[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[duynhan1]

Hệ phương trình hay đây :

[TEX]\Leftrightarrow \left{ ( x^2 + 2x ) ( y^2 + 2y ) =24 \\ ( x^2+ 2x ) + ( y^2 + 2y) = 11[/TEX]:Mhi:

 

[quyenuy0241]

Giải HPT [tex]\left{x^3-y^3-3x+3y^2-2=0 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+1=0 [/tex]

 

[quyenuy0241]

GPT: [tex]2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x}-\sqrt{x-x^2})=x-1 [/tex] .

 

[phamduyquoc0906]

Giải HPT [tex]\left{x^3-y^3-3x+3y^2-2=0 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+1=0 [/tex]

[TEX]pt\Leftrightarrow{\left{x^3-3x=(y-1)^3-3(y-1)(1)\\x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{1-(y-1)^2}+1=0(2)[/TEX]

[TEX]f(t)=t^3-3t\Rightarrow{f^'(t)=3t^2-3\le0\ \ \ \ \ \forall{t\in[-1,1][/TEX][TEX]\Rightarrow{f(t):NB[/TEX]

do đó [TEX](1)\Leftrightarrow{f(x)=f(y-1)\Leftrightarrow{x=y-1[/TEX]

thế [TEX](2)\Rightarrow{2\sqrt{1-x^2}=x^2+1[/TEX][TEX].....[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

GPT: [tex]2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x}-\sqrt{x-x^2})=x-1 [/tex] .

[TEX]dk:0\le{x\le{\frac{1}{5}[/TEX]
[TEX]pt\Leftrightarrow{2\sqrt{x}+x-1+2(\sqrt{x-x^2}-\sqrt{1-5x})=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{2\sqrt{x}+x-1+\frac{2(-x^2+6x-1)}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x-x^2}}=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow{2\sqrt{x}+x-1+\frac{2(2\sqrt{x}+x-1)(2\sqrt{x}-x+1)}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x-x^2}}=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[2\sqrt{x}+x-1=0(1)\\1+\frac{2(2\sqrt{x}-x+1)}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x-x^2}}=0(2)[/TEX]
[TEX]*(2):VN\ \ \ do \ \ \ dk[/TEX]

[TEX]*(1)\Leftrightarrow{\left[x=3+\sqrt8(l)\\x=3-\sqrt8[/TEX]
[TEX]pt\Leftrightarrow{x=3-\sqrt8[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: [TEX]|2x^2-3x-2|=5m-8x-2x^2[/TEX]

 

[puu]

Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: [TEX]|2x^2-3x-2|=5m-8x-2x^2[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]|2x^2-3x-2|+2x^2+8x=5m[/TEX]
đặt [TEX]f(x)=|2x^2-3x-2|+2x^2+8x[/TEX]
ta có ;
[TEX]f(x)=\left{\begin{4x^2+5x-2; x \in (-\infty; -1/2]\bigcup_{}^{}[2;+\infty)}\\{11x+2;x \in(-1/2;2)[/TEX]
[TEX]f^{\prime}x=\left{\begin{8x+5;x \in (-\infty; -1/2)\bigcup_{}^{}(2;+\infty)}\\{11;x \in(-1/2;2)[/TEX]
vẽ bảng biến thiên với các mốc
âm vô cùng; -5/8; -1/2; 2; dương vô cùng
lưu ý tại x=-1/2 và x=2 hàm số ko có đạo hàm hay đạo hàm ko xác định tại 2 điểm đó
từ âm vô cùng đến -5/8 đạo hàm mang dấu -
từ (-5/8;-1/2); (-1/2;2);(2; + vô cùng) thì đạo hàm +
do đó từ bảng biến thiên thì hàm nghịch biến từ âm vô cùng đến -5/8
đ biến từ -5/8 đến + vô cùng
vậy để PT có nghiệm duy nhất thì [TEX]5m=f(-5/8)[/TEX]

 

[minhkhac_94]

Giải bình thường
phá trị tuyệt đối
[tex]<=>x=\frac{5m-2}{11}[/tex] nếu [tex]2x^2-3x-2<0[/tex]
hoặc [tex]4x^2+5x-(5m+2)=0[/tex] với [tex]2x^2-3x-2 \geq 0[/tex]
TH1 thế [tex]x=\frac{5m-2}{11}[/tex] vào [tex]2x^2-3x-2<0 =>[/tex] ĐK của m để pt có nghiệm duy nhất[tex] x=\frac{5m-2}{11}[/tex]
TH2[tex] \denta =0 => m=-\frac{57}{80}[/tex]

 

[ngomaithuy93]

