Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[heocon24]

Cho a;b;c\geq 0 và a;b;c\leq 2;a+b+c=3
Chứng minh rằng [tex] a^3[/tex] + [tex] b^3[/tex] + [tex] c^3[/tex] \leq 9

 

[bigbang195]

Cho a;b;c\geq 0 và a;b;c\leq 2;a+b+c=3
Chứng minh rằng [tex] a^3[/tex] + [tex] b^3[/tex] + [tex] c^3[/tex] \leq 9

Sử dụng

hay

Và

Con này tại 0,1,2

 

[quyenuy0241]

- Tuỳ từng con thôi, có lúc có thể là [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX].

- Chắc là mấy con này phải tập khả năng nhẩm GTLN và GTNN là tốt nhất.

Chẳng có khả năng gì đâu nhìn vào biểu thức mà dự đoán thui !!

Lý do chủ yếu là lý do của bigbang195 đó !!

-Thứ nhất tình có tính đối xứng

-thứ 2 : Cũng có thể dùng đạo hàm [tex]f'(x)=\frac{(x^4+1)(x^6+1)-x^5(x^5+x)}{(x^5+1)^2}=0 [/tex]
Bài này cũng khá dẹp không phải là quá xấu [tex]x^4-1=0 [/tex] tới đây chắc chắn có nghiệm =1 hoặc -1
sau đó tính bình thường!!! không lấy -1 thử vào biết liền

 

[heocon24]

Giả sử a\geqb\geqc \Rightarrow a+b+c \geq 3a
\Leftrightarrow3\geq 3a
\Leftrightarrow1 \leqa \leq 2
Ta có P\leq P+3bc(b+c) = [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](b+c)^3[/TEX]
\Rightarrow P\leq [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](3-a)^3[/TEX]
Thay a=2 vào\Rightarrow P\leq 9.

 

[bigbang195]

Giả sử a\geqb\geqc \Rightarrow a+b+c \geq 3a
\Leftrightarrow3\geq 3a
\Leftrightarrow1 \leqa \leq 2
Ta có P\leq P+3bc(b+c) = [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](b+c)^3[/TEX]
\Rightarrow P\leq [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](3-a)^3[/TEX]
Thay a=2 vào\Rightarrow P\leq 9.

Cách này hay lắm.

[TEX]a,b,c \in [0,2][/TEX] . Chứng minh
[TEX]a^2+b^2+c^2 \le 5[/TEX].

Ai tìm max [TEX]a^4+b^4+c^4[/TEX] chỉ em , cảm ơn

 

[vodichhocmai]

[TEX]\left{ a+b+c=m\\ a,b,c\in \[ \alpha ; \beta\]\ \ \alpha\ge0 \\2\alpha +\beta\le m\le \alpha +2\beta[/TEX]

Khi đó ta luôn có

[TEX]\forall n\ge 1 \righ a^n+b^n+c^n\le \alpha^{n}+ \beta^{n}+\(m-\alpha -\beta\)^{n}[/TEX]

Cầm cái này đánh lên[TEX] Box 12[/TEX] thì anh giải cho

 

[quyenuy0241]

Cách này hay lắm.

[TEX]a,b,c \in [0,2][/TEX] . Chứng minh
[TEX]a^2+b^2+c^2 \le 5[/TEX].

Ai tìm max [TEX]a^4+b^4+c^4[/TEX] chỉ em , cảm ơn

Đề bài sai à!!
Thiếu điều kiện [tex]a+b+c=3 [/tex] (Anh nghĩ thế thui)

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

cho a,b,c >0 [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]CM
[TEX]\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq1[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

cho a,b,c >0 [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]CM
[TEX]\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq1[/TEX]

[TEX]VT\ge \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1(dpcm)[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]a, b, c > 0 ; a + b + c \leq 1[/TEX]. Tìm [TEX]Min[/TEX]:
[TEX]S = \frac{1}{a^2 + 2bc} + \frac{1}{b^2 + 2ca} + \frac{1}{c^2 + 2ab}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a, b, c > 0 ; a + b + c \leq 1[/TEX]. Tìm [TEX]Min[/TEX]:
[TEX]S = \frac{1}{a^2 + 2bc} + \frac{1}{b^2 + 2ca} + \frac{1}{c^2 + 2ab}[/TEX]

