[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[acsimet_91]

Hình như đề là [TEX]x^2+y^2+z^2=a^2[/TEX] phải k anh . Nếu đề như vậy thỳ em làm như sau
[TEX]x^2+y^2+z^2=a^2\Leftrightarrow ax^2+ay^2+az^2=a^3[/TEX]
[tex]ax^2+ay^2+az^2-x^3-y^3-z^3=0[/tex]
[tex]x^2(a-x)+y^2(a-y)+z^2(a-z)=0[/tex]
Vậy ta có a=x=y=z=0.
p/s: e k bjk đug' k , níu sai thì tha thứ nhé :-s

em chém sai rồi )
thứ nhất:trước khi nhân cả 2 vế với a,em phải xét xem a=0 hay a khác 0
thứ 2:[TEX]x^2(a-x)+y^2(a-y)+z^2(a-z)=0[/TEX] thì sao kết luận được [TEX]a=x=y=z[/TEX]?
em đã nghĩ đến TH trong các số [TEX]a-x,a-y,a-z[/TEX] có số lớn hơn 0 ,có số nhỏ hơn 0 thì sao?

 

[ngomaithuy93]

[TEX]\left{\begin{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{x-\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{9x}{5}(1)}\\{\frac{x}{y}=\frac{5+3x}{6(5-y)(2)}[/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow 30x-5y=9xy \Leftrightarrow y=\frac{30x}{9x+5}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{30}{9x+5}[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2}}{1-\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2}}=\frac{9x}{5}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{1-\frac{900}{(9x+5)^2}}}{1-\sqrt{1-\frac{900}{(9x+5)^2}}}=\frac{9x+5}{5}-1[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Giải hệ pt:
[TEX]\left{x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}=3x\sqrt{2x-1}\\y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}=3y\sqrt{2y-1}[/TEX]

Hệ pt đối xứng loại 2!
Trừ 2 vế tương ứng:
[TEX] -\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})=\frac{3[2(x^3-y^3)-(x^2-y^2)}{x\sqrt{2x-1}+y\sqrt{2y-1}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{\sqrt{x}-\sqrt{y}=0}\\{-\sqrt{xy}=\frac{6(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x^2+y^2+xy)-(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y)}{x\sqrt{2x-1}+y\sqrt{2y-1}}[/TEX]
pt thứ 2 vô nghiệm do VT âm, VP dương [TEX]\forall x \geq \frac{1}{2}[/TEX]
(Hình như thế! ; )

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]\left{\begin{x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}}\\{y^{19}+z^5=1890x+x^{2001}\\{z^{19}+x^5=1890y+y^{2001}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

thứ 2:[TEX]x^2(a-x)+y^2(a-y)+z^2(a-z)=0(!)[/TEX] thì sao kết luận được [TEX]a=x=y=z[/TEX]?
em đã nghĩ đến TH trong các số [TEX]a-x,a-y,a-z[/TEX] có số lớn hơn 0 ,có số nhỏ hơn 0 thì sao?

Phần trên thì mình đồng ý còn phần dưới thì có thể bổ sung

(*) Nếu [tex]a>0[/tex]
theo PT đầu : [tex]a=|a| > x,y,z [/tex]
thì [tex]VT(!) \ge 0[/tex]

(*) nếu [tex]a<0[/tex] thì [tex] -a=|a| \ge |x| \ge -x \Rightarrow x \ge a[/tex]

Xây dựng tương tự ta thu được vs [tex]x,y[/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2 }[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]\sqrt{x+2\sqrt{x+..+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}= x[/TEX]

 

[acsimet_91]

[TEX]\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2 }[/TEX]

ĐK: 0<x\leq1
cách 1:
xét [TEX]f(x) =\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/TEX]
[TEX]f'(x)=\frac{\frac{-1}{x^2}}{2\sqrt{\frac{1-x}{x}}} <0[/TEX]
---->[TEX]f(x)[/TEX]nghịch biến
xét [TEX] g(x)=1+\frac{2x-1}{1+x^2}[/TEX]
[TEX]g'(x)=\frac{-2x^2 +2x +2}{(1+x^2)^2} >0[/TEX] với 0<x\leq1--->[TEX]g(x) [/TEX]đồng biến trên (0 ,1]
--->pt đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm
[TEX]f(\frac{1}{2}) = g(\frac{1}{2})[/TEX]
------->pt có 1nghiệm [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]
cách 2:
Đặt [TEX]x=sin^2t (0<t\leq\frac{pi}{2})[/TEX]
[TEX]\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\sqrt{\frac{cos^2t}{sin^2t}}=cott[/TEX](do [TEX]sint,cost>0 [/TEX]
rồi chuyển về lượng giác làm tiếp

cách này có vẻ ko khoai như cách 1

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]\left{\begin{x^{19}+y^5=1890z+z^{2001}}\\{y^{19}+z^5=1890x+x^{2001}\\{z^{19}+x^5=1890y+y^{2001}[/TEX]

con` bai` nay` ạ
vs giúp em bài nữa
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+....+\sqrt{x_n}=n}\\{\sqrt{x_1+8}+\sqrt{x_2+8}+....+\sqrt{x_n+8}=3n}[/TEX]

 

[hocbdt]

con` bai` nay` ạ
vs giúp em bài nữa
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+....+\sqrt{x_n}=n}\\{\sqrt{x_1+8}+\sqrt{x_2+8}+....+\sqrt{x_n+8}=3n}[/TEX]

Cộng, trừ rồi nhân liên hợp ta có:

[TEX]\left{ \sum_{i=1}^n(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+8} ) = 4n \\ \sum_{i=1}^n(\frac{8}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+8}} ) = 2n [/TEX]


[TEX]\Rightarrow \bigg( \sum_{i=1}^n(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+8} ) \bigg) \bigg( \sum_{i=1}^n(\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+8}}) \bigg) =n^2 [/TEX]

Mà theo Cauchy-Schwart thì [TEX]VT\ge VP[/TEX]

[TEX]DK: x \ge 0 [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow x+ 2VT = x^2 [/TEX]-1-

[TEX]\Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 0 (thoa DK) \\ x=3 (thoa DK) [/TEX]

Sa i từ 1

Bài này không sai

 

[mika_tmc]

Bài này thì giải theo phương pháp nào thế mọi người ?
Giải PT: [TEX]3^x + 6^x = 4^x + 5^x [/TEX]

 

[duonga4k88]

đây là bài mình giải mãi ko ra mọi người giúp với
[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{........+2\sqrt{3x}}}}}}=x[/tex]
giải phương trình khi có n dấu căn

 

[legendismine]

[tex]\left{\begin{x^3-y^3=9}\\{x^2+2y^2=x-4y}[/tex]
[tex](\sqrt {x+1}+1)^3=\sqrt {x^3+2}[/tex]

 

[letrang3003]

[tex]\left{\begin{x^3-y^3=9}\\{x^2+2y^2=x-4y}[/tex]
[tex](\sqrt {x+1}+1)^3=\sqrt {x^3+2}[/tex]

điều kiện x+1 \ge 0

có 1 nghiệm là -1 rồi, ta giải quyết cái kia:

nếu

dễ thấy

nên

nếu x dương ta có :

đúng theo cô si .

vậy ta có :

hay

Kết Luận PT có nghiệm duy nhất là -1

 

[mika_tmc]

[tex] 3^x-4^x=5^x-6^x[/tex]

xét hàm số [tex]f(n):=n^x-(n+1)^x \ \ \ \n>0[/tex]

[tex]f'(n)=x(n^{x-1}+(n-1)^{x-1})[/tex]

do đó ta có theo [tex]lagrange[/tex] thì điều kiện cần là

[tex]f(n)-f(n+2)=-2x\[c^{x-1}-(c-1)^{x-1}\]\ \ \ \ c\in(n;n+2)[/tex]

do đó điều kiện cần để phương trình [tex]f(n)-f(n+2)=0\leftrightarrow \left[x=0\\x=1[/tex]

thế lại [tex]x=\{0;1\}[/tex] thỏa . Vậy phương trình có hai nghiệm [tex]x=\{0;1\}[/tex] .

[tex]\ \ [/tex]

Chưa hiểu lắm,bạn nào giải thích rõ hơn giúp mình!

 

[quyenuy0241]

giải PT:

[tex]1. x^3-3x=\sqrt{x+2} \\ \sqrt{\frac{\sqrt{x^2-x+66^2}}{x}}-\sqrt{x\sqrt{x^2+x+66^2}}=5 [/tex]

 

[quyenuy0241]

ĐK: 0<x\leq1
cách 1:
xét [TEX]f(x) =\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/TEX]
[TEX]f'(x)=\frac{\frac{-1}{x^2}}{2\sqrt{\frac{1-x}{x}}} <0[/TEX]
---->[TEX]f(x)[/TEX]nghịch biến
xét [TEX] g(x)=1+\frac{2x-1}{1+x^2}[/TEX]
[TEX]g'(x)=\frac{-2x^2 +2x +2}{(1+x^2)^2} >0[/TEX] với 0<x\leq1--->[TEX]g(x) [/TEX]đồng biến trên (0 ,1]
--->pt đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm
[TEX]f(\frac{1}{2}) = g(\frac{1}{2})[/TEX]
------->pt có 1nghiệm [TEX]x=\frac{1}{2}[/TEX]
cách 2:
Đặt [TEX]x=sin^2t (0<t\leq\frac{pi}{2})[/TEX]
[TEX]\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\sqrt{\frac{cos^2t}{sin^2t}}=cott[/TEX](do [TEX]sint,cost>0 [/TEX]
rồi chuyển về lượng giác làm tiếp

cách này có vẻ ko khoai như cách 1

Cách 3: có vẻ ngon xơi hơn thì phải:

[tex]PT \Leftrightarrow \frac{2x-1}{1+x^2}+1- \sqrt{\frac{1-x}{x}}=0 \\ \Leftrightarrow \frac{2x-1}{1+x^2}+\frac{2x-1}{x (\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)}=0[/tex]

(*)Rõ ràng [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX] là nghiệm

(*)[tex]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x (\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)}=0 [/tex]

Vô nghiệm do DK [tex]x \in (0,1] [/tex]

 

[minhkhac_94]

giải PT:

[tex]1. x^3-3x=\sqrt{x+2} \\ \sqrt{\frac{\sqrt{x^2-x+66^2}}{x}}-\sqrt{x\sqrt{x^2+x+66^2}}=5 [/tex]

1) Đặt x=2cosa với a thuộc [TEX][0, \pi][/TEX]
____________________________

 

[quyenuy0241]

1) Đặt x=2cosa với a thuộc [TEX][0, \pi][/TEX]
____________________________

Hô hô đặt vô căn cứ . Giải thích coi!

 

[letrang3003]

đúng vì

Em chẳng có cách nào thông minh cả :-s, cứ gặp PT là liên hợp