[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[khuongchinh]

Quy đồng cái mãu lên ruts x+y+z ra ta có
[TEX]x+y+z=\frac{xy+zx}{2}=\frac{xy+yz}{3}=\frac{yz+zx}{4}[/TEX]

*do[TEX]\frac{xy+zx}{2}=\frac{xy+yz}{3}[/TEX]\Rightarrowxy+3zx=2yz (1)

*do[TEX]\frac{xy+yz}{3}=\frac{yz+zx}{4}[/TEX]\Rightarrowyz+4xy=3zx (2)

*do[TEX]\frac{xy+zx}{2}=\frac{yz+zx}{4}[/TEX]\Rightarrowzx+2xy=yz (3)

giờ thế yz từ (3) vào (1) rút gọn được y=z/3

thế zx từ (2)vào (1) rút gọn được x=z/5

thế y; z theo x vào cái hệ cuối cùng tìm đươc no

x=23/10
y=23/6
z=23/2

 

[quyenuy0241]

GPT


[tex]\left{\begin{x^2+5x+y=9 \\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18 [/tex]

 

[connguoivietnam]

[TEX]x^2+5x+y=9(1)[/TEX]
[TEX]3x^3+x^2y+2xy+6x^2=18(2)[/TEX]

từ (1) ta có

[TEX]x^2+5x+y=9[/TEX]

[TEX]y=9-x^2-5x[/TEX]

thế vào (2) ta có

[TEX]3x^3+(x^2+2x)(9-x^2-5x)+6x^2=18[/TEX]

[TEX]3x^3+9x^2-x^4-5x^3+18x-2x^3-10x^2+6x^2=18[/TEX]

[TEX] -x^4-4x^3+5x^2+18x=18[/TEX]

[TEX]x^4+4x^3-5x^2-18x+18=0[/TEX]

[TEX](x-1)(x^3+5x^2-18)=0[/TEX]

[TEX](x-1)(x+3)(x^2+2x-6)=0[/TEX]

[TEX]x=1[/TEX]

[TEX]x=-3[/TEX]

[TEX]x^2+2x-6=0[/TEX]

 

[khuongchinh]

(I)[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+5x+y = 9 \\ 3x^3+x^2y+2xy+6x^2 =18 \end{array} \right.[/tex]

\Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} (x^2+2x)+(3x+y) = 9 \\ (x^2+2x)(3x+y) =18 \end{array} \right.[/tex]

đặt [TEX]u=x^2+2x[/TEX] u\geq-1 và [TEX]v=3x+y[/TEX]

(I)\Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} u+v = 9 \\ u.v =18 \end{array} \right.[/tex]

u, v là
no của PT: [TEX]t^2-9t+18=0[/TEX]

\Rightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} (x^2+2x) = 6 \\ (3x+y) =3 \end{array} \right.[/tex]
hoặc
[tex]\left\{ \begin{array}{l} (x^2+2x) = 3 \\ (3x+y) =6 \end{array} \right.[/tex]
có 4 cặp no.

 

[quyenuy0241]

Tiếp .

GHPT

[tex]\left{y^2+4xy+y-2x=0 \\ y^4+4xy^2+x^2+3y^2=0 [/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

giải hệ phương trình sau
[TEX]\left{\begin{(2-x)(3x-2z)=3-z}\\{y^3+3y^2=x^2-3x+2}\\{z^2+y^2=6z}\\{z\le\ 3}[/TEX]

 

[minhkhac_94]

[tex] \left\{ \begin{array}{l} (2 - x)(3x - 2z) = 3 - z(1) \\ y^3 + 3y^2 = x^2 - 3x + 2 \\ z^2 + y^2 = 6z(3) \\ z \le \;3 \\ \end{array} \right. \\ (1) < = > 6x - 4z - 3x^2 + 2xz = 3 - z < = > 3x^2 - 2(z + 3) + 3z + 3 = 0 \\ \Delta ` = z^2 - 3z(2) \\ ma:z \le 3 = > (2)\left[ \begin{array}{l} z \le 0 \\ z = 3 \\ \end{array} \right. \\ z \le 0 = > (3)y = z = 0,x = 1 \\ z = 3 = > x,y, = ... \\ [/tex]
Sory post = mathtype ý mà

