Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[rua_it]

Bài lượng giác đơn giản.
Có một số chú ý sau:
[tex]\forall A,B,C \in\ (0;\frac{\pi}{2}): (cosA+cosB+cosC)(tanA+tanB+tanC) \geq \frac{9}{2}.\sqrt{3} \\ \sum_{cyc} cos^2A=1-2cosAcosBcosC[/tex]
Kết hợp gt ta có ngay dpcm.

 

[quyenuy0241]

Dạng bình thường​

Quả thật là không khó nhỷ>->->-
[TEX]a,b,c[/TEX] là các số dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Tìm min
[TEX]\frac{1}{a(a+b}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}[/TEX]

[tex]\sum{\frac{1}{a(a+b)}}+\sum{\frac{a}{2}}+ \sum{\frac{a+b}{4}} \geq \frac{9}{2}[/tex]
Suy ra
[tex]\sum{\frac{1}{a(a+b)}}\geq\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}[/tex]

 

[djbirurn9x]

Nhờ các mem lớp 9 giúp giùm bài này

Cho x,y thay đổi thỏa [TEX](x+y)^3 + 4xy \geq 2[/TEX]

Tìm Min của [TEX] A = 3(x^4 + y^4 + x^2y^2) - 2(x^2+y^2) + 1[/TEX]

Ai làm được thax nhiều :-SS

 

[cool_strawberry]

Thế mới hóc.Giúp với,bài tập kì nghỉ Tết đấy!!!
Giúp tớ những hệ thức thường sử dụng để giải bất đẳng thức lượng giác nữa!

 

[bigbang195]

Nhờ các mem lớp 9 giúp giùm bài này

Cho x,y thay đổi thỏa [TEX](x+y)^3 + 4xy \geq 2[/TEX]

Tìm Min của [TEX] A = 3(x^4 + y^4 + x^2y^2) - 2(x^2+y^2) + 1[/TEX]

Ai làm được thax nhiều :-SS

[TEX]x^4 + y^4 + x^2y^2 \ge \frac{3}{4}(x^2+y^2)^2[/TEX] (Tự chứng minh)

[TEX]\Rightarrow A \ge (\frac{9}{4}-2)(x^2+y^2)^2+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+1[/TEX]


Mặt khác[TEX] (x+y)^2 \ge 4xy[/TEX] nên [TEX](x+y)^3+(x+y)^2 \ge 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2 \ge 0[/TEX]

đặt [TEX]x+y=a[/TEX] cho gọn thì [TEX]a^3+a^2-2 \ge 0[/TEX] hay [TEX]a^2(a-1)+2(a^2-1)=(a-1)(a^2+2a+2) \ge 0[/TEX]

đương nhiên ta suy ra [TEX]a \ge 1[/TEX]

Sử dụng [TEX]x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]

ta được min A

 

[bigbang195]

Dạng bình thường (tiếp)​

Cho các số dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh
[TEX]\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{c}{c+ab} \le \frac{9}{4}[/TEX]

 

[dandoh221]

Dạng bình thường (tiếp)​

Cho các số dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh
[TEX]\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{c}{c+ab} \le \frac{9}{4}[/TEX]

để ý rằng [TEX]a+bc = a(a+b+c) + bc = (a+b)(a+c)[/TEX]
BDT tương đương
[TEX]\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)} \le \frac{9}{4}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8(a+b)(b+c)(c+a) \ge 9(ab+bc+ac)(a+b+c)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow a(b-c)^2 + b(a-c)^2+c(a-b)^2 \ge 0[/TEX]. luồn đúng

 

[dandoh221]

Dạng khó :
Tìm giá trị lớn nhất của k để BDT sau đúng với a,b > 0
[TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} + k(a+b) \ge (k+1)\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
Tớ chưa làm đc nhưng nghĩ là dùng SOS. các bạn xem thử

 

[bigbang195]

Dạng khó :
Tìm giá trị lớn nhất của k để BDT sau đúng với a,b > 0
[TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} + k(a+b) \ge (k+1)\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
Tớ chưa làm đc nhưng nghĩ là dùng SOS. các bạn xem thử

[TEX]\Leftrightarrow VT-(k+1)(a+b) \ge VP-(k+1)(a+b)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3-ab(a+b)}{ab} \ge (k+1)\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{\sqrt{a^2+b^2}+a+b}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{a+b}{ab}- \frac{k+1}{\sqrt{2(a^2+b^2}+a+b})[/TEX]


Ta có:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}=\frac{8}{2(a+b)}[/TEX]

[TEX]2(a+b) \le \sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b[/TEX]

Một cách tự nhiên ta cho [TEX] k[/TEX] bằng [TEX]7[/TEX]

 

[bigbang195]

Dạng khó​

Cho a,b,c dương và

.Chứng minh

 

[dandoh221]

