Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[rua_it]

Khó​

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq 4[/TEX]

dấu bằng khi [TEX]a=b=c=1[/TEX] và [TEX]a=2,b=1,c=0[/TEX]

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng [tex]b \in\ [a;c][/tex]

[tex]\rightarrow (b-c)(b-a) \leq 0 \Rightarrow c.(b-c)(b-a) \leq 0[/tex]

[tex] \rightarrow b^2c+c^2a \leq bc^2+abc[/tex]

[tex]\rightarrow b^2c+c^2a+a^2b +abc \leq a^2b+c^2b+2abc \leq\frac{1}{2}.2b.(a+c)^2[/tex]

[tex]\leq \frac{1}{2}.[\frac{(2b+a+c+a+c)}{3}]^3 \leq_{AM-GM} \frac{1}{2}.\frac{[2.(b+a+c)]^3}{27}=4(dpcm)[/tex]

Vậy

[tex]\sum_{cyc}a^2b+abc \leq 4[/tex]


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=c=1[/tex] hoặc a,b,c tương ứng bằng 2,1,0

 

[cool_strawberry]

Tiện thể tớ post luôn 2 bài trong đề toán phải làm trong kì nghỉ Tết!
1.Cho a,b,c là số đo góc nhọn thỏa mãn:[TEX]cos^2a+cos^2b+cos^2c>2[/TEX]
Chứng minh: [TEX](tg a.tg b.tg c)^2<\frac{1}{8}[/TEX]

Bài này mình nghĩ ra rồi nè:
[TEX](tga.tgb.tgc)^2=\frac{sin^2a}{cos^2a}.\frac{sin^2b}{cos^2b}.\frac{sin^2c}{cos^2c}[/TEX]
[TEX]=\frac{1-cos^2a}{cos^2a}+\frac{1-cos^2b}{cos^2b}+\frac{1-cos^2c}{cos^2c}[/TEX]
Đặt [TEX]cos^2a=a,cos^2b=b,cos^2c=c[/TEX]
Giờ thì cần áp dụng Cauchy để chứng minh:
[TEX]\frac{2-2a^2}{2a^2}.\frac{2-2b^2}{2b^2}.\frac{2-2c^2}{2c^2}<2[/TEX]
hay [TEX](a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)<(a^2+b^2+c^2) [/TEX]

 

[rua_it]

1.[tex]\sum \frac{1}{a+b} \geq \frac{5}{a+b+c+abc}[/tex]

ab+bc+ca=1 và [tex]b+c \geq a \geq b \geq c[/tex]

[tex] a,b,c,d >0[/tex]

2.[tex]a,b,c>0[/tex] [tex]and[/tex] a=max{a,b,c}

Tìm min [tex]P=\frac{a}{b}+2.\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3.\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}[/tex]

 

[dandoh221]

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng [tex]b \in\ [a;c][/tex]

[tex]\rightarrow (b-c)(b-a) \leq 0 \Rightarrow c.(b-c)(b-a) \leq 0[/tex]

[tex] \rightarrow b^2c+c^2a \leq bc^2+abc[/tex]

[tex]\rightarrow b^2c+c^2a+a^2b +abc \leq a^2b+c^2b+2abc \leq\frac{1}{2}.2b.(a+c)^2[/tex]

[tex]\leq \frac{1}{2}.[\frac{(2b+a+c+a+c)}{3}]^3 \leq_{AM-GM} \frac{1}{2}.\frac{[2.(b+a+c)]^3}{27}=4(dpcm)[/tex]

Vậy

[tex]\sum_{cyc}a^2b+abc \leq 4[/tex]





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=c=1[/tex] hoặc a,b,c tương ứng bằng 2,1,0

đây là bdt hoán vị ko thể giả sử [tex]b \in\ [a;c][/tex]. vì nếu vậy thì a \leq b \leq c à :-/ . tớ ko hiểu bít nhều lắm nhưng tớ nghĩ viết [a;c] tức là đoạn từ a đến c. tức là a \leq c :-/ ( . nhưng làm thì đúng rồi .

