[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[quyenuy0241]

Bài này hay lém :

[TEX]\left{ \begin{ \sum_{cyclic}^{x,y,z} \frac{x^2y^2}{x^4y^2 + x^2y^2+1 } =1}\\{xyz=1}[/TEX]

P/s: ko bik gõ ký hiệu đúng ko

Uhm, hay, nhưng không khó !

Do xyz=1

[TEX]\frac{x^2y^2}{x^4y^2+x^2y^2+1}=\frac{1}{x^2+z^2+1} [/tex]

Đặt [TEX]\left{\begin{x^2=a^3 > 0 \\ y^2=b^3 >0 \\ z^2 = c^3 > 0[/TEX]

Với [TEX]\left{\begin{abc=1 \\ a,b,c \ge 0[/TEX]

Dễ dàng CM đc BDT sau:

[TEX]\sum{\frac{1}{a^3+b^3+1} \le 1[/TEX]

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1

Vậy nghiệm của HPT là

[TEX]x=1,y=1,z=1[/TEX] hoặc [TEX]x=1,y=-1,z=-1[/TEX] và các hoán vị

 

[lamtrang0708]

Giảỉ hệ phương trình

 

[tell_me_goobye]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy=3 \\ x^3+2y^3=y+2x [/tex]

[tex] \left{\begin{x^2(y^2+1)=2 \\ x^2y^2+xy=3x^2-1 [/tex]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy+2y+x=2 \\ 2x^2=2+y^2+2y[/tex]

bài 2 trước
hệ viết lại thành

[TEX]\left{\begin{x^2y^2=2 - x^2}\\{x^2y^2+xy=3x^2-1}[/TEX]
trừ hai vế được
[TEX]xy=4 x^2-3 [/TEX]
thay[TEX] x^2 =2 -x^2y^2[/TEX] vào pt trên lại có
đến đây dễ

 

[justforlaugh]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy=3 \\ x^3+2y^3=y+2x [/tex]

[tex] \left{\begin{x^2(y^2+1)=2 \\ x^2y^2+xy=3x^2-1 [/tex]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy+2y+x=2 \\ 2x^2=2+y^2+2y[/tex]

bài 1 Nhân vế với vế của 2 phương trình lại với nhau, được cái phương trình đẳng cấp bậc 3, chia cả 2 vế cho [tex]x^3[/tex] rồi đặt [tex] t = \frac{x}{y}[/tex] ==> ok

 

[duynhan1]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy+2y+x=2 \\ 2x^2=2+y^2+2y[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{x^2+(y+1)^2+x(y+1)=3 \\ 2x^2=1+(y+1)^2[/tex]

[TEX]t = y+1[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{x^2+t^2+xt=3 \\ 2x^2- t^2=1[/tex]

Hệ đồng bậc

 

[justforlaugh]

3; [TEX]\left{\begin{2x+1=y ^3 +y^2 +y}\\{2y+1= z^3+z^2+z}\\{2z+1=x^3+x^2+x}[/TEX]

4; [TEX]\left{x^3(2+3y)=1 \\ {(y^3-2)x=3}[/TEX]


p/s còn mấy bài ở topic chưa ai giải đó

[/TEX]

bài 3 . vì vai trò của x, y, z như nhau nên giả sử x\geqy, x \geqz. (1)

[TEX]x\geq y \rightarrow 2x+1\geq2 y+1 \Leftrightarrow y ^3 +y^2 +y \geq z^3+z^2+z \Rightarrow y \geq z[/TEX]( do cái hàm [TEX]x^3+x^2+x[/TEX] đồng biến)
[TEX]y \geq z \Rightarrow 2y+1\geq 2z+1 \Leftrightarrow z^3+z^2+z\geq x^3+x^2+x \Rightarrow z \geq x. (2) [/TEX]

từ (1) và (2) \Rightarrow x=z ...........

 

[silvery21]

5;[TEX]\left{6x^2-3xy+x=1-y}\\{x^2+y^2=1}[/TEX]

........ .....

 

[tell_me_goobye]

5;[TEX]\left{6x^2-3xy+x=1-y}\\{x^2+y^2=1}[/TEX]

........ .....

bài này em giải như sau

giải denta với pt (1)

pt(1) viết lại

[TEX]6x^2-x(3y-1)+y-1 =0[/TEX]

ĐENTA =[TEX] (3y-5)^2[/TEX]

đến đây dễ rùi

 

[duynhan1]

Còn bài này :

Giảỉ hệ phương trình

Tiếp , bài này theo em nghĩ là khó

[TEX]\left{ \begin{x+y=\sqrt[3]{a-b}}\\{x^4-y^4 = ax+by}[/TEX]

Giải biện luận theo [TEX]a,b[/TEX]

 

[takitori_c1]

3; [TEX]\left{\begin{2x+1=y ^3 +y^2 +y}\\{2y+1= x^3+z^2+z}\\{2z+1=x^3+x^2+x}[/TEX]

Xét hs[TEX] f(t)= t^3+t^2+t[/TEX]
Xét f'(t) >0
Hàm đồng biến
Giả sử x\geqy\geqz \Leftrightarrow f(x)\geqf(y)\geqf(z) \Leftrightarrowy\geqz\geqx
Vậy x=y=z
thay vào đc nghiệm

 

[no.one]

14.[TEX]\left{\begin{xy+xz=8}\\{yz+yx=9}\\{zx+zy=-7} [/TEX] .

