Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[nguyen__]

5/ Cho a, b là các số dương thoả mãn [TEX]ab + a + b = 3[/TEX]
C/m : [TEX]\frac{3a}{b + 1} + \frac{3b}{a + 1} + \frac{ab}{a + b} \leq a^2 + b^2 + \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\frac{3a}{b + 1} + \frac{3b}{a + 1} =\frac{3a^2+3a+3b^2+3b}{4}[/TEX]

rút gọn 2 vế dễ CM

 

[rua_it]

1/ Cho [TEX]0 \leq a; b; c\leq1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{b^3 + c^3 + 7} + \frac{b}{c^3 + a^3 + 7} + \frac{c}{a^3 + b^3 + 7} \leq \frac{1}{3}[/TEX]​

[tex]Am-Gm \Rightarrow a^3+b^3+1 \geq 3.ab[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS=\frac{a}{b^3+c^3+7}+\frac{b}{c^3+a^3+7}+\frac{c}{a^3+b^3+7} \leq \frac{a}{3bc+6}+\frac{b}{3ca+6}+\frac{c}{3ab+6}[/tex]

[tex]=\frac{1}{3} \sum_{cyclic} \frac{a}{bc+2}[/tex]

Cần chứng minh [tex] \frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2} \leq 1[/tex]

Thật vậy; [tex] a;b;c \in\ [0;1] \Rightarrow a.(a-1) \leq 0 \Leftrightarrow a^2 \leq a \Leftrightarrow a \leq \sqrt{a}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyclic} \frac{a}{bc+2} \leq \sum_{cyclic} \frac{\sqrt{a}}{2.\sqrt{2bc}}[/tex]

.....

 

[djbirurn9x]

[TEX]\frac{3a}{b + 1} + \frac{3b}{a + 1} =\frac{3a^2+3a+3b^2+3b}{4}[/TEX]

rút gọn 2 vế dễ CM

I can't understand what U say Try again .............................

 

[djbirurn9x]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyclic} \frac{a}{bc+2} \leq \sum_{cyclic} \frac{\sqrt{a}}{2.\sqrt{2bc}}[/tex]
.....

nếu a khác 0, dấu "=" xảy ra khi bc =2 mà [TEX]b,c \in[0;1][/TEX] thì vô lí quá

 

[rua_it]

1/ Cho [TEX]0 \leq a; b; c\leq1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{b^3 + c^3 + 7} + \frac{b}{c^3 + a^3 + 7} + \frac{c}{a^3 + b^3 + 7} \leq \frac{1}{3}[/TEX]​

Trước tiên ta có bổ đề sau: [tex]\sum_{cyclic} a^3+6 \geq 3.(a+b+c)(1)[/tex]

Thật vậy; [tex](1) \Leftrightarrow \sum_{cyc} (x+2)(x-1)^2 \geq 0[/tex]

Luôn đúng với mọi [tex]a,b,c \in\ [0;1][/tex]

Áp dụng bổ đề trên, ta được

[tex]\Rightarrow LHS=\sum_{cyc} \frac{a}{b^3+c^3+7} \leq \sum_{cyc} \frac{a}{\sum_{cyc} a^3+6} \leq \frac{a}{3.(a+b+c)}=\frac{1}{3}=RHS[/tex]

[TEX]Be:0 \leq a; b; c \leq 1 \Rightarrow x^3 \leq 1[/tex]

P/s: cách này hay hơn

 

[rua_it]

3/ [TEX]a+b+c+d+e=1[/tex]
C/m : [TEX]a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \frac{1}{25}[/TEX]

Bổ tung ra [tex]LHS:=a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a)[/tex]

[tex]=abc+bcd+cde+dea+eab+acd-acd=abc+bcd+cde+dea+eab[/tex]

Không mất tính tổng quát, giả sử [tex] e=min(a,b,c,d,e)[/tex]

