[Toán 10]Bdt

[ctsp_a1k40sp]

Cho a,b,c dương và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]c\sqrt{\frac{1}{3}(b^2+2a^2)}+a\sqrt{\frac{1}{3}(c^2+2b^2)}+b\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+2c^2)}\geq abc[/TEX].

giả thiết \Leftrightarrow $$ab+bc+ca=abc$$

Ta có
$$(a^2+a^2+b^2)(1+1+1) \geq (2a+b)^2$$
$$\to \sqrt{\frac{1}{3}(2a^2+b^2)} \geq \frac{1}{3}(2a+b)$$
$$\to c.\sqrt{\frac{1}{3}(2a^2+b^2)} \geq \frac{1}{3}.c.(2a+b)$$
Tương tự ta có
$$VT \geq \frac{1}{3}(3ab+3bc+3ca) =ab+bc+ca=abc=VP$$

Đẳng thức xảy ra khi $$a=b=c=3$$

 

[silvery21]

bài này nữa

15, cho [TEX]a,b,c >0[/TEX] tm[TEX] a^2+b^2+c^2=1[/TEX]

cmr

[TEX]Q= \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{b^2+a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

bài này nữa

15, cho [TEX]a,b,c >0[/TEX] tm[TEX] a^2+b^2+c^2=1[/TEX]

cmr

[TEX]Q= \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{b^2+a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

[TEX]a^2+b^2+c^2=1 \Rightarrow a^2;b^2;c^2\leq1\Rightarrow a,b,c\leq1[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)}{3}\geq\sqrt[3]{2a^2(1-a^2)(1-a^2)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2}{3}\geq\sqrt[3]{2a^2(1-a^2)^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq\frac{3\sqrt[]{3}}{2}a^2[/TEX]
Ta có tương tự với b và c
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
dấu = xảy ra các bạn tự tìm nhé ^^

 

[silvery21]

[TEX]a^2+b^2+c^2=1 \Rightarrow a^2;b^2;c^2\leq1\Rightarrow a,b,c\leq1[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)}{3}\geq\sqrt[3]{2a^2(1-a^2)(1-a^2)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2}{3}\geq\sqrt[3]{2a^2(1-a^2)^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq\frac{3\sqrt[]{3}}{2}a[/TEX]
Ta có tương tự với b và c
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]
dấu = xảy ra các bạn tự tìm nhé ^^

ko hợp lý

cộng vào xong làm sao nữa

 

[251295]

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{zx}+\frac{z^3}{xy}\geq x+y+z[/TEX].

- Mặc dù bài này đã được giải rùi nhưng em vẫn xào lại vì em vừa phát hiện ra cách làm phù hợp với học sinh cấp II như tụi em.

- Ta có:

[TEX]x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xy^2z+yz^2x+zx^2y=xyz(x+y+z)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq xyz(x+y+z)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^4+y^4+z^4}{xyz} \geq x+y+z[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{zx}+\frac{z^3}{xy}\geq x+y+z[/TEX]

- Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

ko hợp lý

cộng vào xong làm sao nữa

hì hì .......!
sorry , mình sai mất 1 chỗ đó là chỗ chẳng lẽ là a^2 nhưng mình chỉ viết là a
sửa chỗ ấy đi chắc là bạn hiẻu rồi chứ!

 

[namtuocvva18]

Cho x,y khác 0. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX].

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Cho x,y khác 0. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX].

ta có
[TEX] Đặt t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |t|\geq2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow t^2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2 [/TEX]
[TEX]Phân tích ta có (\frac{x}{y})^2+(\frac{y}{x})^2=t^2-2[/TEX]
[TEX]ta có t^2-3t+2\geq0 \Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq0 với\forall |t|\geq2[/TEX]

 

[251295]

Cho x,y khác 0. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX].

- Đặt [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2=a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2[/TEX]

- Mà: [TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq 2[/TEX] (Vì [TEX]x^2 \geq0;y^2 \geq0)[/TEX]

- Nên [TEX]\Rightarrow a^2 \geq 4 \Rightarrow a\geq2[/TEX] hoặc [TEX]a\leq-2(1)[/TEX]

- Mặt khác:

[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^2-2+4 \geq 3a \Leftrightarrow a^2-3a+2 \geq0 \Leftrightarrow (a-1)(a-2) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a\geq2[/TEX] hoặc [TEX]a \leq 1(2)[/TEX]

- Từ (1) \Rightarrow (2) \Rightarrow [TEX](a-1)(a-2) \geq 0[/TEX] với [TEX]a\geq2[/TEX] hoặc [TEX]a\leq-2[/TEX]

- Từ đây \Rightarrow đpcm.

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a})[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a})[/TEX].

