[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[rua_it]

Lục lại cái bài này .

Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm.

[tex]\left{\begin{7^{2x+\sqrt{x+1}}-7^{2+\sqrt{x+1}}+2009x \leq 2009}\\{x^2-(m+2)x+2m+3 \geq 0[/tex]

Ai làm hộ em bài 3 của anh quyenuy đi =((

 

[ngomaithuy93]

[TEX]\left{\begin{4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=7(1) \\ 2x+\frac{1}{x+y}=3[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow (2x+1\frac{1}{x+y})^2+(2y+\frac{1}{x+y})^2+(2x+\fr{1}{x+y})(2y+\frac{1}{x+y})=13[/TEX]
[TEX]\left{{2x+\frac{1}{x+y}=a}\\{2y+\frac{1}{x+y}=b}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \left{{a^2+b^2+ab=13}\\{a=3} \Rightarrow \left[{b=1}\\{b=-4}[/TEX]
Giải 2 hệ phát sinh ta đc nghiệm (x;y)=(1;0) là nghiệm duy nhất.

 

[duynhan1]

Thêm 2 bài biện luận nữa

[TEX]1/ (x-k)^{2n} + (x-k-1)^{2n} =1[/TEX]
Giải phương trình trên theo k [TEX]\forall n \in N*[/TEX]

[TEX]2/ \left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{2xy+1= 2a } [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Một số bài khác nữa

[TEX]HSG-QG 2004[/TEX]-Bảng A

[TEX]\left{\begin{x^3+x(y-x)^2=2 \\ y^3+y(z-x)^2=30 \\ z^3+z(x-y)^2=16 [/TEX]


[TEX]\left{\begin{16(x^2+\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1)=yz \\ 16(\sqrt[3]{x^8}+x^2+\sqrt[3]{x^2}+1)+15(\sqrt[3]{x^4})=2y\sqrt[3]{x^4}[/TEX]

[TEX]\left{\begin{x^3+3xy^2=-49 \\ x^2-8xy+y^2=8y-17[/TEX]

 

[takitori_c1]

Thêm 2 bài biện luận nữa


[TEX]2/ \left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{2xy+1= 2a } [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow\left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{x^2+y^2 -2xy=1} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{(x-y)^2=1}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow\left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{x-y=1} [/TEX] (a)
hoặc [TEX]\left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{x-y=-1} [/TEX] (b)

[TEX](a) \Leftrightarrow\left{ \begin{x^2 + y^2 =2a}\\{x-y=1} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow\left{ y^2+y-a=0}\\{x-y=1}[/TEX]

Số nghiệm của hệ là số nghiệm của pt y^2+y-a=0
ta đ c: Hệ vô ng khi a < -1/4
Hệ coó 1 ng khi a=-1/4
Hệ có 2 ng khi a>-1/4
Còn cái (b) nữa tương tự rồi lấy hợp
:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[no.one]

Thêm 2 bài biện luận nữa

[TEX]1/ (x-k)^{2n} + (x-k-1)^{2n} =1[/TEX]
Giải phương trình trên theo k [TEX]\forall n \in N*[/TEX]

Cô si với 2 số dương ta có : [TEX]1 > 2.[(x-k)(x-k-1)]^n[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{2}>[(x-k)(x-k-1)]^n[/TEX]

Đặt a=x-k \Rightarrow[TEX]\frac{1}{2}>[a(a-1)]^n[/TEX]
Phương trình có nghiệm

[TEX]\left{\begin{\frac{-1}{2}< a(a-1)< \frac{1}{2}, \forall n \in N *}\\{a(a-1)< \frac{-1}{2} , n=l+1, l \in N}\\{a(a-1) > \frac{1}{2}} [/TEX]

Phương trình vô nghiệm :[TEX]a(a-1)< \frac{-1}{2},n=2l, l \in N[/TEX]

k biết có làm nhầm k

Đáp án của duynhana1
Pt có nghiệm x = k và x= k+1

Với X<k VT>1

Với x> k+1 VT >1

Với k<x<k+1 ta có

(x-k)^2n + (x-k-1)^2n < (x-k) + ( k+1-x) =1 => voo nghiệm

 

[no.one]

Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm.

