[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[duykien94]

Áp dụng BĐT Cô-si:
[TEX]\frac{1}{x + 1} = \frac{2x}{x + 1} + \frac{4y}{y + 1} + \frac{2z}{z + 1} \geq 8.\sqrt[8]{\frac{x^2.y^4.z^2}{(x + 1)^2.(y + 1)^4.(z + 1)^2}}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{y + 1} = \frac{3x}{x + 1} + \frac{3y}{y + 1} + \frac{2z}{z + 1} \geq 8.\sqrt[8]{\frac{x^3.y^3.z^2}{(x + 1)^3.(y + 1)^3.(z + 1)^2}}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{z + 1} = \frac{3x}{x + 1} + \frac{4y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \geq 8.\sqrt[8]{\frac{x^3.y^4.z^2}{(x + 1)^3.(y + 1)^4.(z + 1)}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{(x + 1)^3.(y + 1)^4.(z + 1)^2} \geq 8^9.\sqrt[8]{\frac{x^{24}.y^{32}.z^{16}}{(x + 1)^{24}.(y + 1)^{32}.(z + 1)^{16}}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8^9.x^3.y^4.z^2 \leq 1[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{x}{x + 1} = \frac{y}{y + 1} = \frac{z}{z + 1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] x = y = z = [TEX]\frac{1}{8}[/TEX]

Xong rồi đấy

 

[duynhan1]

Áp dụng BĐT Cô-si:

Ko có điều kiện x,y,z sao áp dụng BDT Co-si được nhỉ .

 

[utit_9x]

Logarit

1.

2.

 

[bigbang195]

[TEX]\begin{array}{l}1.\sqrt {1 - {x^2}} = {(\frac{2}{3} - \sqrt x )^2} \\ 2.5\sqrt {1 +{x^3}} = 2({x^2} + 1) \\ \end{array}[/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

[TEX]\begin{array}{l}1.\sqrt {1 - {x^2}} = {(\frac{2}{3} - \sqrt x )^2} [/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt{x}=a ;\frac{2}{3}-\sqrt{x}=b[/TEX]

\Rightarrow[TEX] a+b=\frac{2}{3}[/TEX] và [TEX]a^4+b^4=1[/TEX]

 

[kien_b3t0]

Giải các pt, hpt sau:

1. [TEX]x^3 - 6x^2 + 12x - 7 = \sqrt[3]{- x^3 + 9x^2 - 19x + 11}[/TEX]

2. [TEX]\left{\begin{2x^3 + 3x^2 - 18 = y^3 + y}\\{2y^3 + 3y^2 - 18 = z^3 + z}\\{2z^3 + 3z^2 - 18 = x^3 + x}[/TEX]

3. [TEX]\left{\begin{2x.(y^2 + 4) = y.(y^2 + 36)}\\{2y.(z^2 + 4) = z.(z^2 + 36)}\\{2z.(x^2 + 4) = x.(x^2 + 36)} [/TEX]

4. [TEX]\left{\begin{2x^2 + xy = 1}\\{\frac{9x^2}{2.(1 - x)^4} = 1 + \frac{2xy}{2.(1 - x)^2}}[/TEX]

5. [TEX]\left{\begin{\sqrt[3]{10x - y} + \sqrt[2]{3x - y} = 3\\{2x + y + \sqrt[2]{3x - y} = 5} [/TEX]

6. [TEX]\left{\begin{\sqrt[2]{- x - 1} - \sqrt[2]{2y - x} = 1}\\{\sqrt[2]{1 - 2y} - \sqrt[2]{2y - x} = 4} [/TEX]

Chúc các bạn vui

 

[01263812493]

Tìm nguyện nguyên dương của phương trình :
a)[TEX]x^4-x^2y+y^2=81001[/TEX]
b)[TEX]x^3-y^2=xy[/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

Tìm nguyện nguyên dương của phương trình :

b)[TEX]x^3-y^2=xy[/TEX]

