Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[rua_it]

[TEX]a,b,c>0[/TEX]. cmr: [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}[/TEX]

Giả sử rằng c=min{a,b,c}

[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c).(b-c)}{ac}+3 \geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}[/tex]

[tex] \Leftrightarrow (\frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c).(b+c)}).(a-b)^2+(\frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c).(a+b)}).(a-c).(b-c) \geq 0[/tex]

Mặt khác, ta luôn cóa: [tex](a+c).(b+c) \geq ab[/tex]

[tex](a+c).(a+b) \geq ac[/tex]

Vậy ta đã có được dpcm.

 

[bigbang195]

tim min [TEX]\frac{x}{1- x^{2}} + \frac{y}{1-y^{2}} + \frac{z}{1-z^{2}} [/TEX] voi [TEX]x,y,z \epsilon (0;1), xy+ yz+xz=1[/TEX]


[TEX]Vt \ge \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z-x^3+y^3+z^3}[/TEX]


[TEX](x+y+z)^2 \ge 3(xy+xz+yz)=3[/TEX]


[TEX]x^3+\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}} \ge x[/TEX]
làm tương tự được

[TEX]x^3+y^3+z^3 +\frac{2}{\sqrt{3}} \ge x+y+z[/TEX]

hay [TEX]x+y+z-x^3-y^3-z^3 \le \frac{2}{\sqrt{3}}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

tim min [TEX]\frac{x}{1- x^{2}} + \frac{y}{1-y^{2}} + \frac{z}{1-z^{2}} [/TEX] voi [TEX]x,y,z \epsilon (0;1), xy+ yz+xz=1[/TEX]


[TEX]Vt \ge \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z-x^3+y^3+z^3}[/TEX]


[TEX](x+y+z)^2 \ge 3(xy+xz+yz)=3[/TEX]


[TEX]x^3+\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}} \ge x[/TEX]
làm tương tự được

[TEX]x^3+y^3+z^3 +\frac{2}{\sqrt{3}} \ge x+y+z[/TEX]

hay [TEX]x+y+z-x^3-y^3-z^3 \le \frac{2}{\sqrt{3}}[/TEX]

Cách khác :
AM-GM:
[tex]x^2+\frac{1}{3} \ge \frac{2}{\sqrt{3}}x[/tex]
Nên[tex] \frac{x}{1-x^2} \ge \frac{x}{\frac{4}{3}-\frac{2}{\sqrt{3}}x}[/tex]
[TEX]\frac{x}{1- x^{2}} + \frac{y}{1-y^{2}} + \frac{z}{1-z^{2}} \ge \frac{(x+y+z)^2}{\frac{4(x+y+z)}{3}-\frac{2}{\sqrt{3}}(x^2+y^2+z^2)} \ge \frac{(x+y+z)^2}{\frac{4}{3}(x+y+z)+\frac{2}{3 \sqrt{3}}(x+y+z)^2} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]Luôn đúng với [tex]x+y+z \ge \sqrt{3}[/tex]

 

[bigbang195]

Cho các số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]xyz=1[/TEX]

Chứng minh rằng :[TEX]\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thỏa [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]. CHứng minh rằng:
[TEX]3(ab+bc+ca)-abc \leq 8[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]ab+bc+ca \geq 1[/TEX].


Chứng minh:

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}+\frac{b^2}{c^2\sqrt{1+b}}+\frac{c^2}{a^2\sqrt{1+c}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}+15 \geq 6(ab+bc+ca)[/TEX]

Cho [TEX]a,b>0.[/TEX] Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
thoả mãn

Chứng minh

[TEX]x,y,z >0[/TEX]. Chứng minh

Cho [TEX] x,y,z > 0 [/TEX]thoả mãn

Chứng minh :

Cho các số [TEX]a, b, c > 0[/TEX] Chứng minh

Chỉ bằng Holder

Các số[TEX] a,b,c >0[/TEX] .Chứng minh

[TEX]\frac{3a^{2}-bc}{a+b}+\frac{3b^{2}-ca}{b+c}+\frac{3c^{2}-ab}{c+a}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] là 3 cạnh 1 tam giác .Chứng minh :

[TEX]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq\frac{5}{2}[/TEX]

Chỉ AM-GM

Ai có bài nào thì post vào đây giúp em nhá !