Viết lại [tex]abc+bcd+cde+dea+eab=e.(c+a)(b+d)+bc.(a+d-e) \leq_{Am-Gm} e.\frac{(a+b+c+d)^2}{4} +\frac{(b+c+a+d-e)^3}{27}[/tex]

[tex]=e.\frac{(1-e)^2}{4}+\frac{(1-2e)^3}{27}[/tex]

Cần chứng minh [tex] e.\frac{(1-e)^2}{4}+\frac{(1-2e)^3}{27} \leq \frac{1}{25}[/tex]

Bài toán đến đây quá dễ dàng. Quy đồng nhóm lại ta được ngay đpcm.

ok.

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]a^3+b^3+c^3 =3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a^4b^4+b^4c^4+a^4c4 \le 3[/TEX]

"ăn cắp" ý tưởng trong STBDT
AM-GM: [tex]a^3+b^3+1 \ge 3ab \Rightarrow3a^4b^4 \le a^3b^3(a^3+b^3+1)[/tex]

[tex]Dat-> x=a^3,,y=b^3,,z=c^3 [/tex]

Vậy cần CM: với [tex]x+y+z=3 CMR: xy(x+y+1)+yz(y+z+1)+xz(x+z+1) \le 9[/tex]


[tex]\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+xy+yz+xz \le 9[/tex]


[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+xz+yz)+(xy+yz+xz) \le 9 +3xyz \Leftrightarrow 4(xy+yz+xz) \le 9 +3xyz(I)[/tex]

Mà theo Chur:[tex] 4(x+y+z)(xy+xz+yz) \le (x+y+z)^3+9xyz[/tex] do với [tex]x+y+z=3[/tex] nên suy ra (I) đúng !

 

[vodichhocmai]

4/ Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức [TEX]x + y + z = \frac{yz}{3x} [/TEX]
C/m : [TEX]x \leq \frac{2\sqrt{3} - 3}{6}(y + z) [/TEX]

Còn bài cuối cùng của [TEX]djbirurn9x[/TEX] anh giải luôn

[TEX]x + y + z = \frac{yz}{3x}\le \frac{\(y+z\)^2}{12x} [/TEX]

[TEX]\righ (y+z\)^2-12x\(y+z\)-12x^2\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ y+z\ge \(6+4\sqrt{3}\)x[/TEX]

[TEX]\righ x \leq \frac{2\sqrt{3} - 3}{6}(y + z)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

2/ Cho 4 số thực a, b, c thoả mãn:

[TEX]\left{\begin{a^2 + b^2 - a - b = 0}\\{c^2 + d^2 + c + d = 0}[/TEX]
C/m : [TEX] (a - c)^2 + (b - d)^2 \leq 8[/TEX]

[TEX]\left{ \(a-\frac{1}{2}\)^2+\(b-\frac{1}{2}\)^2=\frac{1}{2}\\ \(c+\frac{1}{2}\)^2+\(d+\frac{1}{2}\)^2=\frac{1}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \sqrt{\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)^2+\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)^2 }-\frac{1}{sqrt{2}}-\frac{1}{sqrt{2}} \le \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}\le \sqrt{\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)^2+\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)^2 }+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{sqrt{2}} [/TEX]

[TEX]\righ 0\le (a - c)^2 + (b - d)^2 \leq 8[/TEX]

 

[6262127]

Em rua_it đây.
Anh dibirurn9x cóa nick yh không ạ. cho em xin đi/
Có chuyện quan trọng

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=3.[/TEX] Chứng minh

[TEX](a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ac) \le 9[/TEX]

 

[vietnam_pro_princess]

Bất đẳng thức Chebyshev:
[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b ; x \ge y[/TEX] thì:[TEX]\huge (a+b)(x+y) \le 2(ax+by)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]\huge x \ge y \ge z [/TEX]thì [TEX]\huge (a+b+c)(x+y+z) \le 3(ax+by+xz)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]


