Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[math_life6196]

[TEX]a,b,c \in R^+ . Prove that :[/TEX]
[TEX]\sum \sqrt{ab(a+b)} \geq \sqrt{4abc+\prod (a+b)}[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Chứng minh bài này thử coi nha
Cho $a, b > 0$ thoả mãn $a + b = \dfrac{1}{2}$ . CMR:
$\dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{10}{\sqrt{a}} + \dfrac{10}{\sqrt{b}} \ge 48$ .

$\bullet$ Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
\[\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{ \sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}}\geq 5.\sqrt[5]{\frac{4^4}{(a^2+b^2)ab}}\]
\[=5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{8(a^2+b^2)ab}}= 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{4(a^2+b^2)2ab}}\]
\[\geq 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{(a+b)^4}}=5.\sqrt[5]{2^{15}}=40\]
$\bullet$ Và mặt khác ta lại có:
\[\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{ab}}\geq \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\]
\[=4\sqrt{2}.\sqrt{2}=8\]
Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều trên ta có điều phải chứng minh thôi :") $\square$


..

 

[angleofdarkness]

Đã đọc hết 107 trang của pic ạ

..............................................................