Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[quyenuy0241]

[TEX]\ge \sum \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+12} \ge \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+2\sum (xyz)(yzt)}=1[/TEX]
Đúng

.............................................................[tex]WHY [/tex]?????............................................................
Giải thích rõ nhé!!!!!

 

[kiepcodondoicodoc1410]

thêm 1 bài bất đẳng thức đây

cho a,b,c > 0: abc = 1. chứng minh rằng:

[TEX]a^3/ (1+b)(1+c) + b^3/ (1+c)(1+a)+ c^3/ (1+a)(1+b) \geq 3/4[/TEX]

 

[letrang3003]

cho a,b,c > 0: abc = 1. chứng minh rằng:

[TEX]a^3/ (1+b)(1+c) + b^3/ (1+c)(1+a)+ c^3/ (1+a)(1+b) \geq 3/4[/TEX]

Theo [TEX]AM-GM[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX]

Sử dụng các bdt tương tự được

[TEX]VT \ge \frac{a+b+c}{4} \ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}[/TEX]

 

[letrang3003]

.............................................................[tex]WHY [/tex]?????............................................................
Giải thích rõ nhé!!!!!

Có gì khó hiểu đâu ạ

[TEX]\sum \frac{x}{1+3x}=\sum\ \frac{yzt}{yzt+3} \ge \sum \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+12} \ge \frac{(\sum yzt)^2}{\sum yzt^2+2\sum (xyz)(yzt)}=\frac{(xy+xz+xt+yz+yt+zt)^2}{(xy+xz+xt+yz+yt+zt)^2}=1[/TEX]


Đúng vì ta đã sử dụng Cauchy-Schwarz kết hợp

[TEX]12 \le 2\sum (xyz)(yzt) =2\sum yz[/TEX]

hay [TEX]\sum yz \ge 6[/TEX]

mặt khác theo AM-GM :
[TEX]xy+xz+xt+yz+yt+zt \ge 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3t^3}=6 [/TEX]

 

[kiepcodondoicodoc1410]

Theo [TEX]AM-GM[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX]

Sử dụng các bdt tương tự được

[TEX]VT \ge \frac{a+b+c}{4} \ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}[/TEX]

cai nay` sao mà khó hỉu quÁ ban giải thích rõ hơn được không

 

[quyenuy0241]

Với a,b,c >0 abcd=1 CM
[tex]\frac{1}{1+ab+bc+ac}+\frac{1}{1+ab+bd+ad}+\frac{1}{1+ac+cd+da}+\frac{1}{1+bc+bd+cd} \le 1[/tex]

Giải
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge (\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cb}}+\frac{1}{\sqrt{ac}})=\sqrt{d}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/tex]
[tex] [tex]ab+bc+ac \ge abc.\sqrt{d}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})= \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{d}}[/tex]
[tex]ab+bc+ac+1=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{d}}[/tex]
Các BDT khác tương tự suy ra DPCM

 

[rooney_cool]

Theo [TEX]AM-GM[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX] ~~~~> Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số ko âm

Sử dụng các bdt tương tự được

[TEX]VT \ge \frac{a+b+c}{4} \ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}[/TEX][/QUOTE]

 

[kiepcodondoicodoc1410]

Theo [TEX]AM-GM[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX] ~~~~> Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số ko âm

Sử dụng các bdt tương tự được

[TEX]VT \ge \frac{a+b+c}{4} \ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}[/TEX]

[/QUOTE]
ý mình ko phải thế. ý mình muốn hỏi là làm sao từ đề bài mà mình có thể thêm vào để đc:

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX]

 

[rooney_cool]

ý mình ko phải thế. ý mình muốn hỏi là làm sao từ đề bài mà mình có thể thêm vào để đc:

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX][/QUOTE]

Chắc là Kinh nghiệm

Có rất nhiều phương pháp để giải toán bất đẳng thức. .