[TEX]\huge *[/TEX]nếu là 2 dãy ngược chiều [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\le b_2\le ...\le b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge *[/TEX][TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \le n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

hÌNH NHƯ BẠN GÕ SAI DẤU THÌ PHẢI
Nếu ở trên đúng thì ở dưới phải như thế này mới phải:
[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \le n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]nếu là 2 dãy ngược chiều [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\le b_2\le ...\le b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge *[/TEX][TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

 

[6262127]

[TEX]A=16x^2y^2-2xy+12=(4xy-\frac{1}{4})^2+11\frac{15}{16}\ge \ 11\frac{15}{16} [/TEX] Dấu "=" \Leftrightarrow [TEX]xy=\frac{1}{16};x+y=1[/TEX]
[TEX]A=2xy(8xy-1)+12\le \frac{(a+y)^2}{4}(8\frac{(x+y)^2}{4}-1)+12=\frac{25}{2}[/TEX] Dấu "=" \Leftrightarrow [TEX]xy=\frac{1}{4};x+y=1[/TEX] \Leftrightarrow[TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
>-|//

Không đúng.

 

[djbirurn9x]

Không đúng.

bài đó hok đúng chỗ nào?

Còn cái bài 3 :

[TEX]\left{\begin{0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e}\\{a + b + c + d + e = 1}[/TEX]
C/m : [TEX]a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \frac{1}{25}[/TEX]

thì làm sao giả sử e min được vì [TEX]0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e[/TEX] @-)

 

[bigbang195]

a,b,c dương. Chứng minh

[TEX]\sum \frac{a}{9ab+(a+b+c)^2} \ge \frac{1}{2(a+b+c)}[/TEX]

 

[dandoh221]

a,b,c dương. Chứng minh

[TEX]\sum \frac{a}{9ab+(a+b+c)^2} \ge \frac{1}{2(a+b+c)}[/TEX]

lâu rồi ko có bài nhỉ.
đồng bậc nên chuẩn hoá a+b+c=3. khi đó ta cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{a}{ab+1} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
Am-GM ngược dấu :
[TEX]\sum \frac{a}{ab+1} = a+b+c - \sum \frac{a^2b}{ab+1} \ge 3-\frac{1}{2}(a\sqrt{ab}+b\sqrt{bc}+c\sqrt{ca})[/TEX]
Ta cần chứng minh : [TEX]a\sqrt{ab}+b\sqrt{bc}+c\sqrt{ca} \le 3.[/TEX]
Đúng theo BDT [TEX](a+b+c)^2 \ge 3(a\sqrt{ab}+b\sqrt{bc}+c\sqrt{ca})[/TEX]

 

[quyenuy0241]

a,b,c dương. Chứng minh

[TEX]\sum \frac{a}{9ab+(a+b+c)^2} \ge \frac{1}{2(a+b+c)}[/TEX]

chuẩn hoá a+b+c=1

cần CM:[tex]\sum\frac{a}{9ab+1} \ge \frac{1}{6}[/tex]

Cauchy ngược dấu !!!

 

[bigbang195]

chuẩn hoá a+b+c=1

cần CM:[tex]\sum\frac{a}{9ab+1} \ge \frac{1}{6}[/tex]

Cauchy ngược dấu !!!

kêu thằng bàn chuẩn hóa nó bảo cái ý cao quá, đi thi tuyển sinh ko dùng đc .

 

[quyenuy0241]

kêu thằng bàn chuẩn hóa nó bảo cái ý cao quá, đi thi tuyển sinh ko dùng đc .

Thê sao em không kêu nó dùng ẩn mới đó
[tex]a'=\frac{a}{a+b+c}[/tex]

 

[quyenuy0241]

Bài này dễ trùng lém!

a,b,c không âm
[tex]\sum{\frac{2a^2+bc}{b^2+c^2} \ge \frac{9}{2}[/tex]