[tex]\left{\begin{7^{2x+\sqrt{x+1}}-7^{2+\sqrt{x+1}}+2009x \leq 2009}\\{x^2-(m+2)x+2m+3 \geq 0[/tex]

\Leftrightarrow[tex]\left{\begin{7^{\sqrt{x+1}}(7^{2n}-7^2) \leq 2009(1-x)(*)}\\{x^2-(m+2)x+2m+3 \geq 0[/tex]

(*) Với x > 1 \Rightarrowpt vô nghiệm
Với x \leq1 \Rightarrow pt luôn có nghiệm

Để hệ có nghiệm \Leftrightarrow[TEX]x^2-(m+2)x+2m+3 \geq 0[/TEX]có nghiệm x \leq1

Xét hàm số [TEX]m=\frac{x^2-2x+3}{x-2}[/TEX] trên [1;+\infty)

 

[nhockthongay_girlkute]

Một số bài khác nữa

[TEX]HSG-QG 2004[/TEX]-Bảng A



[TEX]\left{\begin{x^3+3xy^2=-49 \\ x^2-8xy+y^2=8y-17[/TEX]

đặt [TEX]x+y=u;x-y=v[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x=\frac{u+v}{2};y=\frac{u-v}{2}[/TEX]
............... ta có hệ [TEX]\left{\begin{u^3+v^3=-98}(1)\\{ -3u^2+5v^2=-9u-25v}(2)[/TEX]
nhân ft (2) vs 3 òy cộng vs ft (1) ta có
[TEX]u^3-9u^2+81u-27+v^3+15v^2+75v+125=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](u-3)^3+(v+5)^3=0[/TEX]
đến đây tìm đc u;v\Rightarrow x=...;y=...

 

[quyenuy0241]

uhm, típ nhá , ai làm đc thì post 3 bài trên của mình nhá !!!

Bây h tới 3 con khác

[TEX]\left{\begin{y(1+2x^3y)=3x^6\\ 1+2x^6y^2=5x^6[/TEX]


[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]


[TEX]\left{\begin{2+\frac{1}{y}=x+\frac{2}{xy}\\ \sqrt{x+xy}=\sqrt{y-xy}[/TEX]

 

[no.one]

Một số bài khác nữa

[TEX]HSG-QG 2004[/TEX]-Bảng A

[TEX]\left{\begin{x^3+x(y-z)^2=2 \\ y^3+y(z-x)^2=30 \\ z^3+z(x-y)^2=16 [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{x(x^2+y^2+z^2-2yz)=2(1) \\ y(y^2+x^2+z^2-2xz)=30 (2)\\ z(z^2+x^2+y^2-2xy)=16(3) [/TEX]

(1)+(2)-2.(3)\Leftrightarrow[TEX](x^2+y^2+z^2)(x+y-2z)=0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x+y-2z=0 \Leftrightarrow y=2z-x(4)}\\{x=y=z=0} [/TEX]

Thế (4) vào (3),(1)\Rightarrow[TEX]\left{\begin{z(4x^2+5z^2-4xz)=16}\\{x(2x^2+z^2-2xz)=2} [/TEX]

Đặt x=kz\Rightarrowk=\frac{1}{2}\Rightarrow [TEX]\left{\begin{x=1}\\{z=2}\\{y=3} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{16(x^2+\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1)=yz \\ 16(\sqrt[3]{x^8}+x^2+\sqrt[3]{x^2}+1)+15(\sqrt[3]{x^4})=2y\sqrt[3]{x^4}[/TEX]

bạn này tìm nghiệm nguyên phải k bạn :| vì \forallx [TEX]\neq 0[/TEX]ta luôn tìm được giá trị y,z tương ứng

 

[no.one]

Tiếp !