 

[connguoivietnam]

[TEX](2-x)(3x-2z)=3-z(1)[/TEX]
[TEX]y^3+3y^2=x^2-3x+2(2)[/TEX]
[TEX]x^2+y^2=6z(3)[/TEX]
[TEX]z \leq 3(4)[/TEX]

từ pt (1) ta có

[TEX]6x-4z-3x^2+2xz=3-z[/TEX]

[TEX]6x-3z-3x^2+2zx-3=0[/TEX]

[TEX]2zx-3z=3x^2-6x+3[/TEX]

[TEX]z(2x-3)=3(x^2-3x+1)[/TEX]

[TEX]z=\frac{3(x^2-3x+1)}{2x-3}[/TEX]

 

[khuongchinh]

[tex]\left\{ \begin{array}{l} (2-x)(3x-2z) = 3-z \\ y^3+3y^2 = x^2-3x+2 \\ z^2+y^2 = 6z \\ z \leq 3 \end{array} \right.[/tex]

*từ (3) \Rightarrow [TEX]y^2 = -z^2 + 6z[/TEX] \Rightarrow [TEX]y^2[/TEX] \leq 9 \Rightarrow -3 \leq y \leq3

*với -3 \leq y \leq3 thì [TEX]y^3+3y^2[/TEX] \geq 0

\Rightarrow (x-1)(x-2) \geq 0 \Rightarrow [TEX]\left[\begin{x \geq0 2}\\{x \leq 1} [/TEX]

+ với x \geq 2 xét (1) 3-z \geq 0

2-x \leq0 \Rightarrow 3x-2z \leq0 \Rightarrow x \leq 2z/3 \leq 2 (do z\leq3)

từ đó ta tim được no x=2 ;y=-3 ; z=3

+ với x \leq 1 từ (1) \Rightarrow [TEX]z = \frac{3(x^2-2x+1)}{2x-3}[/TEX] (theo connguoivietnam)

\Rightarrow z \leq 0 từ (3) \Rightarrowy=z=0 \Rightarrow x=1

vậy (x;y;z)=(1;0;0);(2; -3 ; 3)

 

[ngomaithuy93]

Tiếp .
GHPT
[tex]\left{y^2+4xy+y-2x=0 \\ y^4+4xy^2+x^2+3y^2=0 [/tex]

[tex]\left{y^2+4xy+y-2x=0 \\ y^4+4xy^2+x^2+3y^2=0 [/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{y^3+4xy^2+y^2-2xy=0}\\{y^4+4xy^2+x^2+3y^2=0}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y^4+4xy^2+x^2+3y^2-(y^3+4xy^2+y^2-2xy)=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow y^4-y^3+x^2+2y^2+2xy=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (x+y)^2+y^2(y^2-y+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{y=0}\\{x=-y}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=y=0[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

GHPT sau:
(*)[tex]\left{x^2(y-z)=\frac{-5}{3} \\ y^2(z-x)=3 \\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} [/tex]

[tex]\left{x^2(y-z)=\frac{-5}{3} \\ y^2(z-x)=3 \\ z^2(x-y)=\frac{1}{3} [/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{x^2y^2z^2(y-z)=\frac{-5}{3}y^2z^2}\\{x^2y^2z^2(z-x)=3x^2z^2}\\{x^2y^2z^2(x-y)=\frac{1}{3}x^2y^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{3}x^2y^2+3x^2z^2-\frac{5}{3}y^2z^2=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2y^2+9x^2z^2=5y^2z^2[/TEX]
...........................!

 

[0915549009]

Giải hệ phương trình:
[TEX]\left{\begin{\frac{1}{\sqrt{x}}+}\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\{\frac{1}{\sqrt{y}}+}\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 [/TEX]

 

[connguoivietnam]

[TEX]\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2(1)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2(2)[/TEX]

ĐK [TEX]x \geq \frac{1}{2}[/TEX] và [TEX]y \geq \frac{1}{2}[/TEX]

từ (1) ta có

[TEX]\frac{1}{x}+2\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{2-\frac{1}{y}}+2-\frac{1}{y}=4[/TEX]

[TEX]2\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}[/TEX]