 

[letrang3003]

ý mình ko phải thế. ý mình muốn hỏi là làm sao từ đề bài mà mình có thể thêm vào để đc:

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}[/TEX]

ta thấy ở mẫu có [TEX](1+b)(1+c) [/TEX]làm như vậy nhằm triệt tiêu mẫu và giảm bậc của tử xuống bậc [TEX]1[/TEX]

nếu cho [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]\frac{a^3}{(1+c)(1+c)} =\frac{1}{4}[/TEX]

nên muốn áp dụng cachy thì phải có những biểu biểu thức = nhau nên
ta chọn sô [TEX]8[/TEX] để [TEX]\frac{1+b}{8}=\frac{1}{4}[/TEX]

 

[letrang3003]

[TEX]a,b,c >0 [/TEX]và [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]
Tìm max
[TEX] A=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}[/TEX]

Lời giải
ta có
[TEX]1-\frac{2}{a^2+2}=\frac{a^2}{a^2+2}[/TEX]
vậy ta sẽ tìm min của
[TEX] \frac{a^2}{a^2+2} +\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ac)} [/TEX]

[TEX]=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+4(ab+bc+ac)} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{4}{3}(a+b+c)^2} =\frac{3}{7}[/TEX]


Nên
[TEX]2A=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2} \le 3-\frac{3}{7}=\frac{18}{9}[/TEX]

Vậy max [TEX]A=\frac{9}{7} [/TEX]
Cực trị tại tâm.

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thoả mãn [TEX]a^3+b^3+c^3=2[/TEX]. Chứng minh

[TEX]P=\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-bc+b^2}+\frac{c^3}{a^2-ac+c^2} \ge 2[/TEX]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{ab+1}{ab+c}+\frac{bc+1}{bc+a}+\frac{ac+1}{ac+b} \ge \frac{15}{2}[/TEX]

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=2[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a+b+c \le 2+abc[/TEX]

[TEX]a,b,c,d >0[/TEX] thoả mãn [TEX]abcd=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \ge 1[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực không âm không có [TEX]2[/TEX] số nào cùng bằng không . Chứng minh

[TEX]\frac{a^2+bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2+ac}{c^2-ac+a^2}+\frac{c^2+ab}{a^2-ab+b^2} \ge 3[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}[/TEX]

[TEX] x,y,z>0 [/TEX]thoả [TEX]xy + yz + zx + 2xyz=1.[/TEX] cmr:
a. [TEX]xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]
b. [TEX] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4(x+y+z)[/TEX]

[TEX] x,y,z>0[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{y^2+yz+z^2}+\frac{1}{z^2+zx+x^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả[TEX] a+b+c=3[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2[/TEX] .

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c,d >0[/TEX] thoả mãn [TEX]abcd=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \ge 1[/TEX]

CM:[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2} \ge \frac{1}{1+ab}(1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)^2+(1-ab)^2}{(1+a)^2.(1+b^2).(1+ab)} \ge 0[/tex] luôn đúng
Tương tự
[tex]\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \ge \frac{1}{1+cd}=\frac{ab}{ab+1}(2)[/tex]
Cộng (1)(2) ta được DPCM

 

[bigbang195]

CM:[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2} \ge \frac{1}{1+ab}(1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)^2+(1-ab)^2}{(1+a)^2.(1+b^2).(1+ab)} \ge 0[/tex] luôn đúng
Tương tự
[tex]\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \ge \frac{1}{1+cd}=\frac{ab}{ab+1}(2)[/tex]
Cộng (1)(2) ta được DPCM

Your proof is very nice !
Thanks you !