11.[TEX]\left{\begin{8x^3y^3+27=18x^3}\\{4x^2y+6x=y^2} [/TEX](Olympic 2008)

12.[TEX]\left{\begin{2x^3+3x^2-18=y^3+y}\\{2y^3+3y^2-18=z^3+z}\\{2z^3+3z^2-18=x^3+x} [/TEX](Olympic-2009)

13..[TEX]\left{\begin{x-3z-3z^2x+z^3=0}\\{y-3x-3x^2y+x^3=0}\\{z-3y-3y^2z+y^3=0} [/TEX](nhẹ nhàng)

 

[quyenuy0241]

13..[TEX]\left{\begin{x-3z-3z^2x+z^3=0}\\{y-3x-3x^2y+x^3=0}\\{z-3y-3y^2z+y^3=0} [/TEX](nhẹ nhàng)

Làm con 13 trước nhá .

Dễ dàng nhận thấy [TEX]|x,y,z|=\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX] không phải là nghiệm đưa về dạng sau

[TEX]\left{\begin{x=\frac{3z-z^3}{1-3z^2}(1) \\ y=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}(2) \\ z=\frac{3y-y^3}{1-3y^2}(3)[/TEX]

Đặt[TEX] x=tgA, A \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [/TEX]

và sao cho [TEX]|tgA,tg3A,tg9A| \neq \frac{1}{\sqrt{3}} [/TEX]

[TEX] (2),(3),(1) \Rightarrow y=tg 3A, z=tg 9A, x=tg27A[/TEX]

Dẫn tới [TEX]tgA=tg27A\Leftrightarrow A=\frac{k \pi}{26}[/TEX]

Với [TEX]A \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/TEX]

Nên [TEX]|k| \le 12[/TEX]

Vậy PT có 25 nghiệm là [TEX](x,y,z)=(tg \frac{k \pi}{26},tg \frac{3k \pi}{26},tg \frac{k9 \pi}{26})[/TEX] với [TEX]k \in Z ,|k| \le 12 [/TEX]

 

[quyenuy0241]

11.[TEX]\left{\begin{8x^3y^3+27=18x^3}\\{4x^2y+6x=y^2} [/TEX](Olympic 2008)

[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{8x^3+\frac{27}{y^3}=18 \frac{x^3}{y^3}\\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{(2x+\frac{3}{y})^3-\frac{6x}{y}(2x+\frac{3}{y})=18 \\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1[/TEX]

Đặt [TEX] \left{\begin{\frac{x}{y}=a \\ 2x+\frac{3}{y}=b[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

uhm, típ nhá , ai làm đc thì post 3 bài trên của mình nhá !!!

Bây h tới 3 con khác



[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2[/TEX]

hệ pt viết lại như sau

[TEX] \left {\begin{(x^2+1) +y(x+y)=4y}\\{y(x+y)^2 =2(x^2+1) +7y}[/TEX]

thế[TEX] x^2+1 =4y-y(x+y)[/TEX] vào pt 2 ta có

[TEX]y(x+y)^2=8y - 2y(x+y) +7y [/TEX]
(y=0 không là nghệm của pt)
[TEX]\Rightarrow (x+y)^2 = 15 -2(x+y) [/TEX] đến đây giải pt bậc hai là xong ạ

 

[tell_me_goobye]

uhm, típ nhá , ai làm đc thì post 3 bài trên của mình nhá !!!

Bây h tới 3 con khác

[TEX]\left{\begin{2+\frac{1}{y}=x+\frac{2}{xy}\\ \sqrt{x+xy}=\sqrt{y-xy}[/TEX]

từ pt đầu ta có

[TEX]2-x =\frac{1}{y}(\frac{2-x}{x})[/TEX]

\Rightarrowxy =1
thế vào pt 2 lại có \Rightarrow\Rightarrow y-x =2

kết hợp lại dễ dàng tính được x,y

 

[thuyduong_10a1]

