Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[bigbang195]

Gọi 3 cạnh tam giác đó là [TEX]a,b,c[/TEX] và 3 tam giác con là [TEX]S_1,S_2,S_3[/TEX]
ta có
[TEX]\frac{1}{2}(m_1+m_2+m_3)=\frac{S_1}{a}+\frac{S_2}{b}+\frac{S_3}{c}[/TEX]
[TEX]=\sum \frac{S_1^2}{S_1a} \ge \frac{(S_1+S_2+S_3)^2}{\sum S_1a}=\frac{S}{\sum S_1a}[/TEX]

[TEX]\ge \frac{S}{\sqrt{\sum S_1.\sum a}}=\sqrt{\frac{S}{a+b+c}}[/TEX]

tức là min của nó bằng [TEX]\sqrt{\frac{S}{a+b+c}}[/TEX] dấu bằng xảy ra khi M là tâm nội tiếp tam giác

 

[xyzt1402]

Cho a, b, c>0. Cm:
[tex]x^3+b^3+c^3 +1/27(a+b+c)^3>=2/81[(2a+b)^3+(2b+a)^3+(2b+c)^3+(2c+b)^3+(2a+c)^3+(2c+a)^3[/tex]

 

[bigbang195]

Cho [TEX]a, b, c>0[/TEX]. Cm:
[TEX]a^3+b^3+c^3 +\frac{(a+b+c)^3}{27} \ge \frac{2}{81}[(2a+b)^3+(2b+a)^3+(2b+c)^3+(2c+b)^3+(2a+c)^3+(2c+a)^3][/TEX]

Bài Làm


[TEX]\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 +\frac{(a+b+c)^3}{27} \ge \frac{2.18}{81}[\sum a^3+\sum ab(a+b)][/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow 27\sum a^3+\sum a^3+3\sum ab(a+b)+6abc \ge 12[\sum a^3+\sum ab(a+b)][/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow 16 \sum a^3+6abc \ge 9 \sum ab(a+b)[/TEX]



Cộng 2 bdt sau ta có đpcm :
[TEX]\left { a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)--Schur \\ 2(a^3+b^3+c^3) \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)[/TEX]

[TEX]Schur[/TEX]
xem ở trang 9 Bài viết của anh quyenuy0241

 

[quyenuy0241]

bài đơn giản
trong các tam giác có cùng chu vi, hình nào có S lớn nhất

Bài đơn giản có cách làm đơn giản:
[tex]S=\frac{1}{2}ab sin C \le \frac{1}{2} ab[/tex] với a,b là độ dài của tam giác cua cạnh AC , CB
khi[tex] sin C=1, C=\frac{\pi}{2}[/tex] khi tam giác đó là tam giác vuông.

 

[bigbang195]

2.Cho a,b,c không âm tM: [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR
[tex] 0 \le ab+bc+ac-2abc \le \frac{7}{27}[/tex]

đặt

[TEX]\left{ a+b+c =p \\ab+bc+ac=q \\ abc=r [/TEX]

thì
Theo Schur dạng 1:
[TEX]a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)[/TEX]
tức là

[TEX]p(p^2-3q)+3r+3r \ge pq-3r [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow p^3-3pq +6r \ge pq-3r[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow r \ge \frac{4pq-p^3}{9}[/TEX] (dạng 2)


mà theo đề bài [TEX]p=1[/TEX] nên [TEX]r \ge \frac{4q-1}{9}[/TEX]

[TEX]Vt \le q+\frac{8q-2}{9} \le VP[/TEX]

vì [TEX]q \le \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[bigbang195]

Bài đơn giản có cách làm đơn giản:
[tex]S=\frac{1}{2}ab sin C \le \frac{1}{2} ab[/tex] với a,b là độ dài của tam giác cua cạnh AC , CB
khi[tex] sin C=1, C=\frac{\pi}{2}[/tex] khi tam giác đó là tam giác vuông.

Cách làm này ko thoả mãn điều kiện chu vi không đổi !

 

[quyenuy0241]

Ừ để anh xem lại còn DK đó nhể
Không để ý: |-)|-)|-)|-)

 

[bigbang195]

[tex]3S \le \frac{1}{2}(ab+bc+ac) \le \frac{2}{3}(a+b+c)^2 [/tex]
[tex]OK[/tex]

1 tam giác không có 3 góc vuông !

