[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[takitori_c1]

giải HPT:

[tex]\left{x^3+3x+\sqrt{3x+1}=y+5 \\ y^3+3y+\sqrt{3y+1}=z+5 \\ z^3+3z+\sqrt{3z+1}=x+5 [/tex]

TXD : [TEX]x \geq \frac {-1}{3}[/TEX]

Xét hàm số [TEX] f (t )= t ^3 + 3t + \sqrt { 3t +1}[/TEX] trên miền ( -1/3, + vô cùng )

[TEX] f'(t) = 2 t^2 +3 + \frac{3}{ 2 \ sqrt {3t +1}} > 0[/TEX]mọi t thuộc ( -1/3, + vô cùng )
Vậy f( t) đồng biến
Giả sử x \geqy \geqz \Leftrightarrow f(x) \geq f(y)\geq f(z) \Leftrightarrowy \geqz\geqx
Vậy x=y=z
thay vào hệ ta đc ..........

[TEX]x^3+2x+\sqrt{3x+1}-5=0[/TEX]
Xét [TEX]f(x) = x^3+2x+\sqrt{3x+1}-5[/TEX]trên miền ( -1/3, + vô cùng )

Dễ thấy f'(x) >0 \Rightarrow f(x) đồng biến
Dễ thấy x=1 là nghiệm của f(x)=0

Vậy hệ có nghiệm x=y=z=1

 

[quyenuy0241]

Tiếp tục nhá :

[tex]\left{x= \frac{\sqrt{3}}{9}cos(\pi y) \\y= \frac{\sqrt{3}}{9}cos(\pi z) \\ z= \frac{\sqrt{3}}{9}cos(\pi t) \\ t= \frac{\sqrt{3}}{9}cos(\pi x)[/tex]

 

[duynhan1]

Thêm 1 bài nữa ), dùng BDT ạ
[TEX]\left{ \sqrt{1+ x_1} + \sqrt{1+x_2} +........+\sqrt{1+x_n} = n \sqrt{\frac{n+k}{n}} \\ \sqrt{1- x_1} + \sqrt{1-x_2} +........+\sqrt{1-x_n} = n \sqrt{\frac{n-k}{n}} [/TEX]

 

[quyenuy0241]

giải phương trình :

[tex]\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^2}+1=2x^2 [/tex]

@: k là gì hả em ?:S

 

[connguoivietnam]

[TEX]\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^2}+1=2x^2[/TEX]

ĐK [TEX]1 \geq x \geq -1[/TEX]

[TEX]\sqrt{1-x}+1=2x^2+2x\sqrt{1-x^2}[/TEX]

[TEX]\sqrt{1-x}+1=2x(x+\sqrt{1-x^2})[/TEX]

 

[camnhungle19]

Giúp em bài này ạ

Bài 1: tìm m để hpt sau có 1 nghiệm duy nhất:

[TEX]\left{\begin{mx + (2m-1)y+3=0}\\{x^2 + y^2 -2x+2y=0} [/TEX]

Bài 2: Tìm m để hệ có 3 nghiệm khác nhau

[TEX]\left{\begin{x^2y - x^2 + y=2}\\{m(x^2 +y) - x^2y=4} [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Giúp em bài này ạ



Bài 1: tìm m để hpt sau có 1 nghiệm duy nhất:



[TEX]\left{\begin{mx + (2m-1)y+3=0(1)}\\{x^2 + y^2 -2x+2y=0} (2)[/TEX]

(2) là phương trình đường tròn : [tex](C)[/tex]

tâm [tex]I(1, -1) [/tex],[tex] R= \sqrt{2}[/tex]

(1) là phương trình đường thẳng:[tex]d[/tex]

Để HPT có 1 nghiệp thì [tex](d)[/tex] tiếp xúc với [tex](C)[/tex]

[tex] \Leftrightarrow R=d_{(I/d)} \Leftrightarrow \sqrt{2}= \frac{|m-2m+1+3|}{\sqrt{m^2+(2m-1)^2}}\Leftrightarrow 10m^2-8m+2=m^2-8m+16 \Leftrightarrow 9m^2=14 [/tex]