[TEX]4\frac{1}{x}(2-\frac{1}{y})=(2+\frac{1}{y}-\frac{1}{x})^2[/TEX]

tương tự với (2) ta cũng có

[TEX]4\frac{1}{y}(2-\frac{1}{x})=(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2[/TEX]

trừ (1) cho (2) ta có

[TEX]4[\frac{1}{x}(2-\frac{1}{y})-\frac{1}{y}(2-\frac{1}{x}]=[(2+\frac{1}{y}-\frac{1}{x})^2-(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2][/TEX]

[TEX]4(\frac{2}{x}-\frac{2}{y})=4(\frac{2}{y}-\frac{2}{x})[/TEX]

[TEX]x=y[/TEX]

thay lại 2 pt trên giải bình thường

 

[0915549009]

Bài trên em làm ra rùi, dù sao cũng thanks anh connguoivietnam nhaz
Tiện thể em post thêm mấy bài
1) Giải hệ phương trình:
[TEX]\left{\begin{2x+1=y^3+y^2+y}\\{2y+1=z^3+z^2+z} \\ {2z+1=x^3+x^2+x[/TEX]
2) Giải PT: [TEX]x^5-13x^3+45x-27=0[/TEX]
3) Giải PT: [TEX]\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}=x^3+30[/TEX]

 

[khuongchinh]

1)
xét [TEX]f(t)= t^3 +t^2 + t[/TEX]
[TEX] f'(t) = 3t^2+2t+1 > 0[/TEX] với mọi t ---> [TEX]f(t)[/TEX] là hàm đồng biến
* nếu [TEX]y>z ---> f(y) > f(z) ---> x>y ---> f(x)>f(y) ---> z>y[/TEX]
mâu thuẫn với giả thiết
* nếu y<z cũng dẫn đến mâu thuẫn
---> y =z
tương tự x=y
* vậy x=x=z thay vao giải [TEX]x=y=z=\left[1 \\ -1 [/TEX]

 

[khuongchinh]

2) x= 3 là 1 no của PT
[TEX]f(x) = x^5-13x^3+45x-27[/TEX]
[TEX]f'(x)=5x^4-39x^2+45 = 5t^2-39t+45[/TEX] có a=5>0 và denta >o nên f'(x)>0 với mọi x ( coi x^2 =t)
\Rightarrowf(x)=0 có no duy nhất

 

[quyenuy0241]

|-)

Giải hệ phương trình:
[TEX]\left{\begin{\frac{1}{\sqrt{x}}+}\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\{\frac{1}{\sqrt{y}}+}\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 [/TEX]

trừ vế 2 PT:

ta có :

[tex]\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{2-{\frac{1}{x})}}=\sqrt{\frac{1}{y}}-\sqrt{2-\frac{1}{y}}(1)[/tex]
Đặt [tex]\frac{1}{x}=a \\ \frac{1}{y}=b [/tex]

[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{2-a}=\sqrt{b}-\sqrt{2-b}(2)[/TEX]

Xét [tex] f(t)=\sqrt{t}-\sqrt{2-t} [/tex] Đồng biến trên [TEX](0,+\infty)[/TEX]
Nên (2) có nghiệm là duy nhất : [TEX]a=b --> x=y[/TEX]

 

[quyenuy0241]

bài khác:

Giải HPT:

[tex]\left{\begin{y(x^3-y^3)=7 \\ y(x+y)^2=9 [/tex]

 

[quyenuy0241]

1.Giải phuơng trình :

[tex]2x^4+(1-2x)^4=\frac{1}{27} [/tex]

2.Giải Bất Phương trình :

[tex] \frac{tan{\frac{\pi x}{4}}+2x+3}{\sqrt{4-x}-x}>0 [/tex]

 

[duynhan1]

1.Giải phuơng trình :

[tex]2x^4+(1-2x)^4=\frac{1}{27} [/tex]

[TEX]x^4 + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^4} \geq \frac{4}{27} x [/TEX]

[TEX](1-2x)^4 + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^4} \geq \frac{4}{27} (1-2x)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2x^4+(1-2x)^4 \geq \frac{1}{27} [/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow \left{ x = \pm \frac{1}{3} }\\{1-2x = \pm \frac{1}{3} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x= \frac13[/TEX]