pt bậc 2

 

[_taurus_]

[TEX]\left{\begin{x^3- y^3=9}\\{x^2+2y^2 =x- 4y}[/TEX]

-----------------------------------------------------------------------------------------

 

[duynhana1]

[TEX]\left{\begin{x^3- y^3=9}\\{x^2+2y^2 =x- 4y}[/TEX]

-----------------------------------------------------------------------------------------

[TEX]\Rightarrow (x-1)^3 = (y+2)^3[/TEX] .

 

[_taurus_]

thêm một cái nữa

[TEX]\left{\begin{x+y+z=3}\\{(1+x)(1+y)(1+z)= (1+ \sqrt[3]{xyz})^3}[/TEX]


[TEX]\left{\begin{\frac{3x}{x+1} +\frac{4y}{y+1} +\frac{2z}{z+1}=1}\\{8^9 x^3 y^4 z^2 =1}[/TEX]

 

[01263812493]

Bài này thấy wen wen

[TEX]\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+ \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}[/TEX]

 

[williamdunbar]

Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]
__________________

 

[duynhan1]

thêm một cái nữa

[TEX]\left{\begin{x+y+z=3}\\{(1+x)(1+y)(1+z)= (1+ \sqrt[3]{xyz})^3}[/TEX]


[TEX]\left{\begin{\frac{3x}{x+1} +\frac{4y}{y+1} +\frac{2z}{z+1}=1}\\{8^9 x^3 y^4 z^2 =1}[/TEX]

Cả 2 bài đều thiếu điều kiện x,y,z>0 thì phải :-?

 

[quyenuy0241]

GPT: [tex]4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x [/tex] .

 

[williamdunbar]

[TEX]\left{\begin{|y|=|x-3|}\\{(2\sqrt{z}+2-y)y=1+4y}\\{x^2+z-4x=0} [/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+ \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\left{ a= \sqrt{2 +\sqrt{x}} \\ b = \sqrt{2 -\sqrt{x}} [/TEX]

[TEX]a^2 + b^2 = 4 \\ \frac{a^2}{\sqrt{2} + a} + \frac{b^2}{\sqrt{2} - b} = \sqrt{2} [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow \frac{4\sqrt{2} -ab(a-b) }{2+\sqrt{2}(a-b) - ab} = \sqrt{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4\sqrt{2} - ab(a-b) = 2 \sqrt{2} + 2 (a-b) -\sqrt{2} ab[/TEX]

[TEX]\left{ x '= a-b \\ y '= ab [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x'y' + 2x' - \sqrt{2} y' - 2\sqrt{2} = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (y'+2)(x'-\sqrt{2})=0 \Leftrightarrow \left[ a-b=\sqrt{2} \\ ab = -2[/TEX]

 

[legendismine]

Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]
__________________

[TEX]\left{\begin{|y|=|x-3|}\\{(2\sqrt{z}+2-y)y=1+4y}\\{x^2+z-4x=0} [/TEX]

Bài 1:
PT đã cho tương đương với:
[tex](x-3)(x-\frac{x+30}{x-3\sqrt{10-3x}})=0[/tex]
[tex]\left[\begin{x=3}\\{x=\frac{x+30}{x-3\sqrt{10-3x}[/tex]
Vì [tex]x^2-3x\sqrt{10-3x}=x+30[/tex] vô nghiệm =>x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 2:
Từ pt thứ 3 của hệ ta có
[tex](x-2)^2=4-z[/tex]
[tex]z\le 4[/tex]
Mà từ pt 2 của hệ ta có đc
[tex]y+\frac{1}{y}+4=2\sqrt{z}+2[/tex]
[tex]y+\frac{1}{y}+4\ge 4=>2\sqrt{z}+2\Leftrightarrow z\ge 4[/tex]
Vậy ta có đc nghiệm của pt (x,y,z)=(2,1,4)

 

[duynhan1]

GPT: [tex]4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x [/tex] .

Đặt [TEX]2y-2= \sqrt{3x+1}[/TEX]. Ta có :

[TEX]\left{ 4x ^2 - 13 x + 3 + 2y = 0 \\ 4y^2 - 8y + 4 = 3x+ 1 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4(x-y)(x+y) - 10 x + 10 y = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x - y = 0 \\ 2x+ 2y -5 = 0 [/TEX]

 

[tell_me_goobye]

thêm một cái nữa

[TEX]\left{\begin{x+y+z=3}\\{(1+x)(1+y)(1+z)= (1+ \sqrt[3]{xyz})^3}(1)[/TEX]

cho thêm đk nghiệm dương để còn có bài chém
1, [TEX]VT_{(1)}=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz \ge\ 1+3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{(xyz)^2}+xyz =(1+\sqrt[3]{xyz})^2[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi x=y=z
mà x+y+z= 3
=> x=y=z=1

 

[duynhan1]

1 bài chế ^^

[TEX]\huge \left{ (x^3-1)(1-y^3) + 3xy(x+y+1)-3( x+y)+1 = 0 \\2 \sqrt{(x+y)xy}+2xy=(x+y+1)^2 [/TEX]

 

[duynhana1]

tác giả xem giúp dấu má đúng ko??giải đoạn cuối gặp ách tắc

Giải sai thì ách tắc ạ!!

Chú ý dấu căn!!!

Thêm 1 bài

[TEX]\left{ 2(x^3 - y^3) = (x^2+y^2)(x^2+y^2+1) +2xy(x^2+y^2-1) + x^2y^2 \\ (x^2+y^2+xy)^4 -(x-y)^3 -2 (x-y)^2 +(x-y) + 1 = 0 \\ x,y \in Z[/TEX]