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]A=\frac{ab+1}{ab+c}+\frac{bc+1}{bc+a}+\frac{ac+1}{ac+b} \ge \frac{15}{2}[/TEX]

Thế a+b+c=1 ta được:
[TEX]\frac{ab+1}{ab+c}=\frac{ab+a+b+c}{ab+c}=1+\frac{a+b}{ab+c(a+b+c)}=1+\frac{a+b}{(a+c)(c+b)}[/TEX]
[tex]a+b =x,b+c=y,a+c=z \Rightarrow x+y+z=2[/tex]
Vậy cần [tex]CM \sum{\frac{x}{yz} \ge \frac{9}{2}[/tex]
Thật vậy :theo [tex]AM-GM[/tex]
[tex]\sum{\frac{x}{yz} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}} \ge \frac{9}{2}[/tex]

 

[rua_it]

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=2[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a+b+c \le 2+abc[/TEX]

[tex] a+b+c \leq 2+abc[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a+b+c-abc \leq 2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a.(1-bc)+b+c \leq 2[/tex]

[tex]Note: 2bc \leq b^2+c^2 \leq 2(gt)&AM-GM(*)[/tex]

[tex]Cauchy-Schwarz \Rightarrow LHS =a.(1-bc)+b+c \leq {[(a^2+(b+c)^2).((1-bc)^2+1)]}^{\frac{1}{2}}[/tex]

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

[tex](bc+1).(b^2c^2-2bc+2) \leq 2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow2-2bc+b^2c^2+2bc-2b^2c^2+b^3c^3 \leq 2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow b^2c^2\geq b^3c^3[/tex]

[tex](*) \Rightarrow dpcm.[/tex]

 

[rua_it]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả[TEX] a+b+c=3[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2[/TEX] .

[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2[/tex]

[tex]\leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq ( a+b+c)^2-2( ab+bc+ca)[/tex]

[tex]\leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2( ab+bc+ca)\geq ( a+b+c)^2[/tex]

By the AM-GM inequality, we get:

[tex]LHS \geq \sum \frac{1}{ab} +2.[3.(a+b+c).abc]^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]=6.(abc)^{\frac{1}{2}}+\sum \frac{1}{ab} \geq 9 \geq (\sum a)^2=RHS[/tex]

 

[letrang3003]

[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2[/tex]

[tex]\leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq ( a+b+c)^2-2( ab+bc+ca)[/tex]

[tex]\leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2( ab+bc+ca)\geq ( a+b+c)^2[/tex]

By the AM-GM inequality, we get:

[tex]LHS \geq \sum \frac{1}{ab} +2.[3.(a+b+c).abc]^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]=6.(abc)^{\frac{1}{2}}+\sum \frac{1}{ab} \geq 9 \geq (\sum a)^2=RHS[/tex]

Proof 2:

[TEX]\leftright a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \ge a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

On the other hand , We have :

[TEX]LHS \ge abc(a+b+c) \ge a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c) \ge abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

And so it is enough to prove that
([TEX]a+b+c)^5 \ge 81abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Bài 16:
Sử dụng các BDT đã biết :
am-gm 3 biến :

bdt nổi tiếng:

Lời giải : 3 dòng

 

[rua_it]

[TEX] x,y,z>0[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{y^2+yz+z^2}+\frac{1}{z^2+zx+x^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]Dat: \left{\begin{p=x+y+z}\\{q=xy+yz+zx}\\{r=xyz}[/tex]

Chuẩn hóa cho [tex]x+y+z=1[/tex]

[tex]\Rightarrow\sum_{cyc} \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{1-(q+z)} \geq 9[/tex]

Quy đồng khử mẫu, ta được:

[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc} (1-q-x)(1-q-y) \geq 9.\prod(1-x-q)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9.(1-q)^3+3.(1-q)+9(q-q^2)-9xyz-12.(1-q)^2+5 \leq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9.q^3+6q^2+9r-3q+1\geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (9q^3+6q^2+q)+9r+1-4q \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow q.(3q+1)^2+9r+1-4q\geq 0(1)[/tex]

[tex] (1) [/tex] luôn đúng theo [tex]Schur[/tex]

Vậy bài toán hoàn toán được giải quyết hoàn toàn.

 

[letrang3003]

Cho [TEX]a,b,c>0 [/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{{3a}^{2}+{bc}}{{(b+c)}^{2}}+\frac{{3b}^{2}+{ca}}{{(c+a)}^{2}}+ \frac{{3c}^{2}+{ba}}{{(b+a)}^{2}}\geq 3[/TEX]

Bài viết 666