[tex]VT \ge \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2} \ge 9 [/tex]

 

[djbirurn9x]

Cho x, y thỏa [TEX]2(x^2 + y^2) = xy + 1[/TEX]. Tìm max, min :

[TEX]A = \frac{x^4 + y^4}{2xy + 1}[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm min :

[TEX]A = \frac{1 - 2xy}{xy(x^3 + y^3)}[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Giả sử a\geqb\geqc \Rightarrow a+b+c \geq 3a
\Leftrightarrow3\geq 3a
\Leftrightarrow1 \leqa \leq 2
Ta có P\leq P+3bc(b+c) = [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](b+c)^3[/TEX]
\Rightarrow P\leq [TEX]a^3[/TEX] + [TEX](3-a)^3[/TEX]
Thay a=2 vào\Rightarrow P\leq 9.

Nhầm dấu \geq của dòng đầu (phải là \leq mới suy ra a\geq 1)
Công nhận cách này hay

 

[vodichhocmai]

Cho x, y thỏa [TEX]2(x^2 + y^2) = xy + 1[/TEX]. Tìm max, min :

[TEX]A = \frac{x^4 + y^4}{2xy + 1}[/TEX]

[TEX]2(x+y)^2=5xy+1\ge 8xy[/TEX]

[TEX]\righ xy\le \frac{1}{3} [/TEX]

[TEX]A:=\frac{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2}{2xy+1}= \frac{[ (x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2}{2xy+1} [/TEX]

[TEX]f(t):= \frac{\(\frac{5t+1}{2}-2t\)^2-2t^2}{2t+1}\ \ \ \ t\le \frac{1}{3} [/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

Bài này đánh lên [TEX]12 [/TEX]thi hay hơn giải không cần suy nghĩ mà gần đề thi đợt hai nữa

 

[son_9f_ltv]

Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm min :

[TEX]A = \frac{1 - 2xy}{xy(x^3 + y^3)}[/TEX]

[TEX]x+y=1 \Rightarrow \Left{\begin{\frac{1}{4}}\ge xy}{x+y\ge x^3+y^3}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A\ge \frac{1-2xy}{xy}=\frac{1}{xy}-2\ge \frac{1}{\frac{1}{4}}-2=2[/TEX]

hình như sai oy!! !

 

[djbirurn9x]

[TEX]x+y=1 \Rightarrow \Left{\begin{\frac{1}{4}}\ge xy}{x+y\ge x^3+y^3}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]A\ge \frac{1-2xy}{xy}=\frac{1}{xy}-2\ge \frac{1}{\frac{1}{4}}-2=2[/TEX]

hình như sai oy!! !

sai chiều bdt từ dòng 1 .....................................................
Dồn biến KSHS được nhưng hok khả quan vì mẫu bậc cao !

 

[bigbang195]

Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm min :

[TEX]A = \frac{1 - 2xy}{xy(x^3 + y^3)}[/TEX]

[TEX]xy(x^3 + y^3)=xy(x+y)(x^2+y^2-xy)[/TEX]

[TEX]=xy(1-3xy)[/TEX]. Chỉ cần chứng minh

[TEX]\frac{1-2t}{t(1-3t)} \ge[/TEX] ......với [TEX]xy=t[/TEX]

 

[bigbang195]

Phân tích cái của em ra chắc cũng ra [TEX](2t-1)(....)[/TEX]

dễ thấy [TEX]t \le \frac{1}{2}[/TEX]

 

[tigerboy]

1. Cho x\leq y. CMR:_______[TEX]x^3-3x[/TEX] \leq [TEX]y^3-3y+4[/TEX]

2. Cho 0\leqx\leq3; 8\leqy\leq11; x+y =11. Tìm max : A = xy

3. Cho x;y;z >0; x+y+z = [TEX]\sqrt{2}[/TEX]Tìm min:
A = [TEX](\frac{\sqrt{x+y}}{z} + \frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}).\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]