 

[bigbang195]

Trong các tứ giác có cùng chu vi tìm hình có diện tích lớn nhất

 

[bigbang195]

Kẻ [tex]DH \perp AB , BK \perp DC (H \in AB , K \in DC)[/tex]

[tex]\Rightarrow DH \leq DA , BK \leq BC[/tex].

Ta có: [tex]S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2}DH.AB + \frac{1}{2}BK.DC \leq \frac{1}{2}DA.AB + \frac{1}{2}BC.DC = \frac{1}{2}(ad + bc)[/tex]

Tương tự: [tex]S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} \leq \frac{1}{2}(ab + cd)[/tex]

Vậy, [tex]4S \leq (ab + cd) + (ad + bc) = a(b + d) + c(b + d) = (a + c)(b + d) \leq \frac{(a + b + c + d)^{2}}{4} = \frac{p^{2}}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow S \leq \frac{p^{2}}{16}[/tex]

Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^{o} , a + c = b + d \Leftrightarrow ABCD[/tex] là hình vuông.

Từ đây ta thấy:
- Trong các tứ giác có cùng chu vi thì hình vuông là tứ giác có diện tích lớn nhất.
- Trong các tứ giác có cùng diện tích thì hình vuông là tứ giác có chu vi nhỏ nhất.

 

[rua_it]

đặt

[TEX]\left{ a+b+c =p \\ab+bc+ac=q \\ abc=r [/TEX]

thì
Theo Schur dạng 1:
[TEX]a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)[/TEX]
tức là

[TEX]p(p^2-3q)+3r+3r \ge pq-3r [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow p^3-3pq +6r \ge pq-3r[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow r \ge \frac{4pq-p^3}{9}[/TEX] (dạng 2)


mà theo đề bài [TEX]p=1[/TEX] nên [TEX]r \ge \frac{4q-1}{9}[/TEX]

[TEX]Vt \le q+\frac{8q-2}{9} \le VP[/TEX]

vì [TEX]q \le \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}[/TEX]

[tex]Schur &AM-GM[/tex]

[tex]\rightarrow \sum_{sym} (a^3+abc-2a^2b) \geq 0(1)[/tex]

[tex]0 \leq \frac{7}{54}.\sum_{sym} (a^3+\frac{5abc}{7}-\frac{12a^2b}{7}) \leq \frac{7}{27}(2)[/tex]

[tex]\sum_{sym} (a^2b - abc) \geq 0(3)[/tex]

[tex](1),(2)(3)&(gt) \rightarrow dpcm.[/tex]

 

[bigbang195]

Dạng không bình thường =))=))​

1/Cho tam giác ABC(p là nửa chu vi).CMR:

[TEX]\frac{a}{p-a}+\frac{b}{p-b}+\frac{c}{p-c}\geq\sqrt{\frac{a+b}{p-c}}+\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}+\sqrt{\frac{c+a}{p-b}}[/TEX]


2/Cho a,b,c>0 thõa

[TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]

CMR:

[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/TEX]

3/Cho a,b,c>0 .CMR:


[TEX]a^3+b^3+c^3+6abc \geq \sqrt[3]{abc}(a+b+c)^2[/TEX]

4/Cho a,b,c không âm có tổng bằng 1.Tìm max,min:

P=[TEX](ab+1)^2+(bc+1)^2+(ca+1)^2[/TEX]

5/Cho a,b,c >0.CMR:

[TEX](\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}a+\frac{c+a}{b})^2\geq4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})[/TEX]

6/Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.CMR:

[TEX](a+b)(a+c)\sqrt{-a+b+c}+(b+c)(b+a)\sqrt{a-b+c}+(c+a)(c+b)\sqrt{a+b-c}\geq 4(a+b+c)\sqrt{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}[/TEX]

7/Cho a,b,c là 3 cạnh 1tam giác có
[TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX].CMR:

[TEX]\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}\geq 6[/TEX]

8/Cho a,b,c là 3 cạnh 1tam giác có
[TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX].CMR:

[TEX]\frac{a}{\sqrt{-a+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a-b+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq3[/TEX]

9/Cho a,b,c>0 .CMR:

[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq 1+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}[/TEX]