 

[duynhan1]

Giúp em bài này ạ

Bài 1: tìm m để hpt sau có 1 nghiệm duy nhất:

[TEX]\left{\begin{mx + (2m-1)y+3=0}\\{x^2 + y^2 -2x+2y=0} [/TEX]

Bài 2: Tìm m để hệ có 3 nghiệm khác nhau

[TEX]\left{\begin{x^2y - x^2 + y=2}\\{m(x^2 +y) - x^2y=4} [/TEX]

Bài 1:
Hệ có nghiệm duy nhất khi [TEX]\Delta :mx + (2m-1)y+3=0 [/TEX] là tiếp tuyến của [TEX](C) : (x-1)^2 + (y+1)^2 = 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{|m + 1- 2m + 3 |}{\sqrt{5m^2 - 4m + 1} } = \sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 16 - 8m + m^2 = 10m^2 - 8m + 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 9m^2 = 14 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow m = \sqrt{\pm 14}{3}[/TEX]

Bài 2:
[TEX]\left{\begin{x^2y - x^2 + y=2}\\{m(x^2 +y) - x^2y=4} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y = 1 + \frac{1+x^2} \\ m(x^2 + 1 + \frac{1}{1+x^2} ) - (x^2 +\frac{x^2}{1+x^2} ) = 4 (2) [/TEX]

Hệ có 3 nghiệm khác nhau [TEX]\Leftrightarrow (2) [/TEX] có 3 nghiệm khác nhau.
Nhận xét : Trong pt [TEX](2)[/TEX] nếu [TEX]x_o[/TEX] là 1 nghiệm của pt thì [TEX] - {x_o}[/TEX] cũng là nghiệm của pt nên [TEX](2)[/TEX] có 3 nghiệm thì điều kiện cần là có 1 nghiệm [TEX]x=0[/TEX], thế [TEX]x=0[/TEX] vào (2) ta có;

[TEX]2m = 4 \Leftrightarrow m = 2[/TEX]

Điều kiện đủ, với [TEX]m=2 [/TEX] thay vào (2) ta có :

[TEX]2x^2 + 2 + \frac{2}{x^2 + 1} - x^2 - \frac{x^2}{x^2+1} = 4 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + \frac{3}{x^2+1} = 3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^4 + x^2 + 3 = 3x^2 + 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2( x^4 - 2) = 0[/TEX] (thỏa =D> \\/ :khi (4): )

 

[quyenuy0241]

GHPT"

[tex]\left{\begin{\sqrt{x+y+1}+\sqrt[3]{x+y}=5 \\ \sqrt{x^2+xy+4}+\sqrt{y^2+xy+4}=12 [/tex]

 

[duynhan1]

GHPT"

[tex]\left{\begin{\sqrt{x+y+1}+\sqrt[3]{x+y}=5 \\ \sqrt{x^2+xy+4}+\sqrt{y^2+xy+4}=12 [/tex]

[TEX]DK : x+ y \geq -1[/TEX]

[TEX](2) \Rightarrow (x+y)^2 + 8 \geq 72 \Leftrightarrow |x+y| \geq 8 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+y \geq 8[/TEX](do đk)

[TEX]\Rightarrow VT(1) \geq VP (1) [/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow \left{ x+y = 8 \\ x^2 + xy + 4 = y^2 + xy + 4[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x= y =4[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX](2) \Rightarrow (x+y)^2 + 8 \geq 72 [/TEX]

cho e hỏi chỗ này là vì sao vậy?? ?

