Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[puu]

theo góp ý của kỉa-i tui đưa lên cách cân bằng hệ số cho mọi người cùng xem
ví dụ mở đầu: cho x,y>0 tm:[TEX]x^3+y^3=1[/TEX]
tìm max=[TEX]\sqrt{x}+\sqrt{y}[/TEX]
rõ ràng có thể thấy ngay điểm rơi là x=y=[TEX]\frac{1}{\sqrt[3]{2}[/TEX]. như vậy áp dụng BDT AM_GM
[TEX]x^3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/TEX]
\geq[TEX]6\sqrt[6]{(\frac{1}{2})^5}.\sqrt{x}[/TEX]
áp dụng tương tự cho y^3 , cộng vế theo vế ta đc max của P
xét ví dụ tiếp theo
cho x,y>0 tm: [TEX]x^3+y^3=1[/TEX]. tìm max:
P=[TEX]\sqrt{x}+2\sqrt{y}[/TEX]
phân tích:vai trò của x,y không bình đẳng như ở ví dụ 1 . do vậy ta giả sử P max tại [TEX]x=\alpha;y=\beta[/TEX]
ta cũng vận dụng BDT AM_GM như sau:
[TEX]x^3+\alpha^3+\alpha^3+\alpha^3+\alpha^3+\alpha^3\geq6\sqrt{\alpha^5}.\sqrt{x}[/TEX]
[TEX]y^3+\beta^3+\beta^3+\beta^3+\beta^3+\beta^3\geq6\sqrt{\beta^5}.\sqrt{y}[/TEX]
ta cần chọn [TEX]\alpha;\beta[/TEX] sao cho dấu = ở 2 BDT trên xảy ra thì [TEX]\left{\begin{\frac{6\sqrt{\alpha^5}}{6\sqrt{\beta^5}}=\frac{1}{2}\\{\alpha^3+\beta^3=1}[/TEX]
tìm ra [TEX]\alpha; \beta[/TEX] rồi thay vào giải
ví dụ 1: cho x,y,z\geq0 tm xy+yz+zx=1. cm
[TEX]10x^2+10y^2+z^2\geq4[/TEX]
Phân tích:
[SIZE=3[SIZE="3"][TEX]kx^2+ky^2\geq 2kxy[/TEX]
[TEX](10-k)x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 2\sqrt{\frac{10-k}{2}}.xz[/TEX]
[TEX](10-k)y^2+\frac{1}{2}.z^2\geq 2\sqrt{\frac{10-k}{2}}.yz[/TEX]
cần chọn k sao cho [TEX]2k=2\sqrt{\frac{10-k}{2}}\Leftrightarrow k=2[/TEX]
từ đó ta có cách giải[/SIZE]

 

[bigbang195]

Cho [TEX]x, y, z > 0[/TEX]. Tìm [TEX]min[/TEX]:
[TEX]P = \sqrt[3]{4(x^3 + y^3)} + \sqrt[3]{4(y^3 + z^3)} + \sqrt[3]{4(z^3 + x^3)} + 2(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{z^2} + \frac{z}{x^2})[/TEX]

[TEX] \sqrt[3]{4(x^3 + y^3)} \ge x+y[/TEX]

còn lại áp dụng Cau-chy 12 số ^^!

 

[djbirurn9x]

Cauchy 12 số nào =.=

P/s : mấy tuần nay toàn học BĐT trong tam giác coi bộ cũng khó phết , đợi hum nào rảnh post lên

 

[djbirurn9x]

C/m \forall x, y > 0 ta có : :|
[TEX](1 + x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}}) \geq 256[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Cho x > 0. Tìm min :

[TEX]y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^2})}[/TEX] :-SS

 

[djbirurn9x]

bài hay, ai pro thì chém hộ

Gọi x, y là nghiệm của hệ pt ::-SS

[TEX]\left{\begin{x - my = 2 - 4m}\\{mx + y = 3m + 1} [/TEX]
(m là tham số)

Tìm max của [TEX]A = x^2 + y^2 - 2x[/TEX] khi m thay đổi @-)

 

[djbirurn9x]

Tìm max của hàm số :

[TEX]f(x,y,z) = \frac{xy\sqrt{z - 1} + xz\sqrt{y - 2} + yz\sqrt{x - 3}}{xyz}[/TEX]

 

[rua_it]

C/m \forall x, y > 0 ta có : :|
[TEX](1 + x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2 \geq 256[/TEX]

Áp dụng bdt AM-GM, ta có ngay

[tex]1+x=1+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{x^3}{27}}[/tex]

[tex]1+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27x^3}}[/tex]

[tex]1+\frac{9}{\sqrt{y}}=1+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{27}{\sqrt{y^3}}}[/tex]

Cộng theo vế, ta có:

[tex]LHS:=(1 + x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2 \geq 256.\sqrt[4]{729.\frac{x^3y^3}{27.x^3.27.y^3}}=256=RHS[/tex]

p/s: cái đề mừ a chép cũng sai.=.=

 

[rua_it]

Tìm max của hàm số :