Dạng khó

cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh
[TEX](1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge (1+a)(1+b)(1+c)[/TEX]

BDT đã cho tương đương
[TEX]\sum a^2b^2 +a^2b^2c^2 \ge ab+bc+ac +abc[/TEX]
điều này ko đúng nếu a,b ---> 0. c----> 3 .

 

[bigbang195]

đây là bdt hoán vị ko thể giả sử [tex]b \in\ [a;c][/tex]. vì nếu vậy thì a \leq b \leq c à :-/ . tớ ko hiểu bít nhều lắm nhưng tớ nghĩ viết [a;c] tức là đoạn từ a đến c. tức là a \leq c :-/ ( . nhưng làm thì đúng rồi .


BDT đã cho tương đương
[TEX]\sum a^2b^2 +a^2b^2c^2 \ge ab+bc+ac +abc[/TEX]
điều này ko đúng nếu a,b ---> 0. c----> 3 .

[TEX]a^2b^2c^2+\sum a^2 +\sum a^2b^2 \ge abc+\sum a+\sum ab[/TEX]

 

[bigbang195]

Dạng dễ​

cho các số [TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{a^2+b+c}+\frac{b^2}{b^2+a+c}+\frac{c^2}{c^2+a+b} \ge 1[/TEX]

Bài này nhìn thì thấy dễ nhưng thực ra rất dễ

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Dạng dễ​

cho các số [TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^2}{a^2+b+c}+\frac{b^2}{b^2+a+c}+\frac{c^2}{c^2+a+b} \ge 1[/TEX]

Bài này nhìn thì thấy dễ nhưng thực ra rất dễ

bài này cần CM bất đẳng thức riêng
[TEX]\frac{a^3}{a^^2+b+c}\geq\frac{2a-b}{3}[/TEX]

 

[bigbang195]

bài này cần CM bất đẳng thức riêng
[TEX]\frac{a^3}{a^^2+b+c}\geq\frac{2a-b}{3}[/TEX]

bạn chứng minh rõ ra coi !

Bình thường​

[TEX]a,b,c [/TEX]dương với [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] chứng minh.
[TEX](a+b+c)^3 \ge 9(ab+bc+ac)[/TEX]

Dạng bình thường​

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX] Chứng minh rằng:

[TEX]a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Dạng dễ​

[TEX]a,b,c[/TEX] dương chứng minh

[TEX]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0[/TEX]

Dạng dễ​

Chứng minh
với mọi a,b,c dương thì
[TEX](a+b+c)^3 +9abc \ge 4(ab+bc+ac)(a+b+c) [/TEX]

 

[xyzt1402]

Cho A,B,C là 3 góc 1 tam giác nhọn chứng minh rằng :
[TEX]CosA+CosB+CosC \le \frac{3}{2}[/TEX]

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. cm
[TEX]CosA+CosB+CosC\le\frac{3}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho A,B,C là 3 góc 1 tam giác nhọn chứng minh rằng :
[TEX]CosA+CosB+CosC \le \frac{3}{2}[/TEX]

Theo định lí Cos
[TEX]Cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]
vậy chỉ cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \le \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum [\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-\frac{1}{2}] \le 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+2b^2-2c^2-2ab}{ab} \le 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{(c^2-b^2)+(c^2-a^2)-(a-b)^2}{ab} \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\frac{a+b-c}{abc} \ge 0[/TEX]
Đúng vì [TEX]a,b,c[/TEX] là 3 cạnh 1 tam giác

 

[rua_it]

[tex]\sum_{cyc} cosA \leq \frac{3}{2}[/tex]

[tex]\rightarrow 2cos.\frac{A+B}{2}cos.\frac{A-B}{2} -2cos^2.\frac{A+B}{2}+1 \leq \frac{3}{2}[/tex]

[tex]\rightarrow cos^2.\frac{A+B}{2}+\frac{1}{4}-cos.\frac{A+B}{2}cos.\frac{A-B}{2} \geq 0[/tex]

[tex]\rightarrow (cos.\frac{A+B}{2}-\frac{1}{2}.cos.\frac{A-B}{2})^2+\frac{1}{4}.sin^2.\frac{A-B}{2} \geq 0[/tex] :đúng.