Gỉa sử [TEX]1 \leq y \leq x [/TEX]
Ta có:[TEX] x^3-x^2-xx \leq x^3-y^2-xy=0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^2(x-2) \leq 0[/TEX]
Kết hợp với đk [TEX] x \geq 1[/TEX] và x dương \Rightarrow x có thể nhận 2 giá trị 1 và 2
Với x=1 thì không có giá trị y nguyên thỏa mãn
Với x=2 ---> y=2 là nghiệm nguyên duy nhất

 

[duykien94]

Giải các pt, hpt sau:

1. [TEX]x^3 - 6x^2 + 12x - 7 = \sqrt[3]{- x^3 + 9x^2 - 19x + 11}[/TEX]

2. [TEX]\left{\begin{2x^3 + 3x^2 - 18 = y^3 + y}\\{2y^3 + 3y^2 - 18 = z^3 + z}\\{2z^3 + 3z^2 - 18 = x^3 + x}[/TEX]

3. [TEX]\left{\begin{2x.(y^2 + 4) = y.(y^2 + 36)}\\{2y.(z^2 + 4) = z.(z^2 + 36)}\\{2z.(x^2 + 4) = x.(x^2 + 36)} [/TEX]

4. [TEX]\left{\begin{2x^2 + xy = 1}\\{\frac{9x^2}{2.(1 - x)^4} = 1 + \frac{2xy}{2.(1 - x)^2}}[/TEX]

5. [TEX]\left{\begin{\sqrt[3]{10x - y} + \sqrt[2]{3x - y} = 3\\{2x + y + \sqrt[2]{3x - y} = 5} [/TEX]

6. [TEX]\left{\begin{\sqrt[2]{- x - 1} - \sqrt[2]{2y - x} = 1}\\{\sqrt[2]{1 - 2y} - \sqrt[2]{2y - x} = 4} [/TEX]

Chúc các bạn vui

Mấy bài này giải như thế nào vậy, mình nghĩ mãi mà vẫn chưa ra

 

[01263812493]

Gỉa sử [TEX]1 \leq y \leq x [/TEX]
Ta có:[TEX] x^3-x^2-xx \leq x^3-y^2-xy=0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^2(x-2) \leq 0[/TEX]
Kết hợp với đk [TEX] x \geq 1[/TEX] và x dương \Rightarrow x có thể nhận 2 giá trị 1 và 2
Với x=1 thì không có giá trị y nguyên thỏa mãn
Với x=2 ---> y=2 là nghiệm nguyên duy nhất

Bài này hình như còn [TEX]x=110;y=1100[/TEX] nữa mà
Còn bài 1 nữa

 

[bigbang195]

Bài này hình như còn [TEX]x=110;y=1100[/TEX] nữa mà
Còn bài 1 nữa

Bài 1 dùng delta hoặc phương pháp chặn .

 

[01263812493]

Bài 1 dùng delta hoặc phương pháp chặn .

Rõ hơn đi anh
dùng delta thế nào --> em đang cần gấp

 

[minhkhac_94]

Giải các pt, hpt sau:

1. [TEX]x^3 - 6x^2 + 12x - 7 = \sqrt[3]{- x^3 + 9x^2 - 19x + 11}[/TEX]

-Nhiều bài quá làm thấy này thôi
Chém thằng này trước :
Đặt

Ta có hệ

Nhân 2 với pt đầu cộng với pt 2 được

Dễ thấy hàm f(t)=t^3+3t [/IMG]đồng biến =>

đến đây dễ

 

[minhkhac_94]

Giải các pt, hpt sau:


2. [TEX]\left{\begin{2x^3 + 3x^2 - 18 = y^3 + y}\\{2y^3 + 3y^2 - 18 = z^3 + z}\\{2z^3 + 3z^2 - 18 = x^3 + x}[/TEX]

Dễ thấy hàm

đồng biến
Do vài trò x,y,z như nhau giả sử

Khi đó

Đến đây OK?