[TEX]f(x,y,z) = \frac{xy\sqrt{z - 1} + xz\sqrt{y - 2} + yz\sqrt{x - 3}}{xyz}[/TEX]

[tex]LHS:= \frac{xy\sqrt{z - 1} + xz\sqrt{y - 2} + yz\sqrt{x - 3}}{xyz}[/tex]

[tex]=\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}[/tex]

[tex]AM-GM \Rightarrow (z-1)+1 \geq 2.\sqrt{z-1}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{z-1}}{z} \leq \frac{1}{2}[/tex]

Tương tự, ta có:

[tex]y=(y-2)+2 \geq 2.\sqrt{2.(y-2)} \Rightarrow \frac{\sqrt{y-2}}{y} \leq \frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]x=(x-3)+3 \geq 2.\sqrt{3.(x-3)} \Rightarrow \frac{\sqrt{x-3}}{x} \leq \frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]

Cộng lại:

[tex] \frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x} \leq \frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}+ \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1)[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\left{\begin{x=6}\\{y=4}\\{z=2}[/tex]

 

[djbirurn9x]

Áp dụng bdt AM-GM, ta có ngay

[tex]1+x=1+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{x^3}{27}}[/tex]

[tex]1+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27x^3}}[/tex]

[tex]1+\frac{9}{\sqrt{y}}=1+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{27}{\sqrt{y^3}}}[/tex]

Cộng theo vế, ta có:

[tex]LHS:=(1 + x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2 \geq 256.\sqrt[4]{729.\frac{x^3y^3}{27.x^3.27.y^3}}=256=RHS[/tex]

p/s: cái đề mừ a chép cũng sai.=.=

Sax cái đề sai chứ ai chép sai, để anh sửa
p/s : rảnh thì vào topic lũy thừa giải hộ mấy cái pt, hpt "biến thái "

 

[6262127]

Sax cái đề sai chứ ai chép sai, để anh sửa
p/s : rảnh thì vào topic lũy thừa giải hộ mấy cái pt, hpt "biến thái "

Post mấy bdt tam giác đi a

Àh còn topic a nói là topic phương trình lũy thừa, logarit ấy ạ

 

[djbirurn9x]

Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 1. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX] P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xyz}[/TEX]

 

[djbirurn9x]

ok để mai anh post cho, còn link LT, mũ ,log nè : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=92198

 

[mathvn]

Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 1. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX] P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xyz}[/TEX]

[TEX]P\ge \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\ge \frac{9}{(x+y+z)^2}+\frac{21}{(x+y+z)^2}=\frac{30}{(x+y+z)^2}=30[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]a, b, c \in [0;1][/TEX] . C/m : :|

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Post mấy bdt tam giác đi a

Àh còn topic a nói là topic phương trình lũy thừa, logarit ấy ạ

Link LG : http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1064083&posted=1#post1064083

 

[bigbang195]

Cho [TEX]a, b, c \in [0;1][/TEX] . C/m : :|

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 - ab - bc - ca \leq 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum a^3-\sum ab-1 \le 0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \sum a-\sum ab -1+abc \le 0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \prod (a-1) \le 0[/TEX]

đúng

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]x, y > 0 ; xy = 1[/TEX]. Tìm [TEX]max[/TEX]:
[TEX]\frac{x}{x^2 + y^4} + \frac{y}{y^2 + x^4}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]x, y > 0 ; xy = 1[/TEX]. Tìm [TEX]max[/TEX]:
[TEX]P=\frac{x}{x^2 + y^4} + \frac{y}{y^2 + x^4}[/TEX]

[tex] \Leftrightarrow P= \frac{x^5}{x^6+1}+\frac{x}{x^6+1}=\frac{x^5+x}{x^6+1} [/tex]

Ta sẽ CM:::: [tex] P \le 1 [/tex]

[tex]\frac{x^5+x}{x^6+1} \le 1 \Leftrightarrow x^6-x^5-x+1 \ge 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+x^3+x^2+x+1) \ge 0 [/tex]đúng!!

 

[rua_it]

Cho x > 0. Tìm min :

[TEX]y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^2})}[/TEX]

[tex]\mathrm{Cauchy-Schwarz \ & \ AM-GM} \Rightarrow \frac{4.y}{3}=\frac{4.x}{3}+\frac{11.4}{3.2x}+2. \sqrt{ \frac{16}{9}.(1+\frac{7}{x^2})}[/tex]

[tex]=\frac{4x}{9}+\frac{22}{3x}+2.\sqrt{(1+\frac{7}{9}).(1+\frac{7}{x^2})}[/tex]

[tex] \geq \frac{4x}{9}+\frac{22}{3x}+2+\frac{14}{3x}[/tex]

[tex]=\frac{4x}{3}+\frac{12}{x}+2 \geq 8+2=10[/tex]

Vậy [tex]\min y=\frac{15}{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=3 [/tex]

Gọi x, y là nghiệm của hệ pt :

[TEX]\left{\begin{x - my = 2 - 4m}\\{mx + y = 3m + 1} [/TEX]
(m là tham số)

Tìm max của [TEX]A = x^2 + y^2 - 2x[/TEX] khi m thay đổi

Còn bài này ai làm đi