 

[xyzt1402]

gọi H; K là chân đường cao kẻ từ B và C xuống AC và AB.
cosA=căn(AH/AB*AK/AC)=căn(AK/AB*AH/AC)<=1/2(AK/AB+AH/AC)=1/2(SAKC/SABC+SAHC/SABC).
CM tương tự rồi cộng lại được kết quả là 1/2*(3SABC/SABC)=3/2.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Dạng dễ​

[TEX]a,b,c[/TEX] dương chứng minh

[TEX]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/TEX]

Vai trò a,b,c như nhau giả sử [TEX]a \geq b\geq c[/TEX]
[TEX]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) [/TEX]
[TEX]=a(a-b)[(a-b)+(b-c]+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)[/TEX]
[TEX]=a(a-b)^2+a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)[/TEX]
[TEX]=a(a-b)^2+(a-b)^2(b-c)+c(a-c)(b-c)\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow đpcm [/TEX]

 

[bigbang195]

Dạng dễ​

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương.và [TEX]a+b+c \ge 3[/TEX] chứng minh
[TEX]a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Dạng dễ​

Chứng minh
với mọi a,b,c dương thì
[TEX](a+b+c)^3 +9abc \ge 4(ab+bc+ac)(a+b+c) [/TEX]

Thực chất là Shur
từ con trên biến đổi mà thui :
Tổng quát nhé: vớit là số thực dương
[tex]a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-a)(b-a)+c^t(c-a)(c-b) \ge 0[/tex]
CM:
Không mất tính tổng quát:
Giả sử:[tex] a \ge b\ge c \Rightarrow a^t \ge b^t \Rightarrow a^t(a-b)(a-c) \ge b^t (a-b)(b-c ) \Rightarrow a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-c)(b-a) \geq0 [/tex]
mặt khác [tex]c^t(c-a)(c-b) \ge 0[/tex]Cộng các BDT nên DPCM
Một số dạng của Schur:
[tex]a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b[/tex]
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le abc[/tex]
Dạng thứ 3 như của bigbang195
[tex](a+b+c)^3+9abc \ge 4(a+b+c)(ac+ab+bc)[/tex]
Một bài áp dụng:CMR
1.[tex](a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a}) \le 1[/tex] với a,b,c>0 và abc=1
2.Cho a,b,c không âm tM: a+b+c=1
CMR
[tex] 0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac{7}{27}[/tex]

 

[quyenuy0241]

Dạng dễ​

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương.và [TEX]a+b+c \ge 3[/TEX] chứng minh
[TEX]a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2[/TEX]

[tex] a+b+c \ge 3[/tex] có [tex] 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \geq 3(a+b+c) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c [/tex]
[tex]a^3+a \ge 2a^2 [/tex]
Các BDT khác tương tự:
suy ra[tex] a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2 \ge a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)[/tex]
DPCM [tex]OK[/tex]

 

[bigbang195]

1.[tex](a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a}) \le 1[/tex] với a,b,c>0 và abc=1
2.Cho a,b,c không âm tM: a+b+c=1
CMR
[tex] 0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac{7}{27}[/tex]

Bài 1 đặt [TEX]a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}[/TEX]
Chuyển về [TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \le abc[/TEX]

Bài 2 [TEX]ab+bc+ac=(a+b+c)(ac+bc+ab) \ge 9abc[/TEX]
[TEX]9abc-2abc=7abc \ge 0[/TEX]

 

[xyzt1402]

bài đơn giản
trong các tam giác có cùng chu vi, hình nào có S lớn nhất

 

[bigbang195]

bài đơn giản
trong các tam giác có cùng chu vi, hình nào có S lớn nhất

Theo He Rông

[TEX]16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/TEX]

áp dụng AM-GM ta được đpcm

 

[xyzt1402]

cho tam giác ABC nhọn, M nằm trong tam giác. Tìm M để khoảng cách hạ từ M xuống 3 cạnh của tam giác đạt gtnn