Toán bất đẳng thức -cực trị

[Quân Nguyễn 209]

Còn tại sao
$$\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{ab+ac}{4} \geq \frac{a^{2}}{2}$$
$$\frac{b^{3}}{a+c}+\frac{ab+bc}{4} \geq \frac{b^{2}}{2}$$
$$\frac{c^{3}}{a+b}+\frac{ac+bc}{4} \geq \frac{c^{2}}{2}$$
vậy cậu?

Mình đã trả lời ở trên rồi nhá :v
Đây không phải Cauchy mà là BCS dạng engel :v

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 56:
Cho $$a_{1};a_{2};...;a_{n}> 0; 3\leq n\epsilon \mathbb{N}$$
Chứng minh:
$$\frac{a_{1}^{2}+a_{2}a_{3}}{a_{1}(a_{2}+a_{3})}+\frac{a_{2}^{2}+a_{3}a_{1}}{a_{2}(a_{3}+a_{1})}+...+\frac{a_{n-1}^{2}+a_{n}a_{1}}{a_{n-1}(a_{n}+a_{1})}+\frac{a_{n}^{2}+a_{1}a_{2}}{a_{n}(a_{1}+a_{2})}\geq n$$

 

[KwangDat]

Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa $$a_{1}$$ thành $$a_{4}$$
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
$$\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1$$
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
$$VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n$$
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: $$a_1=a_2=..=a_n$$
Vậy ta có đpcm

 

[KwangDat]

Bài 56: Mình nghĩ đề bài sai ở phân thức thứ hai, cụ thể, ta cần sửa $$a_{1}$$ thành $$a_{4}$$
Lời giải theo cách sửa đầu bài trên:
Ta nhận thấy:
$$\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}=\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}{a_1(a_2+a_3)}-1=\frac{(a_1+a_2)(a_3+a_1)}{a_1(a_2+a_3)}-1\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1\Rightarrow\frac{a_1^2+a_2a_3}{a_1+(a_2+a_3)}\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}-1$$
CM tương tự rồi cộng các bất đẳng thức có dạng như trên ta được:
$$VT\geq\frac{2(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}+\frac{2(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}+...+\frac{2(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}+\frac{2(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}-n\geq2\sqrt[n]{\frac{(a_1+a_2)\sqrt{a_1a_3}}{a_1(a_2+a_3)}.\frac{(a_2+a_3)\sqrt{a_2a_4}}{a_2(a_3+a_4)}...\frac{(a_{n-1}+a_n)\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_{n-1}(a_n+a_1)}.\frac{(a_n+a_1)\sqrt{a_na_2}}{a_n(a_1+a_2)}}-n=2n-n=n$$
Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi: $$a_1=a_2=..=a_n$$
Vậy ta có đpcm

Ở phần trả lời trên, trước cái căn bậc n mình thiếu một chữ "n" nữa, xin lỗi

 

[gaconkudo]

Làm bài.
Bài 57. Cho m,n nguyên. Tìm min P=$$\left | 36^{m}-5^{n} \right |$$

 

[kingsman(lht 2k2)]

bài 58 : toán chung chuyên nbk -qn

@Tony Time @Quân Nguyễn 209
mấy câu này khá hay

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Làm bài.
Bài 57. Cho m,n nguyên. Tìm min P=$$\left | 36^{m}-5^{n} \right |$$

$$\left | 36^m-5^n \right | \geq 0$$ Với mọi m,n nguyên.
=> MinP = 0 <=> $$36^m - 5^n=0$$
=> $$36^m=5^n$$
Mình nghĩ Chỉ xảy ra 1 trường hợp là đồng bằng 1. => m=n=0
Vậy MinP=0 <=> m=n=1.

 

[gaconkudo]

bài 58 : toán chung chuyên nbk -qn
View attachment 15894
@Tony Time @Quân Nguyễn 209
mấy câu này khá hay

Do x,y,z dương
$$P=\sqrt{xy+3xz}+\sqrt{\frac{y^{2}+yz}{2}}=\frac{1}{4}2\sqrt{4x}\sqrt{y+3z}+\frac{1}{2}2\sqrt{y}\sqrt{\frac{y+z}{2}}\leq \frac{1}{4}(4x+y+3z)+\frac{1}{2}(y+\frac{y+z}{2})=x+y+z=3$$

 

[gaconkudo]

$$\left | 36^m-5^n \right | \geq 0$$ Với mọi m,n nguyên.
=> MinP = 0 <=> $$36^m - 5^n=0$$
=> $$36^m=5^n$$
Mình nghĩ Chỉ xảy ra 1 trường hợp là đồng bằng 1. => m=n=0
Vậy MinP=0 <=> m=n=1.

Sai rồi nhé. m,n nguyên dương mà

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 59:
Chứng minh rằng:
$$a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3$$
với mọi $$a > 1$$
Cảm ơn nhé <3

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Sai rồi nhé. m,n nguyên dương mà

ghi nhầm =))) m=n=0

 

[gaconkudo]

ghi nhầm =))) m=n=0

kể cả thế cx sai mà, đề hỏi m,n nguyên dương

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

kể cả thế cx sai mà, đề hỏi m,n nguyên dương

bạn ghi đề m,n nguyên mà

 

[gaconkudo]

bạn ghi đề m,n nguyên mà

xin lỗi, để mk sửa đề =))

 

[gaconkudo]

Bài 57. Cho m,n nguyên dương. Tìm min P=$$\left | 36^{m}-5^{n} \right |$$

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 57. Cho m,n nguyên dương. Tìm min P=$$\left | 36^{m}-5^{n} \right |$$

Xét
$$36^m$$ với m nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 6
$$5^n$$ với n nguyên dương thì luôn có chữ số tận cùng là 5
+ Nếu $$36^m$$ > $$5^n$$
P có chữ số tận cùng là 1. MinP = 11
+ Nếu $$5^n$$ > $$36^m$$
P có chữ số tận cùng là 9. MinP = 19

Từ 2 Trường hợp => MinP =11. <=> m=1; n=2

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 60:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$S=\frac{(a^{2}+16\left | a \right |+48)(a^{2}+12\left | a \right |+27)}{a^{2}}$$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 60:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$S=\frac{(a^{2}+16\left | a \right |+48)(a^{2}+12\left | a \right |+27)}{a^{2}}$$

$S-675=\dfrac{(a-6)^2(a^2+40a+46)}{a^2} \geq 0
\\\Rightarrow S \geq 675$
Dấu '=' khi $a=6$

 

[thuankieu.dongthap@gmail.com]

Bài 59:
Chứng minh rằng:
$$a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3$$
với mọi $$a > 1$$
Cảm ơn nhé <3

bài này cậu giải được thì giúp mình luôn nha @Nguyễn Xuân Hiếu Cảm ơn cậu

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 59:
Chứng minh rằng:
$$a+\frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3}> 3$$
với mọi $$a > 1$$
Cảm ơn nhé <3

Quy đồng dpcm:
$\dfrac{a^5-a^4-2a^3-2a^2+5a+3}{(a-1)(a+1)^3}>0$
Bạn chứng minh $f(x)=x^5-x^4-2x^3-2x^2+5x+3$ đồng biến trên khoảng $(1,+\propto )$. Mà $f(1)>0$.
Do đó có dpcm.
Không xài đạo hàm thì bạn tách hđt kết hợp $x>1$ cũng được :v