 

[ngomaithuy93]

giải phương trình :
[tex]\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^2}+1=2x^2 [/tex]

Đk: -1\leq x \leq1
Đặt x=siny
[TEX]\Rightarrow \sqrt{1-siny}-2siny.\sqrt{1-sin^2y}+1=2sin^2y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(sin.\frac{y}{2}-cos.\frac{y}{2})^2}-2siny|cosy|+cos2y=0[/TEX]


[TEX]cosy>0 \Leftrightarrow (sin.\frac{y}{2}-cos.\frac{y}{2})(sin.\frac{y}{2}+cos.\frac{y}{2})<0[/TEX]

• [TEX]sin.\frac{y}{2}-cos.\frac{y}{2}>0 \Rightarrow cosy>0[/TEX]
• [TEX]sin.\frac{y}{2}-cos.\frac{y}{2}<0 \Rightarrow cosy<0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[{\sqrt{2}sin(\frac{y}{2}-\frac{\pi}{4})=sin2y-cos2y}\\{-\sqrt{2}sin(\frac{y}{2}-\frac{\pi}{4})=-sin2y-cos2y}[/TEX]
\Leftrightarrow ...

 

[duynhan1]

cho e hỏi chỗ này là vì sao vậy?? ?

[TEX]12^2 = (\sqrt{x^2 + xy + 4 } + \sqrt{y^2 + xy + 4} )^2 \leq 2(x^2 + y^2 + 2xy + 8) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 72 \leq (x+y)^2 + 8[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Anh sửa 1 chút được 1 cái đề mới )

[tex]\left{\sqrt{x+y+1}+\sqrt[3]{x+y}=5 \\ \sqrt{x^2+xy+4}+\sqrt{12y+4x-28}= 12 [/tex]

@: Nghiệm không thay đổi )

 

[quyenuy0241]

Giải hê phương trình :


[tex]\left{\begin{x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ y(8x^2+1)=2x+22+(xy+1)^2 [/tex]

 

[quyenuy0241]

Giải HPT:

[tex]\left{x+\sqrt{1-y^2}=1 \\ y+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3} [/tex]

 

[duynhan1]

Giải HPT:

[tex]\left{x+\sqrt{1-y^2}=1 \\ y+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3} [/tex]

TH1 : [TEX]x=\sqrt{1-y^2}[/TEX]Thế vào.
TH2 : [TEX]y = \sqrt{1-y^2}[/TEX]. Thế

TH3 ; [TEX]\left{ x \not= \sqrt{1-y^2} \\ y \not= \sqrt{1-y^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ {x^2 + y^2 - 1 =x- \sqrt{1-y^2}}\\{x^2 + y^2 - 1 = \sqrt{3} ( y-\sqrt{1-x^2}) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x+ \sqrt{3(1-x^2)} = \sqrt{1-y^2} + \sqrt{3} y[/TEX](*)

[TEX]f(t) = t + \sqrt{3(1-t^2)} [/TEX]

[TEX]f'(t) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{3(1-t^2)}} > 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t) [/TEX] đồng biến

[TEX]\Rightarrow [/TEX](*) có nghiệm [TEX]x=\sqrt{1-y^2}[/TEX]Thế vào

 

[tiger3323551]

Anh sửa 1 chút được 1 cái đề mới

[tex]\left{\sqrt{x+y+1}+\sqrt[3]{x+y}=5 \\ \sqrt{x^2+xy+4}+\sqrt{12y+4x-28}= 12 [/tex]

@: Nghiệm không thay đổi

cần gì phải đánh giá
cứ đặt [tex]u=\sqrt[3]{x+y}[/tex]
giải pt (1) được ngay [tex]u=8[/tex]

 

[tiger3323551]

Giải HPT:

[tex]\left{x+\sqrt{1-y^2}=1 \\ y+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3} [/tex]

số đẹp lượng giác hóa
dk[tex] -1 \le y \le 1[/tex][tex] -1 \le x \le 1[/tex]
đặt [tex]x=sina[/tex][tex]y=sinb[/tex]

 

[quyenuy0241]

.Giải HPT

[tex]\left{x+3xy+y=1+4\sqrt{2} \\x^2+y^2=3 [/tex]

@: tiger à. thử làm ra kết quả coi)

@: Duynhan1: em làm được nhưng đoạn cuối nhầm )

[tex]f(x)=f(\sqrt{1-y^2}) [/tex] chứ