10/Cho a,b,c>0 .CMR

[TEX](\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq\frac{3}{4}+\frac{a^2b+b^2c+c^2a-3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]

 

[dandoh221]

Bài 1. BDT
[TEX]\Leftrightarrow \frac{b+c}{p-a}+\frac{a+c}{p-b}+\frac{b+a}{p-c} \ge \sqrt{\frac{b+c}{p-a}} + \sqrt{\frac{a+c}{p-b}} + \sqrt{\frac{b+a}{p-c}} + 6[/TEX]
Theo AM-GM :
[TEX]\frac{b+c}{p-a} + 4 \ge 4\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}[/TEX]
[TEX]...[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{b+c}{p-a}+\frac{a+c}{p-b}+\frac{b+a}{p-c} \ge 4(\sqrt{\frac{b+c}{p-a}} + \sqrt{\frac{a+c}{p-b}} + \sqrt{\frac{b+a}{p-c}}} - 12[/TEX]
Chỉ cần chứng minh[TEX] \sqrt{\frac{b+c}{p-a}} + \sqrt{\frac{a+c}{p-b}} + \sqrt{\frac{b+a}{p-c}} \ge 6[/TEX]
Đúng theo AM-GM : [TEX]\sqrt{\frac{b+c}{p-a}} + \sqrt{\frac{a+c}{p-b}} + \sqrt{\frac{b+a}{p-c}} \ge 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}.\sqrt{\frac{a+c}{p-b}}.\sqrt{\frac{b+a}{p-c}}} \ge 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)} }\ge 3[/TEX]

 

[dandoh221]

bài 6 cũng đỡ đỡ :
[TEX]BDT \Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)(a+c)}{4(a+b+c)\sqrt{(a+b-c)(a+c-b)}} \ge 1[/TEX]
Ta có [TEX]\sum \frac{(a+b)(a+c)}{4(a+b+c)\sqrt{(a+b-c)(a+c-b)}} \ge \sum \frac{(a+b)(a+c)}{4(a+b+c)a} = \frac{ 3abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4abc(a+b+c)} \ge 1 [/TEX](đpcm)

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c >0 [/TEX]và [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]
Tìm max
[TEX]\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}[/TEX]

a,b,c dương chứng minh
[TEX]\prod (1-\frac{a}{b+c}) \le \frac{1}{8}[/TEX]

 

[dandoh221]

a,b,c dương chứng minh
[TEX]\prod (1-\frac{a}{b+c}) \le \frac{1}{8}[/TEX]

[TEX]VT = \frac{\prod(a+b-c)}{\prod(a+b)} \le \frac{abc}{\prod(a+b)} \le 8[/TEX]
sử dụng 2 bdt quen thuộc
[TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \le abc[/TEX]
[TEX]8abc \le (a+b)(b+c)(c+a)[/TEX] <---- thực ra 2 cái này là 1

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c >0 [/TEX]và [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]
Tìm max
[TEX]\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}[/TEX]

Xem lại đề nhé [tex]ab+bc+ac=1 hay ab+bc+ac=3[/tex]
........................................................................................................

 

[bigbang195]

Xem lại đề nhé [tex]ab+bc+ac=1 hay ab+bc+ac=3[/tex]
........................................................................................................

[TEX]ab+bc+ac=1[/TEX] .

 

[quyenuy0241]

Với a,b,c >0 abcd=1 CM
[tex]\frac{1}{1+ab+bc+ac}+\frac{1}{1+ab+bd+ad}+\frac{1}{1+ac+cd+da}+\frac{1}{1+bc+bd+cd} \le 1[/tex]

 

[letrang3003]

[TEX]\sum \frac{x}{1+3x}=\sum\ \frac{yzt}{yzt+3} \ge \sum \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+12} \ge \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+2\sum (xyz)(yzt)}=\frac{(xy+xz+xt+yz+yt+zt)^2}{(xy+xz+xt+yz+yt+zt)^2}=1[/TEX]


Sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp

[TEX]12 \le 2\sum (xyz)(yzt) =2\sum yz[/TEX]

hay [TEX]\sum yz \ge 6[/TEX]

mặt khác theo AM-GM :
[TEX]xy+xz+xt+yz+yt+zt \ge 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3t^3}=6 [/TEX]