Cảm ơn !

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c[/TEX] là 3 cạnh 1 tam giác .Chứng minh :

[TEX]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq\frac{5}{2}[/TEX]

Chỉ AM-GM

Đề em sáng tạo hả nhìn cái ra luôn
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le abc[/tex]
[tex]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \ge \frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{4abc}[/tex]
[tex]\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{4abc}=t, AM-GM \Rightarrow t \ge 2[/tex]
Vậy[tex] VT \ge t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4} \ge \frac{5}{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX] x,y,z > 0 [/TEX]thoả mãn

Chứng minh :

Áp Dụng BDT Chubyshev chò bộ dãy giảm:
[tex]x,y,z[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2+3},\frac{1}{y^2+3},\frac{1}{z^2+3}[/tex]
[tex]\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3} \le 3(x+y+z)(\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3}) \le \frac{9}{12}[/tex]

 

[oicaicuocdoi]

Áp Dụng BDT Chubyshev chò bộ dãy giảm:
[tex]x,y,z[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2+3},\frac{1}{y^2+3},\frac{1}{z^2+3}[/tex]
[tex]\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3} \le 3(x+y+z)(\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3}) \le \frac{9}{12}[/tex]

Anh ơi !!! Cái này lớp 9 không được áp dụng
Nếu như muốnáp dụng thì phải chứng minh được bài toán phụ

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]ab+bc+ca \geq 1[/TEX].


Chứng minh:

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1} \ge \frac{a^3}{b^2+ab+ac+bc}=\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}[/TEX]
[tex]\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8} \ge \frac{3a}{4}[/tex]
[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{4} \ge \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

 

[oicaicuocdoi]

Chứng minh rằng nếu:
x,y,z là 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn: xy + yz + xz - xyz/4=0 thì:
1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/ (x+y+2z) \leq 1

Bài này không khó >-

 

[vodichhocmai]

Chứng minh rằng nếu:
x,y,z là 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn: xy + yz + xz - xyz/4=0 thì:
1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/ (x+y+2z) \leq 1

Bài này không khó >-

[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{16}{2x+y+z}\\\ \ Done!!!![/TEX]

 

[dandoh221]

Chứng minh rằng nếu:
x,y,z là 3 cạnh của một tam giác và thỏa mãn: xy + yz + xz - xyz/4=0 thì:
1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/ (x+y+2z) \leq 1

Bài này không khó >-

Lâu rồi ko vào box. thấy toàn bài khó @-). Làm bài này cho đỡ hoa mắt
đK phải là xy+yz+xz-4xyz=0
[TEX]\frac{1}{2x+y+z} = \frac{1}{x+x+y+z} \le \frac{1}{16}(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
xây dựng mấy cái tương tự cộng lại ta được
[TEX]LHS \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 1. [/TEX]



P/S sau 2 phút : bị trùng

 

[djbirurn9x]

Cho x, y thay đổi thỏa [TEX]x^2 + y^2 = 1[/TEX]
Tìm max, min của : [TEX]P = \frac{2(x^2 + 6xy)}{1 + 2xy + y^2}[/TEX] @-)
Đang cần gấp, ai giúp thax nhiều

 

[cuphuc13]

[tex]P=\frac{2x^2+12xy}{x^2+2xy+3y^2}[/tex]
[tex]P-3=- \frac{-(x-3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}<=0[/tex]
[tex]P+6= \frac{2(2x+3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}>=0[/tex]
Từ đó suy ra minP=-6, maxP=3
Chẳng may thấy bài giải ngay trước mắt hơ !!! Giúp bạn luôn!!!