Dạng khó​

Cho a,b,c dương và

.Chứng minh

đúng là ko còn cách nào khác. mình xin dùng cachs sau sau
giả sử [TEX] c = max{a,b,c}[/TEX] ta chứng mình [TEX]f(a,b,c) \ge f(t,t,c)[/TEX] với [TEX]t = \frac{a+b}{2}[/TEX] . thật vậy :
[TEX]f(a,b,c) - f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c) = (a-b)^2(\frac{4c^2a-ab-abc}{4abc}) \ge 0[/TEX] . cái này đúng
giờ ta cần chứng minh[TEX]f(t,t,c) \ge 4[/TEX]
hay[TEX] \frac{(a+b)^2}{4c} +2c + \frac{(a+b)^2c}{4} = \frac{t^2}{c} + 2c + t^2c \ge 4\Leftrightarrow t^2+2c^2+t^2c^2-4c \ge 0[/TEX]
Thay [TEX]c = 3-2t[/TEX] vào ta có
[TEX]t^2+2c^2+t^2c^2-4c = 4t^4-12t^3+18t^2-16t+6 = (t-1)^2(4t^2-4t+6) \ge 0[/TEX]
CM hoàn tất

 

[quyenuy0241]

đúng là ko còn cách nào khác. mình xin dùng cachs sau sau
giả sử [TEX] c = max{a,b,c}[/TEX] ta chứng mình [TEX]f(a,b,c) \ge f(t,t,c)[/TEX] với [TEX]t = \frac{a+b}{2}[/TEX] . thật vậy :
[TEX]f(a,b,c) - f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c) = (a-b)^2(\frac{4c^2a-ab-abc}{4abc}) \ge 0[/TEX] . cái này đúng
giờ ta cần chứng minh[TEX]f(t,t,c) \ge 4[/TEX]
hay[TEX] \frac{(a+b)^2}{4c} +2c + \frac{(a+b)^2c}{4} = \frac{t^2}{c} + 2c + t^2c \ge 4\Leftrightarrow t^2+2c^2+t^2c^2-4c \ge 0[/TEX]
Thay [TEX]c = 3-2t[/TEX] vào ta có
[TEX]t^2+2c^2+t^2c^2-4c = 4t^4-12t^3+18t^2-16t+6 = (t-1)^2(4t^2-4t+6) \ge 0[/TEX]
CM hoàn tất

Mình nghĩ rằng mọi người không lên dùng những bất đẳng thức cao siêu như DỒN BIẾN để CM bất đảng thức ở trong đây vì nhiều người không hiểu

 

[bigbang195]

đúng là ko còn cách nào khác. mình xin dùng cachs sau sau
giả sử [TEX] c = max{a,b,c}[/TEX] ta chứng mình [TEX]f(a,b,c) \ge f(t,t,c)[/TEX] với [TEX]t = \frac{a+b}{2}[/TEX] . thật vậy :
[TEX]f(a,b,c) - f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c) = (a-b)^2(\frac{4c^2a-ab-abc}{4abc}) \ge 0[/TEX] . cái này đúng
giờ ta cần chứng minh[TEX]f(t,t,c) \ge 4[/TEX]
hay[TEX] \frac{(a+b)^2}{4c} +2c + \frac{(a+b)^2c}{4} = \frac{t^2}{c} + 2c + t^2c \ge 4\Leftrightarrow t^2+2c^2+t^2c^2-4c \ge 0[/TEX]
Thay [TEX]c = 3-2t[/TEX] vào ta có
[TEX]t^2+2c^2+t^2c^2-4c = 4t^4-12t^3+18t^2-16t+6 = (t-1)^2(4t^2-4t+6) \ge 0[/TEX]
CM hoàn tất

Hay !
mình giải bằng SOS không hay lắm
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c}-a-b-c+\frac{(a+b+c)^3-27abc}{27} \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum \frac{a(b-c)^2}{bc} -\sum \frac{(7a+b+c)(b-c)^2}{54} \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (b-c)^2(\frac{a}{bc}-\frac{a+6}{27}) \ge 0[/TEX]
Mặt khác [TEX]\frac{a}{bc} \ge a^2[/TEX] với [TEX]abc \le 1[/TEX]
Ta có
[TEX]S_a=27a^2-6-a \\S_b=27b^2-6-b \\S_c=27c^2-6-c[/TEX]

Với [TEX]a =max[/TEX] thì [TEX]S_a \ge 0[/TEX] ,dễ chứng minh được [TEX]S_a+S_b \ge 0[/TEX] và [TEX]S_a+S_b \ge 0[/TEX]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý 1 số cách phân tích :
[TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][/TEX]
[TEX](a+b)(b+c)(a+c)-8abc=a(b-c)^2+c(a-b)^2+b(a-c)^2[/TEX]

 

[dandoh221]

ồ. thực ra nó không có gì gọi là "cao siêu" đâu bạn à. ý tưởng chỉ là dồn lại chỉ còn 1 hoặc 2 biến. mọi việc đều là biến đổi tương đương thôi mà