[TEX]Am-Gm\to\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge \frac{9}{a+2b}\ \ Done!![/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{2}[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{2}[/TEX].

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{tan\frac{A}{2}} \\y=\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\\z=\frac{1}{tan\frac{C}{2}}\end{array} \right.[/TEX]

[TEX](BDT)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ABC\\\sum\limits_{cyclic}sin $\frac{A}{2}$\le \frac{3}{2}\end{array} \right.[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[namtuocvva18]

[TEX]\left{x=\frac{1}{tan\frac{A}{2}} \\y=\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\\z=\frac{1}{tan\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX](BDT)\Leftrightarrow\left{\Delta ABC\\\sum_{cyclic}sin\(\(\frac{A}{2}\)\le \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\blue Done!![/TEX]

giải thích rõ hơn được o?????????????

Theo bác vdhm.......
[TEX]\left{x=\frac{1}{tan\frac{A}{2}} \\y=\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\\z=\frac{1}{tan\frac{C}{2}}[/TEX]
Ta có:
[TEX]1+x^2=1+\frac{1}{(tan{\frac{A}{2}})^2 }[/TEX][TEX]= \frac{(tan{\frac{A}{2}})^2+1}{(tan{\frac{A}{2}})^2}=\frac{1}{(cos{\frac{A}{2}})^2.(tan{\frac{A}{2}})^2}=\frac{1}{(sin{\frac{A}{2}})^2}[/TEX]


\Rightarrow[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=sin{\frac{A}{2}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]VT=sin{\frac{A}{2}}+sin{\frac{B}{2}}+sin{\frac{C}{2}}\leq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]=>dpcm[/TEX].

Con cái gt: [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}= cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

viết lại chỗ đó đi

ơk sửa rồi ak , nhanh thế

cái gt bạn thử cm xem, hiểu rồi ???

Ta có:
[TEX]cot(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=tan\frac{C}{2}[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\frac{cot{\frac{A}{2}}.cot{\frac{B}{2}-1}}{cot{\frac{A}{2}}+cot{\frac{B}{2}}} [/TEX][TEX]=\frac{1}{cot{\frac{C}{2}}}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]cot{\frac{A}{2}}+cot{\frac{B}{2}}+cot{\frac{C}{2}=cot{\frac{A}{2}}.cot{\frac{B}{2}}.cot{\frac{C}{2}[/TEX]
[TEX]dpcm[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b dương và [TEX]ab\geq 1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]a^3+b^3+4ab\geq a^2+b^2+a+b+2[/TEX].

 

[doremon.]

1.cho các số nguyên dương x,y,z thoả mãn xyz=1
CMR $$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+z^3+y^3}}{zy}+\frac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\geq 3\sqrt{3}$$

2.cho a,b,c>0 và ab+bc+ac$$\leq 3abc$$
CMR$$\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a} \geq 1$$

3.cho a,b,c>0
CMR:$$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^3+ac+a^3}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$

4.cho x,y,x >0
CMR :$$\sqrt{x^2=xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$$

 

[namtuocvva18]

1.cho các số nguyên dương x,y,z thoả mãn xyz=1
CMR $$\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+z^3+y^3}}{zy}+\frac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\geq 3\sqrt{3}$$

Giải:
DH khối D 2005.
Ta có:
[TEX] VT\geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx} \geq \sqrt{3}.(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})\geq 3\sqrt{3}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX].

 

[namtuocvva18]

4.cho x,y,x >0
CMR :$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$$

Giải:
THTT số mới nhất.
C1:
Ta có:
[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{3(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{x-y}{2})^2}\geq \frac{(x+y)\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{(y+z)\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX] \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{(z+x)\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Cộng theo vế:
[TEX]VT\geq \sqrt{3}(x+y+z)[/TEX]
[TEX]dpcm[/TEX].

 

[namtuocvva18]

2.cho a,b,c>0 và ab+bc+ac$$\leq 3abc$$
CMR$$\frac{a^4b}{2a+b}+\frac{b^4c}{2b+c}+\frac{c^4a}{2c+a} \geq 1$$

Giải:
THTT
Áp dụng BDT Cauchy ta có:
[TEX]VT\geq 3.\sqrt[3]{\frac{(abc)^5}{(2a+b)(2b+c)(2c+a)}} =\frac{3a^2b^2c^2}{\sqrt[3]{(2ac+bc)(2ba+ca)(2cb+ab)}} \geq \frac{9a^2b^2c^2}{3(ab+bc+ca)} \geq abc[/TEX]

Lại có:
[TEX]3abc\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]abc\geq 1[/TEX]
\Rightarrow[TEX]VT\geq 1[/TEX]
[TEX]dpcm[/TEX].