[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{8x^3+\frac{27}{y^3}=18 \\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1[/tex]

chỗ này tớ ko hỉu: ở pt 1 bạn chia cho y^3 thì pt nó là thế này chứ
[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{8x^3+\frac{27}{y^3}=\frac{18x^3}{y^3} \\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1[/tex]

 

[quyenuy0241]

\

12.[TEX]\left{\begin{2x^3+3x^2-18=y^3+y}\\{2y^3+3y^2-18=z^3+z}\\{2z^3+3z^2-18=x^3+x} [/TEX](Olympic-2009)

Làm nốt vậy

dễ dàng nhận thấy hàm số [TEX]g(a)=a^3+a[/TEX] đồng biến trên R

Xét hàm số : [TEX]f(t)=2t^3+3t^2-18 [/TEX]

[tex]f'(t)=6t^2+6t [/tex]

Hàm số đồng biến trên [TEX](-\infty ,-1) \bigcup_{}^{}(0,+\infty)[/TEX]
Nghịch biến trên [TEX](-1,0)[/TEX]

Giả sử [TEX]x \le y(1)[/TEX]

[TEX] TH_1:: x \in (-\infty ,-1) \bigcup_{}^{}(0,+\infty) [/TEX]

Hệ tương đương

[TEX]\left{\begin{f(x)=g(y) \\ f(y)=g(z)\\ f(z)=g(x)[/TEX]

Do trên khoảng này : f(x) đồng biến , g(x) đồng biến

Không mất tính tổng quát giả sử : x=min{x,y,z}

Lúc đó ta có :

[TEX]x \le y \Leftrightarrow f(x) \le f(y) \Rightarrow g(y) \le g(z) \Rightarrow y \le z \Rightarrow f(y) \le f(z) \Rightarrow y \le z[/TEX]

Vậy ta có : x \le y \le z \le x \Rightarrow x=y=z

[TEX]TH_2:: x \in (0,1)[/TEX]

Khi đó f(x) nghịch biến còn g(x) đồng biến

Ta có [TEX] x \le y(1) \Rightarrow f(x) \ge f(y) \Rightarrow g(y) \ge g(z) \Rightarrow y \ge z \Rightarrow f(y) \le f(z) \Rightarrow g(z) \le g(x) \Rightarrow x \ge z \Rightarrow f(x) \le f(z )\Rightarrow g(y) \le g(x) \Rightarrow y \le x(2)[/TEX]

từ (1) và (2) suy ra x=y

tương tự ta cũng có x=y=z

Vậy Nghiệm của HPT là x=y=z=....

 

[tell_me_goobye]

giải hệ

[TEX]\left{\begin{x^4-y^4=240}\\{x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y)}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[TEX]\left{\begin{6x^4-(x^3-x)y^2-(y+12)x^2=-6 \\ 5x^4-(x^2-1)^2y^2-11x^2=-5[/TEX]


[TEX]\left{\begin{|x+y|+|x-y|+|x^2-y^2|=5 \\ 2(x^2+y^2)=5[/TEX]



[tex]\left{\begin{x+\sqrt{y-1}=6 \\ \sqrt{x^2+2x+y}+2x\sqrt{y-1}+2\sqrt{y-1}=29 [/TEX]

Làm đi nhá hết mình post tiếp !\

 

[tell_me_goobye]

[tex]\left{\begin{x+\sqrt{y-1}=6 \\ \sqrt{x^2+2x+y}+2x\sqrt{y-1}+2\sqrt{y-1}=29 [/tex]

Làm đi nhá hết mình post tiếp !\

hệ trở thành

[TEX]\left{\begin{(x+1)+\sqrt{y-1}=7}\\{ \sqrt{(x+1)^2+(y-1)}+2 \sqrt{y-1}(x+1) =29}[/TEX]

đến đây đặt x+1 =a , [TEX]\sqrt{y-1}[/TEX] =b

hệ trở thành

[TEX]\left{\begin{\sqrt{a^2+b^2}+2ab=29}\\{a+b =7}[/TEX]

đến đây đơn giản