 

[bigbang195]

Dạng khó​

không âm thỏa mãn

.Chứng minh:

Dâu bằng khi

Dạng khó​

cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh
[TEX](1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge (1+a)(1+b)(1+c)[/TEX]

Dạng bình thường​

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh
[TEX](a^2b+b^2a+c^2a)(ab+bc+ac)^2 \le 27[/TEX]

Dạng dễ​

[TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a \le 3[/TEX]

Khó​

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+abc \ge 4[/TEX]

dấu bằng khi [TEX]a=b=c=1[/TEX] và [TEX]a=2,b=1,c=0[/TEX]

 

[djbirurn9x]

xem lại chỗ kia hộ cái BB

[TEX]x^4 + y^4 + x^2y^2 \ge \frac{3}{4}(x^2+y^2)^2[/TEX] (Tự chứng minh)

[TEX]\Rightarrow A \ge (\frac{9}{4}-2)(x^2+y^2)^2+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+1[/TEX]


Mặt khác[TEX] (x+y)^2 \ge 4xy[/TEX] nên [TEX](x+y)^3+(x+y)^2 \ge 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2 \ge 0[/TEX]

đặt [TEX]x+y=a[/TEX] cho gọn thì [TEX]a^3+a^2-2 \ge 0[/TEX] hay [TEX]a^2(a-1)+2(a^2-1)=(a-1)(a^2+2a+2) \ge 0[/TEX]

đương nhiên ta suy ra [TEX]a \ge 1[/TEX]

Sử dụng [TEX]x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]

ta được min A

Anh chưa hiểu dòng này, BB giải thích hộ anh cái :
[TEX]\Rightarrow A \ge (\frac{9}{4}-2)(x^2+y^2)^2+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+1[/TEX]
Đề bài cho -2.([TEX]x^2+y^2[/TEX]) sao giờ thành lại thành -2[TEX](x^2+y^2)^2[/TEX] vậy Suy nghĩ nãy h vẫn hok thể hiểu nổi @-)

 

[bigbang195]

Anh chưa hiểu dòng này, BB giải thích hộ anh cái :
[TEX]\Rightarrow A \ge (\frac{9}{4}-2)(x^2+y^2)^2+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+1[/TEX]
Đề bài cho -2.([TEX]x^2+y^2[/TEX]) sao giờ thành lại thành -2[TEX](x^2+y^2)^2[/TEX] vậy Suy nghĩ nãy h vẫn hok thể hiểu nổi @-)

em làm nhầm rùi. anh đặt [TEX]x^2+y^2=t[/TEX] nhá. Chứng minh
[TEX]VT -\frac{9}{16}\ge 0 \Leftrightarrow \frac{9}{4}t^2-2t+1-\frac{9}{16} \ge 0[/TEX]
Phân tích cái này ra nhân tử kết hợp [TEX]t \ge \frac{1}{2}[/TEX] nhé anh !

[TEX]Min =\frac{9}{16}[/TEX]

 

[djbirurn9x]

em làm nhầm rùi. anh đặt [TEX]x^2+y^2=t[/TEX] nhá. Chứng minh
[TEX]VT -\frac{9}{16}\ge 0 \Leftrightarrow \frac{9}{4}t^2-2t+1-\frac{9}{16} \ge 0[/TEX]
Phân tích cái này ra nhân tử kết hợp [TEX]t \ge \frac{1}{2}[/TEX] nhé anh !

[TEX]Min =\frac{9}{16}[/TEX]

uk, anh cho x=y=1/2 thấy nó ra 9/16 , còn làm theo cái sai cũ thử hoài nó ra đáp số khác, điên cái đầu

Anh BR9 góp ý để topic ngày càng phát triển nè : em cho ví dụ 1 bài BĐT rồi chỉ ra cách chọn điểm rơi để ra kết quả, chứ cứ nhào zô là Cauchy, BCS, ... như vậy thì mấy bạn khác xem mà hok nhớ nổi đâu. Sau mỗi bài toán chúng ta cần cho nhận xét, bình luận (not spam ) ) cái hay của bài toán ở chỗ nào ( ví dụ bài anh gửi hay ở chỗ từ giả thiết => x+y\geq1 chẳng hạn,...), tiếp thu nha BB ­

†«—(¯DAY BY DAY¯)—»†​

 

[quyenuy0241]

Khó​

[TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] .Chứng minh
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+abc \ge 4[/TEX]

dấu bằng khi [TEX]a=b=c=1[/TEX] và [TEX]a=2,b=1,c=0[/TEX]

Bài này quả là rất khó tới lỗi mà ai cũng không thể làm được
thử:
[tex]a=b=c=10^{-10000}[/tex] Đề sai em à::khi (121)::khi (121)::khi (121):

 

[bigbang195]

Em xin lỗi chưa ghi điều kiện là [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Em đã sửa !