 

[connguoivietnam]

ta có
[TEX]x.y+x.z=8[/TEX]
[TEX]y.z+y.x=9[/TEX]
[TEX]z.x+z.y=7[/TEX]
[TEX]x=\frac{8}{y+z}[/TEX]
[TEX]y=\frac{9}{x+z}[/TEX]
[TEX]z.(x+y)=-7[/TEX]
[TEX]z.[\frac{8}{y+z}+\frac{9}{x+z}]=7[/TEX]

 

[no.one]

ta có
[TEX]x.y+x.z=8[/TEX]
[TEX]y.z+y.x=9[/TEX]
[TEX]z.x+z.y=-7[/TEX]
[TEX]x=\frac{8}{y+z}[/TEX]
[TEX]y=\frac{9}{x+z}[/TEX]
[TEX]z.(x+y)=-7[/TEX]
[TEX]z.[\frac{8}{y+z}+\frac{9}{x+z}]=-7[/TEX]

Tiếp đi bạn , cái đề này mình đánh đúng ,nhưng mình nghĩ z.x+z.y=7 sẽ hợp lý hơn mọi người nghĩ sao

 

[haiyenbk93]

Cho mình hỏi bài này
Xét tam thức bậc hai [TEX]f(x)=ax^2+bx+c[/TEX] với hệ số nguyên. Biết [TEX]x_1=m+n.sqrt{2}[/TEX] (m,n hữu tỉ, n khác 0) là một nghiệm của phương trình [TEX]f(x)=0[/TEX] Chứng minh [TEX]x_2=m-n.sqrt{2}[/TEX] cũng là nghiệm

 

[duynhan1]

14.[TEX]\left{\begin{xy+xz=8}\\{yz+yx=9}\\{zx+zy=-7} [/TEX] .

Cộng hết lại

[TEX]xy+ yz + zx = 5[/TEX]
Hệ tương đương
[TEX]\left{ \begin{xy = 12}\\{yz= -3}\\{xz= -4} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2y^2z^2 = 12^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left[ \begin{xyz =12}\\{xyz =-12}[/TEX]
.....
>-

@no.one : đề hợp lý mà

 

[puerto]

post tiếp

[tex]\left{\begin{x^3+y^3+xy^2 =x+2y \\ x^2+y^2=2 [/tex]

[tex]\left{\begin{x^3+y^2x+3x^2+y^2+3x-2y+1=0 \\ y^2+2y^3-3x+xy^2-3=0 [/tex]

 

[puerto]

bài nữa :|


[tex]\left{\begin{ (1-y)^4+(x+1)^4 =1\\ x^2+y^2 =xy [/tex]

 

[duynhan1]

bài nữa :|


[tex]\left{\begin{ (1-y)^4+(x+1)^4 =1\\ x^2+y^2 =xy [/tex]

Giải (2):
[TEX]x^2 + y^2 = xy [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x - \frac12 y)^2 + \frac34 y^2 = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y =0[/TEX].
Thế lại không thỏa (1) => Hệ vô nghiệm

 

[jerusalem]

post tiếp

[tex]\left{\begin{x^3+y^3+xy^2 =x+2y \\ x^2+y^2=2 [/tex]

nhân 2 vế của pt ta có

2( [tex]x^3[/tex]+[tex]y^3[/tex]+x[tex]y^2[/tex] )=(x+2y)( [tex]x^2[/tex]+[tex]y^2[/tex] )
\Leftrightarrow[tex]x^3[/tex]-2y[tex]x^2[/tex]+x[tex]y^2[/tex]=O



đến đây xong rồi

 

[connguoivietnam]

[TEX]x^3+y^3+x.y^2=x+2.y[/TEX](1)
[TEX]x^2+y^2=2[/TEX](2)
từ (1) ta có
[TEX]x^3+y^3+x.y^2=x+2.y[/TEX](1)
[TEX](x+y).(x^2-x.y+y^2)+x.y^2=x+2.y[/TEX](1)
thay (2) vào (1) ta có
[TEX](x+y).(2-x.y)+x.y^2=x+2.y[/TEX]
[TEX]2.x-x^2.y+2.y-x.y^2+x.y^2=x+2.y[/TEX]
[TEX]x-x^2.y=0[/TEX]
[TEX]x.(1-x.y)=0[/TEX]
[TEX]x=0[/TEX]
[TEX]x.y=1[/TEX]
lần lượt thay 2 nghiệm nên trên là ra thôi bạn ạ