\Leftrightarrow[TEX]|2x^2-3x-2|+2x^2+8x=5m[/TEX]
đặt [TEX]f(x)=|2x^2-3x-2|+2x^2+8x[/TEX]
ta có ;
[TEX]f(x)=\left{\begin{4x^2+5x-2; x \in (-\infty; -1/2]\bigcup_{}^{}[2;+\infty)}\\{11x+2;x \in(-1/2;2)[/TEX]
[TEX]f^{\prime}x=\left{\begin{8x+5;x \in (-\infty; -1/2)\bigcup_{}^{}(2;+\infty)}\\{11;x \in(-1/2;2)[/TEX]
vẽ bảng biến thiên với các mốc
âm vô cùng; -5/8; -1/2; 2; dương vô cùng
lưu ý tại x=-1/2 và x=2 hàm số ko có đạo hàm hay đạo hàm ko xác định tại 2 điểm đó
từ âm vô cùng đến -5/8 đạo hàm mang dấu -
từ (-5/8;-1/2); (-1/2;2);(2; + vô cùng) thì đạo hàm +
do đó từ bảng biến thiên thì hàm nghịch biến từ âm vô cùng đến -5/8
đ biến từ -5/8 đến + vô cùng
vậy để PT có nghiệm duy nhất thì [TEX]5m=f(-5/8)[/TEX]

Có thiếu giá trị m ko c? :| t ko ra đáp số này! :|

Thêm đề....

1. Giải hpt: [TEX]\left{{\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}}\\{x^2+y^2=1}[/TEX]
   
2. [TEX]\left{{2x+x^2y=y}\\{2y+y^z=z}\\{2z+z^2x=x}[/TEX]
   
3. Gpt: [TEX]8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1[/TEX] trên [0;1]
   
4. Tìm m để hệ có nghiệm: [TEX]\left{{\sqrt{1-x^2}-y=0}\\{y-mx+3m=m\sqrt{2}}[/TEX]
   
5. Giải hpt: [TEX]\left{{3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})}\\{xy+yz+zx=1}[/TEX]

 

[minhkhac_94]

[tex]\left{{2x+x^2y=y}\\{2y+2y^2z=z}\\{2z+2z^2x=x}[/tex]

[tex]\left{{2x+x^2y=y}\\{2y+2y^2z=z}\\{2z+2z^2x=x}[/tex]

Dễ dàng thấy x=+-1 thì hệ vô nghiệm nếu x^2 khác 1 thì
hê[tex]<=>\left{{y=\frac{2x}{1-x^2}}\\{z=\frac{2y}{1-y^2}}\\{x=\frac{2z}{1-z^2}}[/tex]
Đặt[tex] x=tan a[tex] với a thuộc [tex](-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})[/tex]
[tex]=>y=tan2a;z=tan4a;x=tan8a[/tex]
[tex]=>tana=tan8a=>a=\frac{k\pi}{7}[/tex]
thay vào ĐK của[tex] a=>a=-3;-2;-1;0;1;2;3[/tex]
Hệ có 7 nghiệm [tex](tana;tan2a;tan4a)[/tex] với a=...

 

[duynhan1]

Có thiếu giá trị m ko c? :| t ko ra đáp số này! :|

Thêm đề....

1. Giải hpt: [TEX]\left{{\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}}\\{x^2+y^2=1}[/TEX]
   

[TEX]\Leftrightarrow \left{ \sqrt{2} ( x- y)( 1+ 4xy)= sqrt3 \\ (x-y)^2 = \frac12 + \frac12(1 + 4xy) [/TEX]

Đặt ẩn phụ giải dễ dàng

Có thiếu giá trị m ko c? :| t ko ra đáp số này! :|

Thêm đề....
[*]Gpt: [TEX]8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1[/TEX] trên [0;1]

[TEX] x = sin t \ \ ( t \in [ 0 ; \frac{\pi}{2} ] [/TEX]

[TEX] 8 sin t . cos 2t ( 2( 2 sin^2t- 1)^2 - 1 ) = 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8 sint. cos 2t . cos 4t = 1 [/TEX](*)

[TEX]cos t = 0 \Leftrightarrow sint =1 [/TEX] ( do điều kiện ) không là nghiệm của phương trình.

[TEX] cos t \not=0 [/TEX] ta có :

(*)[TEX]\Leftrightarrow sin 8t = cos t [/TEX]

Có thiếu giá trị m ko c? :| t ko ra đáp số này! :|

Thêm đề....

1. Giải hpt: [TEX]\left{{\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}}\\{x^2+y^2=1}[/TEX]
   
2. [TEX]\left{{2x+x^2y=y}\\{2y+y^z=z}\\{2z+z^2x=x}[/TEX]
   
3. Gpt: [TEX]8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1[/TEX] trên [0;1]
   
4. Tìm m để hệ có nghiệm: [TEX]\left{{\sqrt{1-x^2}-y=0}\\{y-mx+3m=m\sqrt{2}}[/TEX]
   
5. Giải hpt: [TEX]\left{{3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})}\\{xy+yz+zx=1}[/TEX]

Ngó đi ngó lại tất cả đều lượng giác hóa

 

[duynhan1]

Tiếp nối mấy bài lượng giác hoá của chị ngomaithuy93

[TEX]1. \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} = x( 1 + 2 \sqrt{1-x^2} )[/TEX]

