Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[rua_it]

3. Cho x;y;z >0; x+y+z = [TEX]\sqrt{2}[/TEX]Tìm min:
A = [TEX](\frac{\sqrt{x+y}}{z} + \frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}).\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]

Bài này là một câu trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa nhỉ

 

[thanhson1995]

Cho [TEX]x,y \in R[/TEX] thoả mãn [TEX]x+y=2sqrt{17}[/TEX]
Tìm min [TEX]({x}^{4}+1)({y}^{4}+1)[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX]Bunhia----->VT\ge (a^2+b^2)^2=[(a+b)^2-2ab]^2\ge [(a+b)^2-\frac{(a+b)^2}{2})^2=\frac{(a+b)^4}{4}[/TEX]

 

[tigerboy]

1. Cho x\leq y. CMR:_______[TEX]x^3-3x[/TEX] \leq [TEX]y^3-3y+4[/TEX]

2. Cho 0\leqx\leq3; 8\leqy\leq11; x+y =11. Tìm max : A = xy

3. Cho x;y;z >0; x+y+z = [TEX]\sqrt{2}[/TEX]Tìm min:
A = [TEX](\frac{\sqrt{x+y}}{z} + \frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}).\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]

chưa bạn nào làm giúp mình sao ( :|:|.
Mình mới làm được bài 1, còn 2 bài nữa ...

 

[bigbang195]

Bài 2 rất đơn giản. điều kiện [TEX]x \ge 0[/TEX] và[TEX] y \le 11[/TEX] thực chất không có tác dụng gì nên ta dự đoán [TEX]x=3,y=8[/TEX]
dự đoán max =24 ta chỉ cần chứng minh

đúng vì

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

3. Cho x;y;z >0; x+y+z = [TEX]\sqrt{2}[/TEX]Tìm min:
A = [TEX](\frac{\sqrt{x+y}}{z} + \frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}).\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]

A = [TEX](\frac{\sqrt{x+y}}{z} + \frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}).\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]
Nhân ra biểu thức ra
Ta có : [TEX]\frac{(y+z)\sqrt[]{(x+y)(x+z)}}{ x}=(y+z)\sqrt[]{1+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{yz}{x^2}}\geq(y+z)(\sqrt[]{1+\frac{2\sqrt[]{yz}}{x}+\frac{yz}{x^2}}=(y+z)(\frac{\sqrt[]{yz}}{x}+1)[/TEX]
tương tự mấy cái kia ta có :

[TEX]A\geq(y+z)(\frac{\sqrt[]{yz}+1}{x}+(x+y)(\frac{\sqrt[]{xy}}{z}+1)+(x+z)(\frac{\sqrt[]{xz}}{y}+1)\geq2(x+y+z)+2(\frac{xy}{z}+\frac{yz}+{x}\frac{xz}{y})\geq4(x+y+z)=4\sqrt[]{2}[/TEX]
[TEX]MinA=4\sqrt[]{2}[/TEX]
dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow [/TEX]x=y=z

 

[ngojsaoleloj8814974]

và

Tìm min

Very Hard (

[TEX]3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2[/TEX]
Nhân lại với nhau ta được:
[TEX]9(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} )\geq 121[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} )\geq\frac{121}{9}[/TEX]


cũng chả bjk đúng hay sai nữa

 

[quyenuy0241]

. Chứng minh

Nghe chừng bài này có thể phân tích SOS:

[tex]\sum{\frac{ab}{c^2(a+b)}-\sum\frac{1}{2c}=\sum{\frac{2ab-ac-bc}{2c^2(a+b)}[/tex]

[tex]\sum\frac{(ab-ac)+(ab-bc)}{2c^2(a+b)}=\sum(\frac{ab-ac}{2c^2(a+b)}-\frac{ac-ab}{2b^2(a+c)})[/tex]

[tex]=\sum{a(b-c).\frac{b^2a+b^2c-c^2a-c^2b}{2b^2c^2(a+b)(a+c)}=\sum{(b-c)^2\frac{a(ab+bc+ac)}{2b^2c^2(a+b)(a+c)} \ge 0 [/tex] luôn đúng !
Đầu tiên cứ thế này đã !

 

[tigerboy]

Cho [TEX]1 \leq a < b < c < d \leq 50[/TEX] với a,b,c,d là những số nguyên. Tìm min:

A = [TEX]\frac{1}{b} + \frac{b+1}{50}[/TEX] từ đó tìm min

P = [TEX]\frac{a}{b} + \frac{c}{d}[/TEX]

 

[duynhan1]

và

Tìm min

Very Hard (

[TEX]x= \frac{a}{b} + \frac{b}{a} [/TEX]
........

[TEX]x+y+z=8[/TEX].

Min [TEX]x^2+y^2+z^2-3[/TEX]
[TEX]x^2 + y^2 + z^2 - 3\geq \frac13 (x+y+z)^2 - 3 = \frac{55}{3}[/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow x=y=z = \frac83[/TEX]

..............