 

[minhkhac_94]

[tex]\left{\begin{\sqrt[3]{10x - y} + \sqrt[2]{3x - y} = 3\\{2x + y + \sqrt[2]{3x - y} = 5}[/tex]

tiếp
Đặt

Khi đó ta có hệ

Đến đây chỉ vệc thế

vào pt thứ 2 được

(thỏa mãn ĐK)

[tex]\left{\begin{2x^2 + xy = 1}\\{\frac{9x^2}{2.(1 - x)^4} = 1 + \frac{2xy}{2.(1 - x)^2}}[/tex]

Bài này thế 2xy=... ở pt đầy thế vào pt thứ 2
Sau đó quy đồng ra pt bậc 4 của x và có nghiệm x=-2

[tex]\left{\begin{\sqrt[2]{- x - 1} - \sqrt[2]{2y - x} = 1}\\{\sqrt[2]{1 - 2y} - \sqrt[2]{2y - x} = 4} [/tex]

Mỗi bài 1 post có gọi là spam ko nhỉ mod thích gộp thì gộp
sai đề

 

[duynhan1]

3. [TEX]\left{\begin{2x.(y^2 + 4) = y.(y^2 + 36)}\\{2y.(z^2 + 4) = z.(z^2 + 36)}\\{2z.(x^2 + 4) = x.(x^2 + 36)} [/TEX]

Còn sót 1 bài

[TEX]\left{\begin{2x = \frac{y.(y^2 + 36)}{y^2 + 4}\\{2y = \frac{z.(z^2 + 36)}{z^2 + 4} \\{2z = \frac{x.(x^2 + 36)}{x^2 + 4} [/TEX]

Xét [TEX]f(t) = \frac{y(y^2+ 36)}{y^2+4} [/TEX]

[TEX]f'(t) = \frac{y^4 - 24y^2 + 144 }{(y^2+4)^2} [/TEX]

[TEX]f'(t) = 0 \Leftrightarrow y^2 = 12 [/TEX]
[TEX]f(-4) = -10,4 [/TEX]
[TEX]f(-\sqrt{12}) = -6\sqrt{3}[/TEX]
[TEX]f(\sqrt{12} ) = 6 \sqrt{3} [/TEX]
[TEX]f(4) = 10,4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX] Hàm đồng biến.

[TEX]\Rightarrow x=y=z [/TEX]

[TEX]2x^3 + 8 x = x^3 + 36 x [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3 - 28 x = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ x= \pm 2 \sqrt{7}[/TEX]

 

[bigbang195]

Còn sót 1 bài


[TEX]f'(t) = 0 \Leftrightarrow y^2 = 12 [/TEX]
[TEX]f(-4) = -10,4 [/TEX]
[TEX]f(-\sqrt{12}) = -6\sqrt{3}[/TEX]
[TEX]f(\sqrt{12} ) = 6 \sqrt{3} [/TEX]
[TEX]f(4) = 10,4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX] Hàm đồng biến.

[TEX]\Rightarrow x=y=z [/TEX]

Hàm số đồng biến khi[TEX] f(t) \ge 0[/TEX] của đó anh .

 

[duynhan1]

Hàm số đồng biến khi[TEX] f(t) \ge 0[/TEX] của đó anh .

/

 

[ngomaithuy93]

Giải pt trên (0;+\infty):
[TEX] 2x+\frac{x-1}{x}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0[/TEX]

 

[duynhan1]

Giải pt trên (0;+\infty):
[TEX] 2x+\frac{x-1}{x}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0[/TEX]

[TEX]DK : x \ge 1 [/TEX]

[TEX]\left{ a = \sqrt{x+1} \\ b = \sqrt{\frac{x-1}{x}}[/TEX]

[TEX]2a^2 - 2 + b^2 - b - 3ab = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2a^2 - 3ab + b^2 - b - 2 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b-1)(2a - b + 2) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \sqrt{x+1} = 1 +\sqrt{\frac{x-1}{x}} \\ 2 \sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{x-1}{x}}-2 [/TEX]

Đỡ mất công dời bài )