[TEX]\blue 2. \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} \bigg[ \sqrt{(1+x)^3} - \sqrt{(1-x)^3} \bigg] = \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{1-x^2}{3}} [/TEX]

[TEX]3. \\ \sqrt{1-2x} + \sqrt{1+2x} = \sqrt{\frac{1-2x}{1+2x} } + \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x} }[/TEX]

 

[lagrange]

[TEX]3. \\ \sqrt{1-2x} + \sqrt{1+2x} = \sqrt{\frac{1-2x}{1+2x} } + \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x} }[/TEX][/QUOTE]
bài này lg giác hoá ah
theo chú BCS:
[tex]VT \le 2[/tex]
theo chú co-si:
[tex]VP \ge 2[/tex]
[tex]=>x=0[/tex]

 

[ngomaithuy93]

Giải hpt: [TEX]\left{{3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})}\\{xy+yz+zx=1}[/TEX]

Ai giải cụ thể bài này đi, có vấn đề rồi!

Tiếp nối mấy bài lượng giác hoá của chị ngomaithuy93
[TEX]\blue 2. \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} \bigg[ \sqrt{(1+x)^3} - \sqrt{(1-x)^3} \bigg] = \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{1-x^2}{3}} [/TEX]

He, thank e!
[TEX] pt \Leftrightarrow x\sqrt{6}[2+\sqrt{1-x^2}]=2+\sqrt{1-x^2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=0[/TEX]

[TEX]1. \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} = x( 1 + 2 \sqrt{1-x^2} )[/TEX]

[TEX] x=sint (0 \leq t \leq \pi)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \sqrt{2}cos^2.\frac{t}{2}=sint(1+2cost)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[{cos.\frac{t}{2}=0}\\{\sqrt{2}cos.\frac{t}{2}=2cos.\frac{t}{2}(-1+4cos^2.\frac{t}{2})[/TEX]

 

[duynhan1]

Có thiếu giá trị m ko c? :| t ko ra đáp số này! :|

Thêm đề....

1. Giải hpt: [TEX]\left{{3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})}(1)\\{xy+yz+zx=1(2)}[/TEX]

Do (2) nên ta đặt :

[TEX]\left{ x = tan {\frac{A}{2} } \\ y =tan {\frac{B}{2} } \\ z= tan {\frac{C}{2} } [/TEX]

[TEX]tan x + \frac{1}{tan x} = \frac{2}{sin 2x } [/TEX]

[TEX](1)\Leftrightarrow \frac{3}{sin A} = \frac{4}{sin B } = \frac{5}{sin C} [/TEX]

hay

[TEX]sin A : sin B : sin C = 3:4:5 [/TEX]

Lại có:
[TEX]a:b:c=sin A : sin B : sin C [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a:b:c= 3:4:5 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \Delta ABC [/TEX] vuông tại C.

[TEX]\Rightarrow sin C = 1[/TEX] thế vào

 

[ngomaithuy93]

Do (2) nên ta đặt :

[TEX]\left{ x = tan {\frac{A}{2} } \\ y =tan {\frac{B}{2} } \\ z= tan {\frac{C}{2} } [/TEX]



[TEX](1)\Leftrightarrow \frac{3}{sin A} = \frac{4}{sin B } = \frac{5}{sin C} [/TEX]

hay

[TEX]sin A : sin B : sin C = 3:4:5 [/TEX]

Lại có:
[TEX]a:b:c=sin A : sin B : sin C [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a:b:c= 3:4:5 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \Delta ABC [/TEX] vuông tại C.

[TEX]\Rightarrow sin C = 1[/TEX] thế vào

Cái này đã biết! /
Vấn đề ở chỗ chẳng thể tự dưng bứng A, B, C thành tam giác đc!
Chắc gì x, y, z đã dương! Chỉ cùng dấu thôi mà!

 

[duynhan1]

Cái này đã biết! /
Vấn đề ở chỗ chẳng thể tự dưng bứng A, B, C thành tam giác đc!
Chắc gì x, y, z đã dương! Chỉ cùng dấu thôi mà!

Giả sử [TEX]x<0 \Rightarrow y< 0, z< 0 [/TEX]

[TEX]Set: \ \ \left{ x' = - x \\ y' = -y \\ z' = -z [/TEX] Thêm cái này nữa ạ

 

[duynhan1]

Giải phương trình bậc cao

[TEX]x^4 + x^3 - 2x^2 - 43 x - 35 = 0 [/TEX] .

Cách tổng quát của phương trình bậc 4 là gì nhỉ

 

[pptthocgiang]

mình không hiểu mấy câu trên .giải dõ hơn cho mình nhé.sao x' =-x
y'=-y

 

[ngomaithuy93]

[TEX]x^4 + x^3 - 2x^2 - 43 x - 35 = 0 [/TEX] .

Cách tổng quát của phương trình bậc 4 là gì nhỉ

http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html
C nghĩ e có thể áp dụng cái Đại Công Thức trong này để tính nghiệm bài này đấy! )
Cách thì chưa nghĩ ra! =))