 

[kimxakiem2507]

Nghe chừng bài này có thể phân tích SOS:

[tex]\sum{\frac{ab}{c^2(a+b)}-\sum\frac{1}{2c}=\sum{\frac{2ab-ac-bc}{2c^2(a+b)}[/tex]

[tex]\sum\frac{(ab-ac)+(ab-bc)}{2c^2(a+b)}=\sum(\frac{ab-ac}{2c^2(a+b)}-\frac{ac-ab}{2b^2(a+c)})[/tex]

[tex]=\sum{a(b-c).\frac{b^2a+b^2c-c^2a-c^2b}{2b^2c^2(a+b)(a+c)}=\sum{(b-c)^2\frac{a(ab+bc+ac)}{2b^2c^2(a+b)(a+c)} \ge 0 [/tex] luôn đúng !
Đầu tiên cứ thế này đã !

Nó thì luôn đúng do

[TEX]\sum_{cyc}\frac{x^2}{y+z} \ge \frac{x+y+z}{2}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Anh có thể làm rõ hơn được không ạ .

[tex]VT= \sum \frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \ge VP[/tex]

 

[kimxakiem2507]

Anh có thể làm rõ hơn được không ạ .

[TEX]x=\frac{1}{a}\ \ [/TEX]

 

[kimxakiem2507]

và

Tìm min

Very Hard (

Anh nghỉ là [TEX]VT\ge 19\ \ [/TEX]

 

[son_9f_ltv]

Anh nghỉ là [TEX]VT\ge 19\ \ [/TEX]

sao lại \geq19 ạh? ?

 

[vodichhocmai]

và

Tìm min

Very Hard (

[TEX]\blue \left{x=\sum_{cyclic} \frac{a}{b}\\ y=\sum_{cyclic} \frac{a}{c} [/TEX]


[TEX]\blue(bdt)\Leftrightarrow\left{x+y=8 \\LHS:=3+\(x^2-2y\)+\(y^2-2x\)=\(x-1\)^2+\(y-1\)^2+1[/TEX]

[TEX]\blue\righ LHS\ge \frac{\(x+y-2\)^2}{2}+1[/TEX]

[TEX]\blue\righ LHS\ge 19[/TEX]

[TEX]\blue\left[\blue a=b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}c\\ \frac{3+\sqrt{5}}{2}a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}b=c\\cyclic[/TEX]

Anh tìm ra max luôn nhưng ko giải đâu anh giải po anh 5 ngàn thì giải

 

[tigerboy]

1.Cho hai số thực x, y thoả mãn

[TEX]{x}^{4} + {y}^{4} -7 = xy(3-2xy) [/TEX]

Tìm min, max của tích xy

2. Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn [TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3[/TEX]

Chứng minh tích abc là lập phương của một số nguyên.

3. Cho x,y,z \geq 2 thoả mãn [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1[/TEX].

Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2) \leq 1

 

[standbymeskz]

1.Cho hai số thực x, y thoả mãn

[TEX]{x}^{4} + {y}^{4} -7 = xy(3-2xy) [/TEX]

Tìm min, max của tích xy

2. Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn [TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3[/TEX]

Chứng minh tích abc là lập phương của một số nguyên.

3. Cho x,y,z \geq 2 thoả mãn [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1[/TEX].

Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2) \leq 1

câu 2

[FONT=&quot][/FONT][FONT=&quot][/FONT]
câu 3

[FONT=&quot][/FONT]

 

[rua_it]

không âm chứng minh:
[tex]\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\ge \frac{10}{(a+b+c)^2}[/tex]

Chuẩn hóa cho [tex]a+b+c=1[/tex]

Bổ đề:

[tex]\\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{2}{ab} \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0[/tex]

[tex]\left{\begin{x=a+\frac{c}{2}}\\{y=b+\frac{c}{2}}\\{x+y=1}\\{LHS:=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2} \geq 10}[/tex]

 

[rua_it]

Cho [TEX]1 \leq a < b < c < d \leq 50[/TEX] với a,b,c,d là những số nguyên. Tìm min:

A = [TEX]\frac{1}{b} + \frac{b+1}{50}[/TEX] từ đó tìm min

P = [TEX]\frac{a}{b} + \frac{c}{d}[/TEX]

[tex]S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \geq \frac{1}{b}+\frac{c+1}{50}[/tex]

[tex]=\frac{1}{b}+\frac{c}{50}+\frac{1}{50}(\mathrm{Do \ gt})[/tex]

[tex]Xet:f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{50}+\frac{1}{50}[/tex]

Khảo sát hàm f(x) trên đoạn [tex] [2;48] [/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{50}-\frac{1}{x^2}-\frac{x^2-50}{50x^2}[/tex]

Ta có các nhận xét sau:

[tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow x=5.\sqrt{2}(\mathrm{Do:2 \leq x \leq 28}) [/tex]

f(x) giảm trên đoạn [2;7] và tăng trên đoạn [8;48]

[tex]\Rightarrow \min S=\frac{53}{175} [/tex]