 

[herrycuong_boy94]

[tex]P=\frac{2x^2+12xy}{x^2+2xy+[SIZE="7"]3y^2[/SIZE]}[/tex]
[tex]P-3=- \frac{-(x-3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}<=0[/tex]
[tex]P+6= \frac{2(2x+3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}>=0[/tex]
Từ đó suy ra minP=-6, maxP=3
Chẳng may thấy bài giải ngay trước mắt hơ !!! Giúp bạn luôn!!!

sai rồi nè , xem lại đi bạn

 

[bigbang195]

Áp Dụng BDT Chubyshev chò bộ dãy giảm:
[tex]x,y,z[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2+3},\frac{1}{y^2+3},\frac{1}{z^2+3}[/tex]
[tex]\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3} \le 3(x+y+z)(\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3}) \le \frac{9}{12}[/tex]

It's Wrong :

[TEX]\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3} \ge \frac{9}{x^2+y^2+z^2+9}=\frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3} \le 3(x+y+z)(\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3})[/TEX]

Chebyshev's Inequality

[TEX]\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3} \le \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{y^2+3}+\frac{1}{z^2+3})[/TEX]

 

[letrang3003]

Cho [TEX] x,y,z > 0 [/TEX]thoả mãn

Chứng minh :

Using Cauchy-Schwarz Inequality
[TEX]LHS^2 \le (a+b+c) \left (\frac{a}{(a^2+3)^2}+\frac{b}{(b^2+3)^2}+\frac{c}{(c^2+3)^2} \right ) [/TEX]

And so it is enough to prove that

[TEX]\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \le \frac{3}{16}[/TEX]

We have : [TEX](a^2+1+1+1)^2 \ge (4\sqrt{a})^2=16a[/TEX]

We deduce the desired result, Equality hold if and only if [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[letrang3003]

Cho [TEX]a,b>0.[/TEX] Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{b}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)[/TEX]

Bài này cực dễ nè

[TEX]a^2+b^2 \ge 2ab[/TEX]

[TEX]Done !!![/TEX] .

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}+\frac{b^2}{c^2\sqrt{1+b}}+\frac{c^2}{a^2\sqrt{1+c}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]

[tex]\sqrt{2}.\sqrt{a+1} \le \frac{a+3}{2}[/tex]
[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}\ge 2\sqrt{2}.\frac{a^2}{b^2(a+3)}[/TEX]
[tex] \sum{\frac{a^2}{b^2(a+3)} \ge \frac{3}{4}[/tex]
[tex]{\frac{a^2}{b^2(a+3)}+\frac{b(a+3)}{16}+\frac{ab}{4} \ge \frac{3a}{4}[/tex]
[tex] \sum{\frac{a^2}{b^2(a+3)} \ge \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3(a+b+c)}{16}-\frac{ab+ac+bc}{4}-\frac{3(ab+ac+bc)}{16} \ge \frac{3}{4}[/tex]

 

[letrang3003]

[tex]\sqrt{2}.\sqrt{a+1} \le \frac{a+3}{2}[/tex]
[TEX]\frac{a^2}{b^2\sqrt{1+a}}\ge 2\sqrt{2}.\frac{a^2}{b^2(a+3)}[/TEX]
[tex] \sum{\frac{a^2}{b^2(a+3)} \ge \frac{3}{4}[/tex]
[tex]{\frac{a^2}{b^2(a+3)}+\frac{b(a+3)}{16}+\frac{ab}{4} \ge \frac{3a}{4}[/tex]
[tex] \sum{\frac{a^2}{b^2(a+3)} \ge \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3(a+b+c)}{16}-\frac{ab+ac+bc}{4}-\frac{3(ab+ac+bc)}{16} \ge \frac{3}{4}[/tex]

Cũng có thể áp dụng trực tiếp để khử mẫu vì nó không trội bằng đại lương [TEX]a+b+c[/TEX]

 

[letrang3003]

Áp dụng trực tiếp AM-GM

[TEX]VT \ge \frac{3}{\sqrt[6]{(a+1)(b+1)(c+1)}}[/TEX]

[TEX]Done !!![/TEX]